专题6.5 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列及其前n项和核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和、性质及判定等内容，按知识内在逻辑构建体系。通过考点梳理、方法指导（如基本量计算、性质应用）、真题训练（近三年高考题）等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以分层教学为特色，设置8类题型（如基本量计算、判定证明、综合应用），结合高考真题示例与变式训练，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言（符号表达）能力。通过性质应用策略（如“知三求二”法）和即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

专题6.5 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等比数列及其前n项和 全国甲卷（文数）：第17题，12分 全国甲卷（理数）：第18题（1），5分 全国一卷：第13题，5分 全国二卷：第9题，6分 全国一卷：第14题，5分 全国二卷：第10题，6分 命题规律分析 1、等比数列及其前n项和 等比数列是高考的重点、热点内容，是每年高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，等比数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定，一般每年必考1题。 从近三年的考情规律来看，选择题、填空题中多单独命题，主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，常与等差数列综合命题，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 考点1 等比数列及其前n项和 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 知识点2 等比数列的基本量的计算 1．等比数列基本量的运算的求解思路： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点3 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点4 等比数列的前n项和 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 2．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 知识点5 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点6 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2026·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式及已知，列方程求得公比. 【解答过程】由题设，又，解得. 故选：B. 【变式1-1】（2026·青海·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将各项表示成和的形式，即可解出. 【解答过程】由，可得，即，解得． 故选：C. 【变式1-2】（2026·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 【答案】B 【解题思路】由等比数列求和公式求得，进而可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 则 即，解得：， 又， 解得， 则， 故选：B. 【变式1-3】（2026·江西景德镇·模拟预测）一个各项均为正数的等比数列，第三项等于第四项和第五项之和，则公比等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，利用等比数列的通项公式，化简得，即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，其中且， 因为第三项等于第四项和第五项之和，可得，所以， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：C. 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解答过程】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】（2026·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解答过程】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【解答过程】（1）证明：因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得：， 则 . 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且 . (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若，求满足条件的最大正整数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）通过对递推式取倒数并构造形如的等比数列模型，证明数列为等比数列。 （2）先利用第 (1) 问的结论求出的通项，再对其求和得到，最后通过放缩法解不等式，求出最大正整数. 【解答过程】（1）由题得：，则，整理得， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，所以， 又 ，   所以，则， 又时，， 时，， 则满足条件的最大正整数. 【题型3 等比数列的性质及应用】 【例3】（2026·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【答案】B 【解题思路】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【解答过程】由题意可知. 故选：B. 【变式3-1】（2026·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的性质即可求解. 【解答过程】等比数列中，，， ，由于故，所以， 故选：D． 【变式3-2】（2026·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【解答过程】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C. 【变式3-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【解题思路】根据已指两个等式，利用等比数列下标和的性质得到，进而得解. 【解答过程】由题设，又， 则，而，故 . 故选：A. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【解答过程】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A. 【变式4-2】（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件结合等比数列性质可确定等比数列公比，进而求出，即可求得答案； （2）结合（1）的结论可得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【解答过程】（1）当时，， 当时， ①， ②， ①－②得，即， 由于数列为等比数列，则等比数列公比，所以， 即得，解得， 所以数列是首项，公比的等比数列，通项公式为； （2） ， . 【变式4-3】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知等比数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)或 (2)55或 【解题思路】(1)设公比为，求出公比即可得解. (2)由(1)得到的通项公式，先写出，然后乘以公比得到，利用错位相减法，通过化简得到，最后将代入求出. 【解答过程】（1）设公比为，则由和可得， 即，解得或， 或 （2）①当时，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ②当时，， ①， 所以②， 由①-②得 ， 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的概念和充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【解答过程】若是递增数列，则或， 所以“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【解答过程】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【变式5-2】（2026·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【解答过程】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二下·上海闵行·阶段检测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【解题思路】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【解答过程】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 【题型6 等比数列前n项和的性质】 【例6】（2026·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．7 C．63 D．7或63 【答案】B 【解题思路】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果. 【解答过程】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列， 所以，则， 所以，则或， 等比数列的公比为， 若时，则，而，显然等式不成立； 若时，则，满足题设； 所以. 故选：B. 【变式6-1】（2026·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【解题思路】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【解答过程】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C. 【变式6-2】（2026·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【解答过程】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 【变式6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【答案】B 【解题思路】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可. 【解答过程】由题，， 根据等比数列的性质，，成等比数列， 故， ， 所以. 故选：B． 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 【变式7-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解题思路】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【解答过程】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B. 【变式7-2】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【解题思路】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【解答过程】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，将每个音的频率看作等比数列，且数列共13项，且，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解. 【解答过程】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B. 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 【例8】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 【答案】D 【解题思路】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【解答过程】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D. 【变式8-1】（2026·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前项和公式列式求解即可. 【解答过程】依题意，，显然， ，则， 又，故， 所以，由，得， 则，解得，所以. 故选：A. 【变式8-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【解答过程】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【变式8-3】（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）； （ⅱ） 【解题思路】（1）直接计算等差等比数列的基本量，进而可能通项公式； （2）（ⅰ）当时，此时数列是公差为的等差数列，故得，当时，，进而可得，再通过待定系数法构造等比数列，从而可得； （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，先求第段和 ，再对进行分组并项求和可得. 【解答过程】（1）因为是公差为的等差数列，，由得​： ， 即，解得，因此： . 对于等比数列，公比，，由得：， ​得，结合，解得，因此： . 综上，，. （2）因为，由上分析知，，所以，. （ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项， 因此，①. 当时，，将①代入得. 因此②. 用待定系数法构造等比数列：设， 则，与②比较得，解得, 所以， 故数列是公比为的等比数列，且首项. 所以，即， 又因为，所以，， 因此. （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列， 即第段：，项数；第段：，项数； 第段：，项数；；第段：，项数； 记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列， 所以 ， 对求和， ， 因此，. 一、单选题 1．（2026·湖南·三模）已知等比数列满足，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的性质求解即可. 【解答过程】由可得，则，又， 所以，且，则． 故选：B. 2．（2026·河南开封·模拟预测）正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】可根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解公比. 【解答过程】，，， ，，相除可得：， 展开式子得，解得或， 因为数列是正项等比数列，所以，故舍去， 得到. 故选：A. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【解答过程】设正项等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为， 得，解得或（舍去），所以， 则． 故选：B. 4．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【解题思路】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【解答过程】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 故选：A. 5．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【解答过程】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 故选：D. 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【解答过程】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【解题思路】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【解答过程】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 故选：C. 8．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·甘肃白银·三模）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用等比数列的通项公式和前项和公式化简条件依次判断选项即可. 【解答过程】若，则，故A正确； 所以， 化简得：，解得：或（舍去），故B正确； 所以，故C错误； ，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据等比数列的性质结合已知条件求出通项公式，结合指数函数单调性判断选项A；利用公比判断选项B；利用前项和公式计算判断选项C；代入通项公式计算判断选项D． 【解答过程】设等比数列公比为，则，即，解得， 数列是正项等比数列，，故， ，则，解得， ， ，数列单调递增，故A错误； ，，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 11．（2026·福建福州·模拟预测）已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．使的正整数的最小值为5 C．的最大值为 D． 【答案】BD 【解题思路】利用等比数列的性质可以由求出公比，再由求出首项，A可以通过数列的通项公式判断；B计算出前项和公式进行计算；C根据的单调性进行判断；D. 【解答过程】利用等比数列的性质可以由求出公比， 由求出首项，故； A，，数列为递减数列，错误； B，，故为单调递增，又，故使的正整数的最小值为5，正确； C，， 当时， ，数列单调递增， 当时，，数列单调递减， 由于，故， 所以，的最大值为和，错误； D，，正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 【答案】4 【解题思路】根据等比数列的通项公式及前项和求解即可. 【解答过程】设等比数列的首项为，公比为，则， 又， 所以，，解得. 因为，所以. 所以. 故答案为：. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正项等比数列的前4项和为，则数列的公比__________. 【答案】/ 【解题思路】利用等比数列前项和以及等比数列通项公式结合已知条件建立等式关系求解即可. 【解答过程】由题意得：， 又， 且， 两式相除得，解得或（舍去）, 因为是正项数列，所以. 故答案为：. 14．（2026·安徽合肥·三模）已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 【答案】21 【解题思路】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 16．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2） ， ． 17．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【解答过程】（1）证明：在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 18．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【解答过程】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 19．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和. ②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【解答过程】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得：，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时，，，数列单调递减； 当时，，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 等比数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等比数列及其前n项和 全国甲卷（文数）：第17题，12分 全国甲卷（理数）：第18题（1），5分 全国一卷：第13题，5分 全国二卷：第9题，6分 全国一卷：第14题，5分 全国二卷：第10题，6分 命题规律分析 1、等比数列及其前n项和 等比数列是高考的重点、热点内容，是每年高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，等比数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定，一般每年必考1题。 从近三年的考情规律来看，选择题、填空题中多单独命题，主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，常与等差数列综合命题，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 考点1 等比数列及其前n项和 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 知识点2 等比数列的基本量的计算 1．等比数列基本量的运算的求解思路： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 知识点3 等比数列的判定方法 1．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 知识点4 等比数列的前n项和 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 2．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 知识点5 等比数列及其前n项和的性质及应用 1．等比数列的性质： 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 知识点6 等比数列前n项和的函数特征 1．Sn与q的关系 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点； (2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【方法技巧与总结】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1). (2)若，则成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2026·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-1】（2026·青海·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 【变式1-3】（2026·江西景德镇·模拟预测）一个各项均为正数的等比数列，第三项等于第四项和第五项之和，则公比等于（   ） A． B．2 C． D． 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】（2026·河南焦作·一模）设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2026·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式2-2】（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式2-3】（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且 . (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若，求满足条件的最大正整数. 【题型3 等比数列的性质及应用】 【例3】（2026·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【变式3-1】（2026·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【变式3-2】（2026·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【变式3-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式4-3】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知等比数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2026·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（25-26高二下·上海闵行·阶段检测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【题型6 等比数列前n项和的性质】 【例6】（2026·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．7 C．63 D．7或63 【变式6-1】（2026·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【变式6-2】（2026·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【变式7-2】（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【变式7-3】（25-26高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 【例8】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 【变式8-1】（2026·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【变式8-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式8-3】（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 一、单选题 1．（2026·湖南·三模）已知等比数列满足，，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·河南开封·模拟预测）正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 4．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 5．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 8．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·甘肃白银·三模）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 11．（2026·福建福州·模拟预测）已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．使的正整数的最小值为5 C．的最大值为 D． 三、填空题 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正项等比数列的前4项和为，则数列的公比__________. 14．（2026·安徽合肥·三模）已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 四、解答题 15．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 17．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 18．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 19．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $