第一单元商的变化规律及应用（专项讲义）-2026-2027学年四年级数学上册苏教版

本讲义系统梳理商的变化规律核心知识点，包括商不变基础规则（被除数和除数同乘除非0数商不变）、余数同步变化（同乘除时余数同步变化需还原）、单变量商变规则（除数不变被除数变化商同向变，被除数不变除数变化商反向变）、末尾带0简算（划去相同0简化计算）及综合核验（商乘除数加余数等于被除数），构建从基础到应用再到核验的学习支架。 该资料突出高频易错点（如余数忘记还原、单变量规律混淆），通过多样化题型培养学生抽象能力（理解规律本质）、运算能力（简算与核验）、应用意识（解决租船等实际问题）。课中辅助教师精准教学，课后学生可借典型错题查漏补缺，强化规律应用。

2026-2027学年四年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第一单元商的变化规律及应用 一、核心知识点 1、‌商不变的基础核心规则。‌ 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，最终得到的商完全保持不变，这是商的变化规律体系里最核心的基础规则。 核心逻辑：乘或除以的数绝对不能是0，否则会直接出现除数为0的无效算式，数学上没有任何意义，这是规则成立的绝对前提。 示例：18÷6=3，把被除数和除数同时乘4得到72÷24，商依然是3；同时除以2得到9÷3，商也还是3，全程没有发生改变。 2、‌商不变下的余数同步变化规则。‌ 商保持不变的前提下，被除数和除数同时乘几，余数也跟着同步乘几；同时除以几，余数也跟着同步除以几，余数不会停留在原始数值上。 速记口诀：同乘同除0除外，商稳余数跟着变，乘几除几同步走，简算余数要还原。 示例：170÷50=3……20，把被除数和除数同时除以10简化成17÷5=3……2，余数从20同步缩小10倍变成2，最终真实余数要还原回20。 3、‌单变量变化的两类商变规则。‌ 除数保持不变时，被除数乘几或除以几（0除外），商也跟着同步乘几或除以几，商和被除数的变化方向完全一致；被除数保持不变时，除数乘几，商反而除以几，除数除以几，商反而乘几，商和除数的变化方向完全相反。 示例：48÷8=6，除数不变，被除数乘2变成96，商也同步乘2变成12；被除数不变，除数乘2变成16，商反而除以2变成3。 4、‌末尾带0除法的商不变简算方法。‌ 遇到被除数和除数末尾都有多个0的多位数除法，利用商不变规律，同时划掉末尾相同个数的0，把大数除法简化成小数除法，大幅降低计算难度，避免大数运算的失误。 示例：9200÷300，同时划掉末尾两个0，简化成92÷3计算，得到商30余2，最终的真实余数要补回之前划掉的两个0，得到200。 5、‌规律综合核验方法。‌ 应用完所有商的变化规律后反向验算：用最终得到的商乘原始除数，再加上还原后的真实余数，得到的结果必须和原始被除数完全相等，就能验证整段操作完全正确。 例：170÷50得到商3余20，3×50+20=170，和原始被除数完全相等，核验结果正确。 二、高频易错点 1、‌前提条件遗漏错误‌：应用商不变规律时，完全忘记“0除外”的核心前提，直接让被除数和除数同时乘0，得到除数为0的无效算式，完全不符合数学规则。 2、‌余数处理错误‌：末尾带0的除法简算后，忘记给余数补回之前划掉的0，直接把简化后的小余数作为最终余数，得到的结果和正确余数偏差巨大。 3、‌单变量规律混淆错误‌：被除数保持不变时，除数乘几，误以为商也跟着同向乘几，完全搞反商的反向变化方向，算出完全错误的商。 4、‌概念理解偏差‌：误以为只要被除数和除数同时增加或减少同一个数，商也能保持不变，完全混淆“同乘同除”和“同加同减”的规则边界，得出错误结论。 5、‌同步操作错误‌：应用商不变规律时，被除数乘一个数，除数却乘另一个不同的数，没有保证乘或除以的数完全相同，最终商发生改变却误以为商不变。 6、‌特殊场景失误‌：解决租船、装货物这类实际应用题时，用简化后的小余数直接判断剩余量，没有还原成真实余数，导致最终需要的容器、车辆数量算错，无法装完全部物品。 三、高频易错题 一、选择题 1．如果算式□□÷9的被除数增加18，那么商会（    ）。 A．增加18 B．增加9 C．增加2 D．减少2 2．小强计算200÷4时算成了100÷4，要想得到正确的结果，他还需要把100÷4所得的商再（    ）。 A．乘20 B．乘2 C．除以20 D．除以2 3．算式△÷□＝600，要使商变成6，可以进行（    ）运算。 A．（△×10）÷（□÷10） B．（△÷10）÷（□×10） C．（△÷10）÷（□÷10） D．（△×10）÷（□×10） 4．淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700。聪明的笑笑帮助淘淘弥补了他的错误，下列（    ）是笑笑的做法。 A．把得数乘100 B．把得数除以100 C．把得数乘10 D．把得数除以10 5．大智在计算一道除数是两位数的除法题时，得到的商是60，余数是40。他将被除数和除数都除以5后再进行计算，正确的结果是（    ）。 A．商60，余40 B．商60，余8 C．商12，余40 D．商12，余8 6．与“3600÷300”不相等的算式是哪个？（    ） A．360÷300 B．7200÷600 C．360÷30 D．36÷3 7．如果〇÷☆＝15……8（☆≠〇），那么（〇×6）÷（☆×6）＝（    ）。 A．15……8 B．15……48 C．90……8 D．90……48 8．如果A÷B＝18，那么（A×3）÷（B×3）的结果是（    ）。 A．18 B．6 C．54 D．无法确定 9．下面的四道算式中，商相等的两道算式是（    ）。 ①500÷30    ②50÷30    ③500÷3    ④5000÷300 A．①和④ B．②和③ C．①和② D．③和④ 10．已知甲÷乙＝20……5，如果甲、乙同时除以5，则甲÷乙＝（    ）。 A．20……5 B．4……5 C．20……1 D．4……1 11．60÷12＝5，如果除数增加48，要使结果不变，那么被除数要增加（    ）。 A．300 B．240 C．180 D．120 12．已知9÷2＝4……1，那么（9×100）÷（2×100）＝（    ）。 A．400……1 B．400……100 C．4……100 D．4……1 二、填空题 13．如果A÷B＝8……1，那么（A×5）÷（B×5）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×3）÷B＝（ ）；那么（A×2）÷（B÷5）＝（ ）。 14．如果A÷B＝20……5，则（A×6）÷（B×6）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝90，则A÷（B÷3）＝（ ）。 15．根据180÷12＝15，写出下面算式的得数。 180÷36＝（ ）        360÷24＝（ ） 16．根据，直接写出下列算式的商和余数。 3100÷500＝（ ）……（ ）    （ ）……（ ） 17．根据，直接写出下面各式的得数。 （ ）        （ ） 18．根据▲÷25＝20，直接写出下面算式的结果。 （▲×11）÷（25×11）＝（ ）        ▲÷（25×2）＝（ ） 19．根据168÷12＝14填空。 1680÷120＝（ ）    336÷24＝（ ）    16800÷（ ）＝14 20．670÷30＝22……10，如果被除数和除数同时除以10，那么商是（ ），余数是（ ）。 21．计算机编程中，△÷□＝16，那么（△×4）÷（□×4）＝（ ） ；（△×2）÷（□÷2）＝（ ） ；（△÷4）÷（□×4）＝（ ）。 22．如果甲÷乙＝24，那么（甲÷4）÷（乙÷4）＝（ ），甲÷（乙÷5）＝（ ）。 23．如果A÷B＝10……2，那么（A×3）÷（B×3）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×5）÷B＝（ ）。 24．聪聪在计算400÷25时，是这样算的。 400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，仔细观察他计算的每一步，这种算法运用了（    ）的规律，请你借鉴他的算法计算。 800÷25＝（800×□）÷（25×□）＝（    ）÷（    ）＝（    ）。 5000÷125＝（5000×□）÷（125×□）＝（    ）÷（    ）＝（    ）。 三、计算题 25．根据560÷14＝40，直接写出下面各题的商。 （560÷2）÷14＝     （560×2）÷14＝       （560÷2）÷（14÷2）＝ 26．根据每组题中第1题的结果，直接写出下面两题的结果。 60÷5＝12        48÷7＝6……6 300÷25＝        480÷70＝ 540÷45＝        4800÷700＝ 四、解答题 27．500千克花生可以榨油168千克，照这样计算，250千克花生可以榨油多少千克？ 28．华华在计算被除数和除数末尾都是0的除法时，将被除数和除数末尾各去掉一个0，结果得到商是8，余数是4，被除数最小是多少？ 29．两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少？若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少？ 30．一辆小型运货车每次可以运50箱桔子，用这辆小型货车运200箱桔子，几次能运完？如果运400箱、600箱、800箱呢？ 总箱数 200 400 600 800 每次运的箱数 50 50 50 50 运的次数 （1）把上面的表格填写完整。 （2）观察上表，你有什么发现？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年四年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第一单元商的变化规律及应用 一、核心知识点 1、‌商不变的基础核心规则。‌ 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，最终得到的商完全保持不变，这是商的变化规律体系里最核心的基础规则。 核心逻辑：乘或除以的数绝对不能是0，否则会直接出现除数为0的无效算式，数学上没有任何意义，这是规则成立的绝对前提。 示例：18÷6=3，把被除数和除数同时乘4得到72÷24，商依然是3；同时除以2得到9÷3，商也还是3，全程没有发生改变。 2、‌商不变下的余数同步变化规则。‌ 商保持不变的前提下，被除数和除数同时乘几，余数也跟着同步乘几；同时除以几，余数也跟着同步除以几，余数不会停留在原始数值上。 速记口诀：同乘同除0除外，商稳余数跟着变，乘几除几同步走，简算余数要还原。 示例：170÷50=3……20，把被除数和除数同时除以10简化成17÷5=3……2，余数从20同步缩小10倍变成2，最终真实余数要还原回20。 3、‌单变量变化的两类商变规则。‌ 除数保持不变时，被除数乘几或除以几（0除外），商也跟着同步乘几或除以几，商和被除数的变化方向完全一致；被除数保持不变时，除数乘几，商反而除以几，除数除以几，商反而乘几，商和除数的变化方向完全相反。 示例：48÷8=6，除数不变，被除数乘2变成96，商也同步乘2变成12；被除数不变，除数乘2变成16，商反而除以2变成3。 4、‌末尾带0除法的商不变简算方法。‌ 遇到被除数和除数末尾都有多个0的多位数除法，利用商不变规律，同时划掉末尾相同个数的0，把大数除法简化成小数除法，大幅降低计算难度，避免大数运算的失误。 示例：9200÷300，同时划掉末尾两个0，简化成92÷3计算，得到商30余2，最终的真实余数要补回之前划掉的两个0，得到200。 5、‌规律综合核验方法。‌ 应用完所有商的变化规律后反向验算：用最终得到的商乘原始除数，再加上还原后的真实余数，得到的结果必须和原始被除数完全相等，就能验证整段操作完全正确。 例：170÷50得到商3余20，3×50+20=170，和原始被除数完全相等，核验结果正确。 二、高频易错点 1、‌前提条件遗漏错误‌：应用商不变规律时，完全忘记“0除外”的核心前提，直接让被除数和除数同时乘0，得到除数为0的无效算式，完全不符合数学规则。 2、‌余数处理错误‌：末尾带0的除法简算后，忘记给余数补回之前划掉的0，直接把简化后的小余数作为最终余数，得到的结果和正确余数偏差巨大。 3、‌单变量规律混淆错误‌：被除数保持不变时，除数乘几，误以为商也跟着同向乘几，完全搞反商的反向变化方向，算出完全错误的商。 4、‌概念理解偏差‌：误以为只要被除数和除数同时增加或减少同一个数，商也能保持不变，完全混淆“同乘同除”和“同加同减”的规则边界，得出错误结论。 5、‌同步操作错误‌：应用商不变规律时，被除数乘一个数，除数却乘另一个不同的数，没有保证乘或除以的数完全相同，最终商发生改变却误以为商不变。 6、‌特殊场景失误‌：解决租船、装货物这类实际应用题时，用简化后的小余数直接判断剩余量，没有还原成真实余数，导致最终需要的容器、车辆数量算错，无法装完全部物品。 三、高频易错题 一、选择题 1．如果算式□□÷9的被除数增加18，那么商会（    ）。 A．增加18 B．增加9 C．增加2 D．减少2 【答案】C 【分析】由题意可知，算式□□÷9的被除数增加18，除法算式中，除数不变时，商的变化量等于被除数的变化量除以除数，所以被除数增加18，商的变化量＝18÷9，据此解答即可。 【详解】 所以，算式□□÷9的被除数增加18，那么商会增加2。 2．小强计算200÷4时算成了100÷4，要想得到正确的结果，他还需要把100÷4所得的商再（    ）。 A．乘20 B．乘2 C．除以20 D．除以2 【答案】B 【分析】除法计算中，除数不变时，被除数除以几，商也会跟着除以几。本题中除数始终是4，正确的被除数是200，小强错算成100，相当于被除数除以了2，因此得到的商也比正确的商小了一半，要得到正确结果，只需要把算出的商再乘2。 【详解】被除数除以2，除数不变，商也除以2。要想得到正确的结果，还需要把100÷4所得的商再乘2。 3．算式△÷□＝600，要使商变成6，可以进行（    ）运算。 A．（△×10）÷（□÷10） B．（△÷10）÷（□×10） C．（△÷10）÷（□÷10） D．（△×10）÷（□×10） 【答案】B 【分析】根据商的变化规律，除数不变，被除数乘或除以一个不为0的数，商也要乘或除以这个数；被除数不变，除数乘或除以一个不为0的数，商需要除以或乘这个数；商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，据此分析每个选项，选出商是6的即可。 【详解】A．△÷□和（△×10）÷（□÷10）相比，被除数乘10，除数除以10，则商需要先乘10再乘10，600×10×10＝60000，（△×10）÷（□÷10）＝60000，不符合题意； B．△÷□和（△÷10）÷（□×10）相比，被除数除以10，除数乘10，则商需要先除以10再除以10，600÷10÷10＝6，（△÷10）÷（□×10）＝6，符合题意； C．△÷□和（△÷10）÷（□÷10）相比，被除数和除数同时除以10，商不变，（△÷10）÷（□÷10）＝600，不符合题意； D．△÷□和（△×10）÷（□×10）相比，被除数和除数同时乘10，商不变，（△×10）÷（□×10）＝600，不符合题意。 可以进行（△÷10）÷（□×10）运算。 4．淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700。聪明的笑笑帮助淘淘弥补了他的错误，下列（    ）是笑笑的做法。 A．把得数乘100 B．把得数除以100 C．把得数乘10 D．把得数除以10 【答案】C 【分析】根据商的变化规律：当除数不变时，被除数除以10，商也跟着除以10。要得到正确的商，则得数乘10。 【详解】淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700，相当于被除数除以10，要得到正确的商，那么把得数乘10，就能弥补淘淘的错误。 5．大智在计算一道除数是两位数的除法题时，得到的商是60，余数是40。他将被除数和除数都除以5后再进行计算，正确的结果是（    ）。 A．商60，余40 B．商60，余8 C．商12，余40 D．商12，余8 【答案】B 【分析】在有余数的除法算式里，被除数和除数同时除以5，那么商不变，余数也要除以5，依此选择。 【详解】40÷5＝8 他将被除数和除数都除以5后再进行计算，正确的结果是商60，余8。 故答案为：B 6．与“3600÷300”不相等的算式是哪个？（    ） A．360÷300 B．7200÷600 C．360÷30 D．36÷3 【答案】A 【分析】根据商的变化规律判断即可。 商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商反而除以或乘几。 除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商就乘或除以几。 【详解】A．3600÷300变到360÷300，除数不变，被除数除以10，商就除以10。     B．3600÷300变到7200÷600，被除数和除数同时乘2，商不变。 C．3600÷300变到360÷30，被除数和除数同时除以10，商不变。 D．3600÷300变到36÷3，被除数和除数同时除以100，商不变。 故答案为：A 7．如果〇÷☆＝15……8（☆≠〇），那么（〇×6）÷（☆×6）＝（    ）。 A．15……8 B．15……48 C．90……8 D．90……48 【答案】B 【分析】在有余数的除法中，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变，余数也要乘这个数。 【详解】商不变，仍为15；余数计算：，因此结果为15……48。 8．如果A÷B＝18，那么（A×3）÷（B×3）的结果是（    ）。 A．18 B．6 C．54 D．无法确定 【答案】A 【分析】被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，据此解答。 【详解】（A×3）÷（B×3）＝18 9．下面的四道算式中，商相等的两道算式是（    ）。 ①500÷30    ②50÷30    ③500÷3    ④5000÷300 A．①和④ B．②和③ C．①和② D．③和④ 【答案】A 【分析】根据商不变的规律判断：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。 【详解】A．①和算式④：，，即①的被除数和除数同时乘10得到④，符合商不变的规律，二者商相等； B．②50÷30变化为③500÷3是被除数50乘10，除数30除以10，不符合商不变的规律； C．①500÷30变化为②50÷30是被除数500除以10，除数不变，不符合商不变的规律； D．③500÷3变化为④5000÷300是被除数500乘10，除数3乘100，不符合商不变的规律。 因此，商相等的两道算式是①和④。 10．已知甲÷乙＝20……5，如果甲、乙同时除以5，则甲÷乙＝（    ）。 A．20……5 B．4……5 C．20……1 D．4……1 【答案】C 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数随着被除数和除数的变化而变化。 【详解】根据分析可知： 已知甲÷乙＝20……5，如果甲、乙同时除以5，则商不变，还是20，余数为5÷5＝1，所以甲÷乙＝20……1，C选项正确。 11．60÷12＝5，如果除数增加48，要使结果不变，那么被除数要增加（    ）。 A．300 B．240 C．180 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，除数原来是12，增加48，12＋48＝60，60÷12＝5，则扩大到原数的5倍，根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，除数乘5，则被除数也需要乘5，用60×5－60即可求出被除数要增加多少。 【详解】（12＋48）÷12 ＝60÷12 ＝5 60×5－60 ＝300－60 ＝240 被除数要增加240。 12．已知9÷2＝4……1，那么（9×100）÷（2×100）＝（    ）。 A．400……1 B．400……100 C．4……100 D．4……1 【答案】C 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，但是余数需要同时乘或除以这个数。 【详解】（9×100）÷（2×100）和9÷2相比，被除数和除数同时乘100，商不变，余数需要乘100，1×100＝100。 （9×100）÷（2×100）＝4……100。 二、填空题 13．如果A÷B＝8……1，那么（A×5）÷（B×5）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×3）÷B＝（ ）；那么（A×2）÷（B÷5）＝（ ）。 【答案】8 5 72 240 【分析】对于有余数的除法，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，余数也要乘（或除以）相同的数。 对于没有余数的除法，被除数乘几（0除外），除数不变，商也要乘相同的数。被除数乘几（0除外），除数除以几（0除外），商先乘被除数乘的数，再乘除数除以的数。 【详解】1×5＝5 所以，如果A÷B＝8……1，那么（A×5）÷（B×5）＝8……5； 24×3＝72 24×2×5＝240 所以，如果A÷B＝24，那么（A×3）÷B＝72；那么（A×2）÷（B÷5）＝240。 14．如果A÷B＝20……5，则（A×6）÷（B×6）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝90，则A÷（B÷3）＝（ ）。 【答案】20 30 270 【分析】被除数与除数同时乘相同的数（0除外），商不变，余数也需要乘相同的数。除法算式中，被除数不变，除数除以一个数（0除外），相当于商乘这个数。 【详解】（A×6）÷（B×6），被除数与除数同时乘6，商不变，还是20，余数也需乘6，是， 所以如果A÷B＝20……5，则（A×6）÷（B×6）＝20……30。 A÷（B÷3）被除数不变，除数除以3，相当于商乘3，商是， 所以如果A÷B＝90，则A÷（B÷3）＝270。 15．根据180÷12＝15，写出下面算式的得数。 180÷36＝（ ）        360÷24＝（ ） 【答案】 【分析】商的变化规律：被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）几；除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商就乘以（或除以）几；被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。 【详解】已知180÷12＝15，在180÷36中，被除数180不变，除数由12变为36，36÷12＝3，即除数乘3。根据商的变化规律，被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几，所以商15应除以3，15÷3＝5，即180÷36＝5。 已知180÷12＝15，在360÷24中，被除数180变为360，360÷180＝2，即被除数乘以2；除数12变为24，24÷12＝2，即除数也乘以2。根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以相同的数（0除外），商不变，所以360÷24＝15。 16．根据，直接写出下列算式的商和余数。 3100÷500＝（ ）……（ ）    （ ）……（ ） 【答案】6 100 6 1 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数同时乘或除以相同的数；据此解答即可。 【详解】（310×10）÷（50×10）＝3100÷500＝6……100 （310÷10）÷（50÷10）＝31÷5＝6……1 17．根据，直接写出下面各式的得数。 （ ）        （ ） 【答案】16 540 【分析】被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变；除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数不变，除数乘几，商反而除以几。 【详解】864÷16＝54，864÷54＝16 864和54同时乘10，商不变，所以8640÷540＝16； 864乘10，16不变，商也乘，所以108640÷16＝540。 18．根据▲÷25＝20，直接写出下面算式的结果。 （▲×11）÷（25×11）＝（ ）        ▲÷（25×2）＝（ ） 【答案】20 10 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；根据商的变化规律，当被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商反而除以或乘这个数；据此解答。 【详解】与▲÷25＝20相比较，（▲×11）÷（25×11）的被除数和除数同时乘11，商不变，所以（▲×11）÷（25×11）＝20； ▲÷（25×2）的被除数不变，除数乘2，则商反而除以2，即20÷2＝10，所以 ▲÷（25×2）＝10。 19．根据168÷12＝14填空。 1680÷120＝（ ）  336÷24＝（ ）  16800÷（ ）＝14 【答案】14 14 1200 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘一个数或除以同一个不为0的数，商不变；除数不变，被除数扩大到原来的多少倍或缩小到原来的几分之一，商也相应地扩大的原来的多少倍或缩小到原来的几分之一；据此分析解答即可。 【详解】1680÷120＝（ ）中被除数和除数都同时乘10，根据商不变的性质，1680÷120＝14； 336÷24＝（ ）中被除数和除数都同时乘2，根据商不变的性质，336÷24＝14； 16800÷（ ）＝14中商不变，被除数扩大到原来的100倍，则除数也相应地扩大到原来的100倍，有16800÷1200＝14。 20．670÷30＝22……10，如果被除数和除数同时除以10，那么商是（ ），余数是（ ）。 【答案】22 1 【分析】根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数同时乘或除以相同的数，据此解答即可。 【详解】670÷30＝22……10，如果被除数和除数同时除以10，商不变为22，原式余数10需同时除以10，即10÷10＝1，因此余数是1。 21．计算机编程中，△÷□＝16，那么（△×4）÷（□×4）＝（ ） ；（△×2）÷（□÷2）＝（ ） ；（△÷4）÷（□×4）＝（ ）。 【答案】16 64 1 【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几。据此解答即可。 【详解】已知△÷□＝16 （1）对于（△×4）÷（□×4），被除数△乘4，除数□也乘4，因此（△×4）÷（□×4）＝16。 （2）对于（△×2）÷（□÷2），被除数△乘2，商乘2，除数□除以2，商乘2，因此：（△×2）÷（□÷2）＝16×2×2＝64。 （3）对于（△÷4）÷（□×4），被除数△除以4，商除以4，除数□乘4，商除以4，因此：（△÷4）÷（□×4）＝16÷4÷4＝1 22．如果甲÷乙＝24，那么（甲÷4）÷（乙÷4）＝（ ），甲÷（乙÷5）＝（ ）。 【答案】24 120 【分析】（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。 （2）商的变化规律：被除数不变，除数除以一个不为0的数，商反而要乘这个不为0的数。 【详解】（1）甲和乙同时除以4，符合商不变的性质，所以（甲÷4）÷（乙÷4）＝24 （2）被除数甲不变，除数乙除以5，商就要乘5，所以甲÷（乙÷5）＝120 23．如果A÷B＝10……2，那么（A×3）÷（B×3）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×5）÷B＝（ ）。 【答案】10 6 120 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘相同非零数，商不变。因此原商保持不变。 余数变化：被除数和除数同时乘3，余数也需乘3，据此计算即可。 商的变化规律（除数不变）：被除数乘几，商也乘几。据此计算即可。 【详解】计算（A×3）÷（B×3）的商和余数： 根据商不变规律，商仍为10；余数由2变为2×3＝6 计算（A×5）÷B的商： 原式A÷B＝24，被除数乘5、除数不变时，商变为24×5＝120。 24．聪聪在计算400÷25时，是这样算的。 400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，仔细观察他计算的每一步，这种算法运用了（    ）的规律，请你借鉴他的算法计算。 800÷25＝（800×□）÷（25×□）＝（    ）÷（    ）＝（    ）。 5000÷125＝（5000×□）÷（125×□）＝（    ）÷（    ）＝（    ）。 【答案】商不变； 4；4；3200；100；32； 8；8；40000；1000；40 【分析】被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。聪聪在计算400÷25时，400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，运用了商不变的规律；因为25乘4＝100，所以计算800÷25时，被除数和除数可以同时乘4进行计算；因为125×8＝1000，所以计算5000÷125，被除数和除数可以同时乘8进行计算；据此解答即可。 【详解】400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，仔细观察他计算的每一步，这种算法运用了商不变的规律，请你借鉴他的算法计算。 800÷25＝（800×4）÷（25×4）＝3200÷100＝32。 5000÷125＝（5000×8）÷（125×8）＝40000÷1000＝40。 三、计算题 25．根据560÷14＝40，直接写出下面各题的商。 （560÷2）÷14＝     （560×2）÷14＝       （560÷2）÷（14÷2）＝ 【答案】20；80；40 【分析】根据商的变化规律：除数不变，被除数除以一个不为0的数，商也除以同一个不为0的数；除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此解答即可。 【详解】（560÷2）÷14＝20     （560×2）÷14＝80       （560÷2）÷（14÷2）＝40 26．根据每组题中第1题的结果，直接写出下面两题的结果。 60÷5＝12        48÷7＝6……6 300÷25＝        480÷70＝ 540÷45＝        4800÷700＝ 【答案】12；6……60； 12；6……600 四、解答题 27．500千克花生可以榨油168千克，照这样计算，250千克花生可以榨油多少千克？ 【答案】84千克 【分析】由题意可知，每千克花生可以榨油的质量不变，500÷250＝2，花生的质量乘（除以）几，油的质量也要乘（除以）几，据此即可解答。 【详解】168÷（500÷250） ＝168÷2 ＝84（千克） 答：250千克花生可以榨油84千克。 【点睛】本题主要考查学生对商的变化规律的掌握和灵活运用。 28．华华在计算被除数和除数末尾都是0的除法时，将被除数和除数末尾各去掉一个0，结果得到商是8，余数是4，被除数最小是多少？ 【答案】440 【分析】根据商不变的规律，被除数、除数末尾同时去掉一个0，相当于被除数和除数同时除以10，商不变，但是余数也要除以10； 题目去掉0之后商是8，余数是4，要先还原得到原来算式的余数；在有余数除法里，余数必须小于除数，求出最小的除数，再根据被除数＝商×除数＋余数，求出最小的被除数。 【详解】原来余数：4×10＝40 余数必须小于除数，余数是40，除数最小是50。 最小被除数： 8×50＋40 ＝400＋40 ＝440 答：所以被除数最小是440。 29．两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少？若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少？ 【答案】被除数是486，除数是43； 商是11；余数是26； 【分析】根据商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，用553减去商11和余数13的和，得出被除数和除数的和；因为商是11，余数是13，可知被除数是除数的11倍再加上余数13，所以被除数等于除数×11＋余数13；被除数和除数的和可以看作11＋1＝12个除数再加上余数13；用被除数和除数的和减去余数13再除以12得出除数，再用被除数和除数的和减去除数求出被除数。 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；除数、余数要扩大或缩小相同的倍数。据此解答。 【详解】553－（11＋13） ＝553－24 ＝529 （529－13）÷（11＋1） ＝516÷12 ＝43 被除数：529－43＝486， 这个式子为486÷43＝11……13， 13×2＝26 答：被除数是486，除数是43；扩大后的商是11，余数是26。 30．一辆小型运货车每次可以运50箱桔子，用这辆小型货车运200箱桔子，几次能运完？如果运400箱、600箱、800箱呢？ 总箱数 200 400 600 800 每次运的箱数 50 50 50 50 运的次数 （1）把上面的表格填写完整。 （2）观察上表，你有什么发现？ 【答案】（1）4；8；12；16 （2）我发现：除数不变，被除数扩大到原来的几倍（0除外），商就随之扩大相同的倍数。 【分析】（1）分别用总箱数除以每次运的箱数，即为需要运的次数，据此作答； （2）被除数都为50，400÷200＝2，对应的8÷4＝2；600÷200＝3，对应的12÷4＝3；800÷200＝4，对应的16÷4＝4，所以发现：除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： （1）200÷50＝4（次），400÷50＝8（次），600÷50＝12（次），800÷50＝16（次），填表如下： 总箱数 200 400 600 800 每次运的箱数 50 50 50 50 运的次数 4 8 12 16 （2）我发现：除数不变，被除数扩大到原来的几倍（0除外），商就随之扩大相同的倍数。 学科网（北京）股份有限公司 $