第3节 等比数列及其前n项和复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和公式及性质，严格对标高考理解概念、掌握公式、了解与指数函数关系的考查要求。知识点按“定义-公式-性质”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识网络，突破基本量求解、判定证明、性质应用难点。 资料特色在于融入数学思维与数学语言培养，如等比数列判定中用定义法结合递推关系验证发展推理能力，性质应用设计项的乘积与前n项和分段性质对比分析活动。设置分层练习与真题案例，保障复习效果，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

第3节　等比数列及其前n项和 考试要求　1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝_____(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝_____. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_____； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_____. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为_____. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. (4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列. 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　) 2.已知等比数列{an}中，a1＝27，a9＝，q＜0，则S8＝________. 3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________. 4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________. 考点一　等比数列基本量的求解 例1 (1)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 (2)已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 感悟提升　1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 跟踪训练1 (1)(2026·攀枝花三模)正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝，S3＝7，则a5＝(　　) A.8 B.16 C.27 D.81 (2)(2026·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　) A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天 考点二　等比数列的判定与证明 例2 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 感悟提升　1.证明一个数列为等比数列常用定义法(作比法)与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证. 跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 考点三　等比数列的性质 角度1　项的性质 例3 (2026·湖南师大附中模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________. 角度2　前n项和的性质 例4 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 角度3　等比数列中的最值 例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 023a2 024＞1，＜0，下列结论正确的是(　　) A.S2 023＜S2 024 B.a2 023a2 025－1＜0 C.T2 024是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 感悟提升　1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 训练3 (1)(多选)(2026·茂名一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项中错误的是(　　) A.若S3＝4，S6＝12，则S9＝29 B.若a1＝1，q＝，则Sn＝4－3an C.若a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝－6 D.若a1＝1，a5＝4a3，则an＝2n－1 (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节　等比数列及其前n项和 考试要求　1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. (4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列. 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(1)在等比数列中，q≠0. (2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. (3)当a＝1时，Sn＝na. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 2.已知等比数列{an}中，a1＝27，a9＝，q＜0，则S8＝________. 答案　 解析　由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝， 即q8＝， 又由q＜0，得q＝－， 所以S8＝. 3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________. 答案　3·2n－1或2·3n－1 解析　设数列{an}的公比为q， 由题意得 解得或 故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1. 4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________. 答案　4 解析　设公比为q，则an＝a1qn－1， 则a1·a1q2·a1q10＝8， 所以aq12＝8，所以a1q4＝2， 所以a2a8＝a1q·a1q7＝aq8＝(a1q4)2＝4. 考点一　等比数列基本量的求解 例1 (1)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 答案　AD 解析　对A，由题意得结合q>0，解得或(舍去)，故A正确； 对B，a5=a1q4=4×=，故B错误； 对C，S5===，故C错误； 对D，an=4×=23-n，Sn==8-23-n， 则an+Sn=23-n+8-23-n=8，故D正确. (2)已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　3n或·3n＋1－ 解析　设数列{an}的公比为q，由题意知4a2＝3a1＋a3， 即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3， 当q＝1时，Sn＝3n； 当q＝3时，Sn＝·3n＋1－. 感悟提升　1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 跟踪训练1 (1)(2026·攀枝花三模)正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝，S3＝7，则a5＝(　　) A.8 B.16 C.27 D.81 答案　B 解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0). 由a3＝，可得a3＝q2， 所以a2＝q，a1＝1， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7， 解得q＝2(q＝－3舍去)， 所以a5＝a1q4＝1×24＝16. (2)(2026·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　) A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天 答案　C 解析　设蒲的长度组成等比数列{an}， a1＝3，公比为，前n项和为An. 莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2， 其前n项和为Bn. 则An＝，Bn＝， 由题意可得5×＝， 解得2n＝30，2n＝1(舍去). ∴n＝log230＝＝＝≈4.9. 考点二　等比数列的判定与证明 例2 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解　(1)易知q≠1，由题意可得 解得a1＝1，q＝3， ∴an＝3n－1，Sn＝＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝， 此时Sn＋＝×3n， 则＝＝3， 故存在常数λ＝，使得数列{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列. 感悟提升　1.证明一个数列为等比数列常用定义法(作比法)与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证. 跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1， 又a1＋a1＝1， ∴a1＝，∴a1－1＝－≠0， ∵＝，∴＝. 故{cn}是以c1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列. (2)解　由(1)知cn＝－×＝－. ∵cn＝an－1，∴an＝1－. 考点三　等比数列的性质 角度1　项的性质 例3 (2026·湖南师大附中模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________. 答案　－6 解析　＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋， ∵在等比数列{an}中，a4a5＝－， 则a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝－， ∴原式＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝－×＝－6. 角度2　前n项和的性质 例4 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 答案　B 解析　数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列， ∴S12＝4＋8＋16＋32＝60. 角度3　等比数列中的最值 例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 023a2 024＞1，＜0，下列结论正确的是(　　) A.S2 023＜S2 024 B.a2 023a2 025－1＜0 C.T2 024是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 答案　AB 解析　当q＜0时，a2 023a2 024＝aq＜0，不成立； 当q≥1时，a2 023＞1，a2 024＞1，＜0，不成立； 故0＜q＜1，且a2 023＞1，0＜a2 024＜1， 故S2 024＞S2 023，A正确； a2 023a2 025－1＝a－1＜0，故B正确； T2 023是数列{Tn}中的最大值，C、D错误. 感悟提升　1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 训练3 (1)(多选)(2026·茂名一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项中错误的是(　　) A.若S3＝4，S6＝12，则S9＝29 B.若a1＝1，q＝，则Sn＝4－3an C.若a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝－6 D.若a1＝1，a5＝4a3，则an＝2n－1 答案　ACD 解析　对于A，易知公比q≠－1， 则可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 又S3＝4，S6－S3＝12－4＝8， ∴S9－S6＝16， ∴S9＝S6＋16＝12＋16＝28，A错误； 对于B，∵a1＝1，q＝， ∴an＝，Sn＝＝＝4－3an，B正确； 对于C，由a5a6＝a4a7得a4a7＝－8， 又a4＋a7＝2， ∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， ∴q3＝－或q3＝－2. 当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×＝－7； 当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋(－2)×(－2)2＝－7，C错误； 对于D，∵a1＝1，a5＝4a3， ∴q4＝4q2，得q＝－2或q＝2， ∴an＝(－2)n－1或an＝2n－1，D错误. (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________. 答案　20 解析　在正项等比数列{an}中，Sn>0， 因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4， 易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列， 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 所以S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号). 因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8， 所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20. 学科网（北京）股份有限公司 $