专题02 二次函数实际应用压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以五步解题通法为核心，系统整合四大中考高频题型，通过典例-变式-挑战三级训练，构建二次函数实际应用的方法体系与知识逻辑，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5步骤+公式|审题建模→列式整理→判断开口→求解最值→回归实际|从二次函数概念到实际应用的完整推理链| |销售利润最值|2典例+3变式|设变化量为自变量，关注销量与价格关系，标注取值范围|利润公式与二次函数最值的结合应用| |几何面积最值|2典例+3变式|靠墙/动点模型线段表示，面积公式转化为函数|图形性质与二次函数区间最值的综合| |抛物线型模型|3典例+3变式|固定对称轴建系，利用对称性简化计算|坐标系建立与抛物线解析式的实际意义| |动点运动压轴|3典例+3变式|动点坐标表示，面积/距离转化为函数，判断区间端点|动态几何与二次函数综合的高阶应用| |压轴挑战|16题（选择/填空/解答）|综合应用四大题型方法，突破思维上限|中考压轴题的综合能力考查|

专题02 二次函数实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售利润最值问题（中考最高频压轴） 题型二、几何面积最值问题（矩形、多边形、动点面积） 题型三、抛物线型实际模型（拱桥、隧道、喷水、投篮） 题型四、动点运动类二次函数压轴（难度最高、中考压轴压轴问） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 步骤1：审题建模，锁定自变量与因变量 1. 常规设元：优先设变化量（涨价/降价金额、运动时间、线段长度、水平距离）为 ，贴合题意、简化计算； 2. 梳理关系：提取题干中单价、销量、边长、高度、速度等核心等量关系； 3. 判定模型：化简后形如 ，即为二次函数模型。 步骤2：列式整理，规范写出函数解析式 根据题意列等式，展开合并同类项，化为一般式或顶点式； 核心必考细节：必须标注自变量取值范围（实际意义约束：长度、销量、时间均大于0，为压轴高频扣分点）。 步骤3：判断开口方向，确定最值求解逻辑 1. ：抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值； 2.：抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值； 3. 区间核心原则：顶点横坐标 在自变量取值区间内，顶点处取最值；顶点不在区间内，最值仅在区间左右端点取得。 步骤4：代入运算，精准求解目标最值 1. 顶点式 ：直接通过顶点 读出最值 ； 2. 一般式：计算对称轴 ，代入解析式求最值； 3. 区间偏移：对称轴不在定义域内，直接代入区间两端数值对比大小。 步骤5：回归实际，规范作答 检验结果是否符合现实意义，舍去负数、超范围等不合理数值，完整书写答句。 通用核心公式 对称轴： 最值： 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售利润最值问题（中考最高频压轴） 【典例1】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）某水果店一种水果的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）满足一次函数，已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过7千克的条件下可获得的最大毛利润．（毛利润销售额购进成本） 【答案】最大毛利润为63元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据利润=售出的钱-成本列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设最大毛利润为， ， ∴抛物线对称轴是直线，抛物线开口向下． 日销售量不超过7千克， ， 解得． 又， 当时，取得最大值为． 答：最大毛利润为63元． 【典例2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． (1)求与的函数关系式并求出的取值范围； (2)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当售价定为37时，月销售利润最大，最大值是2890元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握利润问题的列式方法和求二次函数最值的方法． （1）根据销售单价上涨x元，表示出销量，从而列出月销售利润的函数关系式； （2）利用（1）的结果，通过配方法即可求出最大值． 【详解】（1）解：当销售单价上涨了x元时，销量是件， ∵每件文具售价不能高于40元， ∴， 列式：， 整理得：； （2）解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值是2890， ， 答：当售价定为37时，月销售利润最大，最大值是2890元． 题型模版 1. 高频易错坑点 ① 遗漏自变量取值范围，直接默认顶点为最值； ② 混淆涨价、降价对应的销量变化规律； ③ 求出最优 x 后，忘记计算最终售价。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． (1)当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ (2)如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 【答案】(1)销售单价定为元时，每月可获得最大利润 (2)月投资总成本最少是元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系是解题关键． （1）根据利润=（售价进价）销售量求解即可，结合题意即可直接得出自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设利润为，则由题意得 ， ， 答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润； （2）解：由题意得：， 解得：，， ， 抛物线开口向下， 时，， ， 当时，， 设成本为元，由题意，得：， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元； 【变式1-2】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套B型纪念品比每套A型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元． (1)求A、B两种类型纪念品的进价； (2)该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品利润率不能高于，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型纪念品的进价是元，B型纪念品的进价是元； (2)当n为元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，由每套B型纪念品比每套A型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元列方程组可解得答案； （2）设A型纪念品的销售总利润为w元，求出n的取值范围是，而，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，由题意得： 解得 答∶A种类型纪念品的进价为元，B种类型纪念品的进价为元． （2）解：设A型纪念品的销售总利润为w元， 物价局规定该纪念品利润率不能高于， A型纪念品的最高售价为：（元）， 的取值范围为： ，，w随n的增大而增大， 当时， 答∶当n为元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是元． 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． (1)根据题意，填写下表： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 　　 　　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 　　 　　 (2)求与之间的函数解析式； (3)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)120，3360，， (2) (3)每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数及应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． （1）根据每降价1元，每星期可多卖10件及利润每件利润乘销售量即可得到答案； （2）根据售量（件与售价（元件）之间的关系即可得到结论； （3）设每星期利润为元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】（1）解：每件售价58元，可卖120件，每件利润为元， 所以每星期售出商品的利润元， 每件售价元，可卖件，每件利润为元， 所以每星期售出商品的利润元， 填写表格如下： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 120　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 3360 （2）由题意，得：； （3）设每星期利润为元， ， 时，最大值． 当每件售价为50元时，即降价了（元， 每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元． 题型二、几何面积最值问题（矩形、多边形、动点面积） 【典例3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、列二次函数关系式、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，二次函数的图象，矩形的性质，求二次函数关系式， 先根据矩形的性质，再结合图象可知，再分三种情况求出关系式，然后结合关系式可得图象． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，点M是的中点， ∴，， ∴． 当点P与点B重合时，此时； 当点P与点M重合时，运动时间是，则， ∴， 解得． 当时，即线段在上运动时， ； 当时，即线段在，上运动时， 可知，则，， ∴； ， 抛物线开口向上，当时，； 当时，即线段在上运动时， ． 所以图B符合题意 故选：B． 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    (1)求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)；当时，的最大值． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据篱笆材料总长面墙长两扇宽为的门求出关于的函数表达式，再根据墙的最大可用长度为求取值范围即可； （2）求出关于的函数表达式，化为顶点式作答即可． 【详解】（1）解：， ∵墙的最大可用长度为，边的长 ∴， 解得， 即； （2）解：， 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得， 当时，的最大值． 题型模版 1. 专属解题技巧 ① 靠墙模型：仅需围三条边，优先区分靠墙边与围栏边，避免长度计算错误； ② 动点模型：设运动时间 t 为自变量，用「速度×时间」表示动态线段长度； ③ 公式套用：矩形面积S=ab，三角形面积 S=12ah，化简后求最值。 2. 易错核心点 所有边长必须大于0，自变量上下限由围栏总长、图形边界、动点运动范围严格约束。 【变式2-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 【答案】12 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一元二次函数的应用及一元二次函数的最值，掌握一元二次函数的最值求法是解题的关键． 设车棚宽度的长为，则车棚长度为，列出一元二次函数，再求最值即可； 【详解】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 【变式2-2】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．    (1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)时，S最大为 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设花圃的宽为，则长为，依题意得，，由，，解得，，然后作答即可； （2）由题意知，，然后根据二次函数的性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则长为， 依题意得，， ∵，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，S最大为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的门（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 【答案】(1)10米 (2)与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求面积S最大值t时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得，解得 答：与墙垂直的边的长度为10米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 当时，有最大值， 答：当与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米. 题型三、抛物线型实际模型（拱桥、隧道、喷水、投篮） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）合肥市某隧道横截面由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点C到地面距离为6米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），线的宽度忽略不计．右侧车道线与墙面的距离为1米．且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值．（精确到个位） 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图；； (2)最大安全限高h的值为米． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意求出，，，设抛物线的解析式为，将代入求出，即可求出抛物线的解析式； （2）根据题意求出，进而求出，根据“车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米”即可求出最大安全限高h的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∵隧道的最高点C到地面距离为6米， ∴， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 即抛物线的解析式为； （2）解：∵右侧车道线与墙面的距离为1米， ∴， 此时， ∵车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米， ∴（米）． 即最大安全限高h的值为米． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，，水嘴高． (1)以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）根据题意可得抛物线的解析式为，将代入，即可求解； （2）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵． ∴， 把代入得： ∴， ∴， ∴． （2）解：令， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴点， ∴． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某数学兴趣小组利用公园里一个斜坡做数学探究活动，如图，斜坡（其中，），他们站在处抛球，球从离地面高的处扔出，小球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，已知小球在水平距离点时达到最高，小球抛向斜坡上．设小球的水平距离为，竖直高度为． (1)求与的函数关系式； (2)若时，小球的最大高度为，求的值； (3)若小球的落点为，并沿着斜坡经历秒滚回到起点，求这次滚动的平均速度． 【答案】(1) (2)或 (3)小球滚动的平均速度为米/秒 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际问题，勾股定理，关键是求出函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）结合图象，分情况讨论即可； （3）根据题意求出的解析式，进而求出小球的落点的坐标，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题意和图可知，抛物线的顶点坐标为， 故设与的函数关系式为，， 把点代入得，， 解得，， ． （2）解：当时，随的增大而增大， 时，， 解得，（舍去）； 当时，随的增大而减小， 时，， 解得，（舍去）； 当时，，不符合题意，舍去； 综上：的值为或． （3）解：设的解析式为，， 把代入得，， 解得，， ， 由， 解得，，（不符合题意，舍去）， ， ， 由勾股定理得（米）， 即小球滚动的平均速度为米/秒． 题型模版 1. 高分技巧 固定对称轴为y轴建系，充分利用抛物线左右对称性质，算出单侧距离直接翻倍得到总宽度，大幅减少计算量。 【变式3-1】．（2025·安徽蚌埠·三模）一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【答案】(1) (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为； (3)应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设喷出的抛物线形水柱的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得坡面的函数解析式，设抛物线上一点，过点P向x轴作垂线，交于点Q，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为，求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，采用最大功率灌溉时，抛物线的顶点坐标为， 设喷出的抛物线形水柱的解析式为， 将代入， 得，解得， 此时抛物线形水柱的解析式为； （2）解：设坡面的函数解析式为，由坡度为可知， 当时， ，即， ∴坡面的函数解析式为， 令， 解得，， 又∵， ∴， 设抛物线上一点， 如图，过点P向x轴作垂线，交于点Q，则， ∴， 其中， ∵，其中， ∴当时，最大，最大值为， 答：水柱与坡面之间的最大铅直高度为； （3）解：设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 将代入，得， ∴， 将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆间按相同的间距米用根立柱加固，的长为米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式； (2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到米）； (3)现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使的长为米，立柱间距仍然为米，试判断一根长为米的钢筋能不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由． 【答案】(1) (2)栅栏所需钢筋的总长度为米． (3) 解：一根长为米的钢筋符合要求． 栅栏抬升后，点坐标为， 设此时的抛物线解析式为， ， 解得， 此时抛物线解析式为， 当，；时，． 栅栏所需钢筋的总长度， ， 一根长为米的钢筋符合要求． 答：一根长为米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查抛物线的解析式求解、抛物线的实际应用以及线段长度的和差运算，合理建立坐标系、正确计算立柱的实际长度是解题关键． （1）以抛物线顶点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系； （2）利用横杆间隔确定每根立柱的横坐标，代入抛物线解析式求出对应值，再分别用减去该值即为立柱的实际长度，将所有立柱长度和横杆的长度相加即可； （3）由新的长度确定点坐标，求出栅栏抬高后的解析式，然后使用（2）的方法求出每根立柱的实际长度，将所有立柱长度和横杆的长度相加即可． 【详解】（1）解：以点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系，如图所示： 横杆间按相同的间距米用根立柱加固，的长为米， 的坐标为， 设抛物线的解析式为，则 ， 解得， 抛物线的解析式为 答：抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当，， 当，， 当，， 当，， 当时，， 立柱的实际长度米， 横杆的长度米， 栅栏所需钢筋的总长度米． 答：栅栏所需钢筋的总长度为米． 【变式3-3】．（24-25九年级·安徽黄山·阶段检测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 【答案】(1)石块在空中飞行的最大高度为10米 (2) 解：石块能飞越防御墙，理由如下： 由（1）可知抛物线的表达式为， 把代入上式， 得， ， 石块能飞越防御墙． (3)①；② 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出函数解析式，再求最大值即可； （2）把代入函数解析式，求出值，与垂直距离的高度比较即可； （3）①由待定系数法即可求解；②将和代入中，解得，将和代入中，解得，即可求解取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴解析式为：， ∵， 石块在空中飞行的最大高度为10米； （2）略 （3）解：①将和代入中， 得，， 解得． 此时抛物线的表达式为 ②将和代入中， 得， 解得， 将和代入中， 得，解得， ． 题型四、动点运动类二次函数压轴（难度最高、中考压轴压轴问） 【典例8】．（2024九年级·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限； ①若CA＝CB，求点C的坐标； ②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值． 【答案】（1）；（2）①点C的坐标为（，）；②． 【知识点】二次函数综合 【分析】（1）先由函数解析式求出点C坐标，根据OA=OB,得出点A坐标,再代入二次函数解析式,可求得k; （2）①由CA＝CB，得点C在AB的垂直平分线线上，先求出AB的解析式，再求出垂直平分线的解析式，联立垂直平分线与二次函数解析式，可求得C点的坐标； ②过点C做CE||y轴交AB于E，计算CE的长度，则进行计算． 【详解】（1）由y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，即 ∵，即， ∴ 将点A代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，解得 ∴二次函数的解析式为 （2）①∵ ∴点C在线段的垂直平分线上 设直线的解析式为：，则， 解得：，即的解析式为： 设的垂直平分线为，解析式为： ∵ ∴的中点为： 将代入直线得： 联立与得： 解得：（舍去）或 ∴点C的坐标为：． ②过点C作轴交于Ｅ，如图所示： 设点，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法，铅垂高水平宽的使用，熟悉知道以上解法是解题的关键． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)连接DC，DB，设的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据直线求出点B、C的坐标，再根据B、C的坐标即可求出二次函数的表达式； （2）添加辅助线，将分解为和，设点，计算出线段MD的长度，从而得到的面积表达式，最后通过配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：在直线上，当时，，当时，， ∴，， ∵二次函数经过点B、C， ∴ ， 解方程得，， ∴二次函数的表达式为； （2）如下图所示，过点D作轴，交直线BC与点M，过点C作，垂足为P，设点, ∵点M在直线上， ∴当M的坐标为， ∵点D在抛物线上， ∴当M的坐标为， ∵点D在BC下方， ∴MD的长度为， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴S是以t为自变量的二次函数，且开口向下，顶点为 ∴当时，最大，且， 故S的最大值为4． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，并将三角形面积的最大值问题转换为二次函数最大值的问题． 【典例10】．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 题型模版 1.核心提醒 动点到达图形端点即停止运动，t 存在明确上下界；若顶点横坐标超出取值区间，最值只能在区间端点处取得。 【变式4-1】．（2025九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O． P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． 求出二次函数的解析式； 当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； 当点P在直线OA的上方时，求的最大面积． 【答案】（1）；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是；（3） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可知，易求得直线OA的解析式，可得点，由=，利用二次函数最值求法求解即可； （3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解． 【详解】解：设， 把A点坐标代入得： ， ∴二次函数的解析式是； ，轴，P在上， ∴， ∵点， ∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上， ∴点C（m，m） 当点P在直线OA的上方时，， ， ， ，开口向下， 当m=时，PC有最大值， 即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是． （3）∵A点坐标，且PC有最大值， ∴． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、求正比例函数的解析式、二次函数与几何最值，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的步骤，会利用二次函数的性质求解几何图形的最值是解答的关键． 【变式4-2】．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，， ，根据，可推出，据此可得答案； （3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P，Q两点不重合，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【变式4-3】．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点（不是原点）． (1)求的值； (2)如图1，该二次函数图象的顶点为，求四边形的面积； (3)如图2，点和点是该二次函数图象上的两个动点，且，过点作轴交直线于，过点作轴交直线于，若，是否存在以点，，，构成的平行四边形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把点代入即可得到答案； （2）如图，过作于，过作于，利用四边形的面积求解即可． （3）求解直线为，分两种情况：当在的上方时，此时，如图，当在的下方时，此时，再结合建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：． （2）解：如图，过作于，过作于， 由（1）得：二次函数为：， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴四边形的面积 ． （3）解：如图，∵，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当在的上方时，此时， ∵过点作轴交直线于，过点作轴交直线于， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：（不符合题意舍去） ∴点的横坐标为； 如图，当在的下方时，此时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ， 同理：， ∴， 解得：， 综上：点的横坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 2．（24-25九年级·安徽六安·阶段检测）如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质，勾股定理；过点作于点，分别在中，用勾股定理表示出，进而得出关于的函数的解析式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 二、填空题 4．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】4 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，则PQ的长为______________．    【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【详解】解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，如图所示，   四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线经过点B、C． （1）点B的坐标为______． （2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是______． 【答案】 B（2，2） 0<a<2 【知识点】求不等式组的解集、坐标与图形、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）观察图象即可得到，求得对称轴为直线，即可求得，即可求出点B的坐标； （2）易求得，得到抛物线为，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线开口向上， ∴． ∵对称轴为直线，且经过点B、C， ∴， ∴正方形的边长为2， ∴， 故答案为：B（2，2）； （2）可求得点C坐标为（0，2），∴． ∴抛物线为． ∵抛物线的顶点在正方形OABC的内部， ∴， 解得， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键． 8．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面米，物体从发射到落地的运动时间为秒，设表示秒到秒时的值的“极差”（即秒到秒时的最大值与最小值的差）． （1）____，____； （2）当时，的取值范围是____． 【答案】 ， ， ． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法求得、； （2）由（1）得出抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图像即可求解． 【详解】解：（1）∵物体运动的最高点离地面米，物体从发射到落地的运动时间为秒， ∴抛物线的顶点的纵坐标为，且经过点， ∴， 解得：，不合题意，舍去， ∴，， 故答案为：，； （2）∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的最高点的坐标为． ∵， ∴当时，的取值范围是：； 当时，，当时，， ∵，， ∴当时，的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键． 三、解答题 9．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 【答案】(1)拱桥所在抛物线的解析式为：； (2)此时拱桥内水面的宽度为米． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解， （2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案， 本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，． ∵水面离桥洞最大距离为1米， ∴该抛物线顶点坐标为． 设该抛物线解析式为，把代入， 得，解得， 故该拱桥所在抛物线的解析式为：； （2）由题意，得． 把代入， 得，解得：，， （米）， 故此时拱桥内水面的宽度为米． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面坐标系中，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D． (1)求抛物线的对称轴； (2)若且与的面积比为，求k的值． 【答案】(1)直线 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）根据对称轴为直线计算即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点，将代入得到，即，根据的面积，的面积，结合与的面积比为列方程求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：， 顶点 当时， 即， ， 的面积，的面积，与的面积比为， ， 解得：． 11．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元 (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用： （1）由图象过点和易求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答； （3）求出当时，x的直即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由图象可知 解得 ， 与的函数关系式为：； （2）解：由题意得 ． ， 有最大值． ∴当时，P有最大值，最大值为． ∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元． （3）解：当时，则， 整理得， 解得，， ， 抛物线的开口向下， ∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴． (1)求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式； (2)如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长； (3)若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3)如图是画出的切割方案： 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、已知二次函数的函数值求自变量的值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据已知可得抛物线的顶点坐标为，，，再设抛物线表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式； （2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，因此矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）如图画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长． 【详解】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，，， 设抛物线的函数表达式为 点在此抛物线上， ， ， 木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式为； （2）在矩形中，设， 由抛物线的对称性可知， 矩形的周长为 ， ，且， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为， 此矩形的最大周长为； （3）在中，令，则有 ， ， ， 在中，令，则有 ， ， ， 在中，令，则有 ， ， ， 在中，令，则有 ， ， ， 拼接后的矩形的长边长为 ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 13．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通4条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_____，排队人数与安检时间的函数关系式为_____． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析．以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1），；（2）排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数为424人；（3）最少开8条通道 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可； 【详解】解：（1）∵平均每条通道每分钟可安检6人，开通4条安检通道时，安检时间为分钟， 则已入场人数为人； 若排队人数为，则与的函数表达式为； （2）， ∴当时，， 故排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数为424人； （3）设开了条通道则：， ∴对称轴为， ∵排队人数 在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少， ， 即， 又 ∵最多开通9条， ， ∵为正整数， ∴最小值为8， ∴最少开8条通道． 14．（24-25九年级·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)，点的坐标为； (3)点的坐标为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设点的坐标为，根据解答即可求解； （）设，直线的表达式为，直线的表达式为，求出的解析式，求出，再求出的解析式，求出，分两种情况：四边形的面积被轴分为两部分；四边形的面积被轴分为两部分；进行解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何问题，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：连接，设点的坐标为， 则 ， ， ， ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设，直线的表达式为，直线的表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴设的表达式为，代入，得， ∴， ∴， ∴， 当四边形的面积被轴分为两部分时， ∵， ∴此情况不成立； 当四边形的面积被轴分为两部分时， （）当时，， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ∴此情况不成立； （）当时，， ∴， 此时； 综上，点的坐标为． 15．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）； (2)函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式； (3)技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围． 【答案】(1)所作图形见解析；抛物线 (2) (3)击球高度的取值范围为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及画函数图像，求解析式和抛物线的平移的应用，解题关键在于熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）根据表格描点，然后用平滑的曲线顺次连接，画出图像，进而可判断其图象的性质； （2）根据表格确定对称轴，进而确定顶点坐标，然后设顶点式的解析式，根据待定系数法求解即可； （3）当时，抛物线的解析式为，设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为，然后表示出平移后的解析式，再根据平移后恰好经过点和点，分别求得对应的值即可． 【详解】（1）解：描出各点，图象如下图即为所求： 由图可知，乒乓球的运行路线近似是一条抛物线； 故答案为：抛物线； （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为， 则平移后的抛物线的解析式为， 当乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，即平移后抛物线经过点， 代入解析式，得， 解得； 当乒乓球刚过球网时，即平移后抛物线经过点， ，球网高为， ， 代入解析式，得 解得； 答：为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，击球高度的取值范围为． 16．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 【答案】(1)函数表达式为， (2)存在，20或12 (3) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据轴对称的性质求出抛物线的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，即可求得的长； （2）设点P的坐标为，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论，分别列方程求解，即得答案； （3）设直线AF的函数表达式为，可求出，则，然后联立方程组求出点F的坐标，以及，的表达式，再根据列方程求解，即得答案． 【详解】（1）抛物线：， 因为抛物线：与抛物线：关于y轴对称， 所以抛物线的函数表达式为， 令，解得或， 即，， ∴； （2）（2）存在；理由如下： 以为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ，.， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为或， 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABQP的面积为20（如图1）； 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABPQ的面积为12（如图2）； 综上，平行四边形的面积为20或12； （3）（3）令，解得或，即，. 如图3，设直线AF的函数表达式为， 直线AF经过点， ， ， 直线AF的函数表达式为，易得直线的函数表达式为， 联立， 解得， 点F的坐标为， ， ， ，即， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数实际应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售利润最值问题（中考最高频压轴） 题型二、几何面积最值问题（矩形、多边形、动点面积） 题型三、抛物线型实际模型（拱桥、隧道、喷水、投篮） 题型四、动点运动类二次函数压轴（难度最高、中考压轴压轴问） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 步骤1：审题建模，锁定自变量与因变量 1. 常规设元：优先设变化量（涨价/降价金额、运动时间、线段长度、水平距离）为 ，贴合题意、简化计算； 2. 梳理关系：提取题干中单价、销量、边长、高度、速度等核心等量关系； 3. 判定模型：化简后形如 ，即为二次函数模型。 步骤2：列式整理，规范写出函数解析式 根据题意列等式，展开合并同类项，化为一般式或顶点式； 核心必考细节：必须标注自变量取值范围（实际意义约束：长度、销量、时间均大于0，为压轴高频扣分点）。 步骤3：判断开口方向，确定最值求解逻辑 1. ：抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值； 2.：抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值； 3. 区间核心原则：顶点横坐标 在自变量取值区间内，顶点处取最值；顶点不在区间内，最值仅在区间左右端点取得。 步骤4：代入运算，精准求解目标最值 1. 顶点式 ：直接通过顶点 读出最值 ； 2. 一般式：计算对称轴 ，代入解析式求最值； 3. 区间偏移：对称轴不在定义域内，直接代入区间两端数值对比大小。 步骤5：回归实际，规范作答 检验结果是否符合现实意义，舍去负数、超范围等不合理数值，完整书写答句。 通用核心公式 对称轴： 最值： 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售利润最值问题（中考最高频压轴） 【典例1】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）某水果店一种水果的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）满足一次函数，已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过7千克的条件下可获得的最大毛利润．（毛利润销售额购进成本） 【典例2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． (1)求与的函数关系式并求出的取值范围； (2)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 题型模版 1. 高频易错坑点 ① 遗漏自变量取值范围，直接默认顶点为最值； ② 混淆涨价、降价对应的销量变化规律； ③ 求出最优 x 后，忘记计算最终售价。 【变式1-1】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． (1)当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ (2)如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 【变式1-2】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套B型纪念品比每套A型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元． (1)求A、B两种类型纪念品的进价； (2)该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品利润率不能高于，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． (1)根据题意，填写下表： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 　　 　　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 　　 　　 (2)求与之间的函数解析式； (3)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 题型二、几何面积最值问题（矩形、多边形、动点面积） 【典例3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A．B．C． D． 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    (1)求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 题型模版 1. 专属解题技巧 ① 靠墙模型：仅需围三条边，优先区分靠墙边与围栏边，避免长度计算错误； ② 动点模型：设运动时间 t 为自变量，用「速度×时间」表示动态线段长度； ③ 公式套用：矩形面积S=ab，三角形面积 S=12ah，化简后求最值。 2. 易错核心点 所有边长必须大于0，自变量上下限由围栏总长、图形边界、动点运动范围严格约束。 【变式2-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 【变式2-2】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．    (1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的门（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 题型三、抛物线型实际模型（拱桥、隧道、喷水、投篮） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）合肥市某隧道横截面由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点C到地面距离为6米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），线的宽度忽略不计．右侧车道线与墙面的距离为1米．且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值．（精确到个位） 【典例6】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，，水嘴高． (1)以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某数学兴趣小组利用公园里一个斜坡做数学探究活动，如图，斜坡（其中，），他们站在处抛球，球从离地面高的处扔出，小球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，已知小球在水平距离点时达到最高，小球抛向斜坡上．设小球的水平距离为，竖直高度为． (1)求与的函数关系式； (2)若时，小球的最大高度为，求的值； (3)若小球的落点为，并沿着斜坡经历秒滚回到起点，求这次滚动的平均速度． 题型模版 1. 高分技巧 固定对称轴为y轴建系，充分利用抛物线左右对称性质，算出单侧距离直接翻倍得到总宽度，大幅减少计算量。 【变式3-1】．（2025·安徽蚌埠·三模）一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆间按相同的间距米用根立柱加固，的长为米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式； (2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到米）； (3)现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使的长为米，立柱间距仍然为米，试判断一根长为米的钢筋能不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由． 【变式3-3】．（24-25九年级·安徽黄山·阶段检测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 题型四、动点运动类二次函数压轴（难度最高、中考压轴压轴问） 【典例8】．（2024九年级·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限； ①若CA＝CB，求点C的坐标； ②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)连接DC，DB，设的面积为S，求S的最大值． 【典例10】．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 题型模版 1.核心提醒 动点到达图形端点即停止运动，t 存在明确上下界；若顶点横坐标超出取值区间，最值只能在区间端点处取得。 【变式4-1】．（2025九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O． P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． 求出二次函数的解析式； 当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； 当点P在直线OA的上方时，求的最大面积． 【变式4-2】．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 【变式4-3】．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点（不是原点）． (1)求的值； (2)如图1，该二次函数图象的顶点为，求四边形的面积； (3)如图2，点和点是该二次函数图象上的两个动点，且，过点作轴交直线于，过点作轴交直线于，若，是否存在以点，，，构成的平行四边形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 2．（24-25九年级·安徽六安·阶段检测）如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 二、填空题 4．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为________． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，则PQ的长为______________．    7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线经过点B、C． （1）点B的坐标为______． （2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是______． 8．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面米，物体从发射到落地的运动时间为秒，设表示秒到秒时的值的“极差”（即秒到秒时的最大值与最小值的差）． （1）____，____； （2）当时，的取值范围是____． 三、解答题 9．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面坐标系中，二次函数的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D． (1)求抛物线的对称轴； (2)若且与的面积比为，求k的值． 11．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴． (1)求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式； (2)如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长； (3)若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号） 13．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通4条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_____，排队人数与安检时间的函数关系式为_____． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析．以提高模型的准确性和实用性． 14．（24-25九年级·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 15．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）； (2)函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式； (3)技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围． 16．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $