4.3 对数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦对数核心知识点，前承指数式与对数式互化基础，系统梳理对数概念、基本性质（如loga1=0、logaa=1）、运算性质及换底公式，后通过指数式对数式互化、化简求值等五个题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料以题型为载体，每个题型配“方法提炼”，如题型1的互化技巧、题型5的实际问题转化，培养数学思维与模型观念。课中教师可分层教学，课后学生通过例题巩固，查漏补缺，提升解决实际问题能力。

§4.3 对数 目录 题型1：指数式与对数式的互化 2 题型2：对数式的化简、求值 5 题型3：换底公式及其应用 7 题型4：对数方程 9 题型5：实际问题中的对数问题 12 1. 对数的概念 如果，则数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． (1) 指数式与对数式互化：。 (2) 两类特殊对数 ①常用对数：以10为底的对数，记作； ②自然对数：以e为底的对数，记作. (e=2.71828…)。 2. 对数的基本性质 (1) ，； (2) 对数恒等式：； (3) 。 3. 对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③． 换底公式：. 推论：① ； ②. 题型1：指数式与对数式的互化 方法提炼 (1) 指数式与对数式互化： (2) 幂值相等的指数式问题求解技巧 幂值相等的指数式问题,求解时一般设相等的指数式为同一个常数,利用取对数的方法求解。 【例1.1.】 已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 【例1.2.】 若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为________，的值为________. 【答案】 18 【难度】0.92 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】首先进行指对互换，即，，再利用指数幂的运算规则计算即可. 【详解】，，则， . 【例1.3.】 已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 【例1.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 【例1.5.】 指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【详解】因为， 所以． 题型2：对数式的化简、求值 方法提炼 利用对数运算性质化简求值 (1) “收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2) “拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3) “凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用，进行计算或化简. 【例2.1.】 计算：______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】原式 . 【例2.2.】 的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】 . 【例2.3.】 计算：_____________． 【答案】17 【难度】0.82 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 【例2.4.】 求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【难度】0.86 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 【例2.5.】 计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【难度】0.76 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【详解】（1） ； （2）. 题型3：换底公式及其应用 方法提炼 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【例3.1.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式以及对数的运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 【例3.2.】 ___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】. 【例3.3.】 已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 【例3.4.】 已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 题型4：对数方程 方法提炼 对数方程的常见题型的求解思路 类型 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式，解出． 将对数式转化为指数式，解出，注意检验且． 同底数型 转化为求解（注意检验，且）． 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验． 【例4.1.】 若，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算、简单的对数方程 【详解】，即， ，故得，所以， 解得. 【例4.2.】 （1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【难度】0.72 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、简单的对数方程 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 【例4.3.】 解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【难度】0.71 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、简单的对数方程 【分析】（1）先求得应满足的条件，再将对数方程转化为一元二次方程，解方程即可得解. （2）先求得应满足的条件，将方程转化，再利用换元法转化为一元二次方程，解方程即可求解. 【详解】（1）， 方程中的应满足，原方程可化为， ，即， 解得或（舍去），经检验是原方程的解. （2），方程中的应满足且， 原方程可化为，即， 令，则，解得或， 即或，或， 经检验，都是原方程的解. 【例4.4.】 若且，则________． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】因为， 所以， 因为且，所以，解得． 【例4.5.】 方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、简单的指数方程 【分析】利用对数和指数的运算性质，将所求方程化为，再利用的单调性，可得是唯一解，再解此方程即可得到原方程的解． 【详解】注意到， 故，即， 等式两边除以，得， 又在上单调递减，且， 所以只能，解得． 题型5：实际问题中的对数问题 方法提炼 关于对数运算在实际问题中的应用 (1) 在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2) 在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 【例5.1.】 某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过1亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元，根据题意得出，化简结合对数的运算得出，即可得出答案. 【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元， 由题意得出，整理得， 两边取对数得，则， ， 则，即该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元的年份是年． 【例5.2.】 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意得到，然后利用对数的性质解方程，并用表示方程的解并进行估算，最后得出的最小值. 【详解】由题意可得，解得 由换底公式可得 所以.由于，所以的最小值为9. 【例5.3.】 Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由题意，电池容量不变，所以. 所以. 因为，且. 所以. 因此. 【例5.4.】 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得，因此小时. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.3 对数 目录 题型1：指数式与对数式的互化 2 题型2：对数式的化简、求值 3 题型3：换底公式及其应用 4 题型4：对数方程 4 题型5：实际问题中的对数问题 5 1. 对数的概念 如果，则数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． (1) 指数式与对数式互化：。 (2) 两类特殊对数 ①常用对数：以10为底的对数，记作； ②自然对数：以e为底的对数，记作. (e=2.71828…)。 2. 对数的基本性质 (1) ，； (2) 对数恒等式：； (3) 。 3. 对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③． 换底公式：. 推论：① ； ②. 题型1：指数式与对数式的互化 方法提炼 (1) 指数式与对数式互化： (2) 幂值相等的指数式问题求解技巧 幂值相等的指数式问题,求解时一般设相等的指数式为同一个常数,利用取对数的方法求解。 【例1.1.】 已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【例1.2.】 若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为________，的值为________. 【例1.3.】 已知，，则（     ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 题型2：对数式的化简、求值 方法提炼 利用对数运算性质化简求值 (1) “收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用. (2) “拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3) “凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用，进行计算或化简. 【例2.1.】 计算：______________． 【例2.2.】 的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【例2.3.】 计算：_____________． 【例2.4.】 求值： (1)； (2). 【例2.5.】 计算： (1)； (2). 题型3：换底公式及其应用 方法提炼 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【例3.1.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 ___________． 【例3.3.】 已知（）且，则实数的值为_______________. 【例3.4.】 已知，，则________．（用，表示）． 题型4：对数方程 方法提炼 对数方程的常见题型的求解思路 类型 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式，解出． 将对数式转化为指数式，解出，注意检验且． 同底数型 转化为求解（注意检验，且）． 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验． 【例4.1.】 若，则_________． 【例4.2.】 （1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【例4.3.】 解下列方程： (1) (2) 【例4.4.】 若且，则________． 【例4.5.】 方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 题型5：实际问题中的对数问题 方法提炼 关于对数运算在实际问题中的应用 (1) 在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2) 在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 【例5.1.】 某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（   ）年起超过1亿元？(参考数据:，) A．年 B．年 C．年 D．年 【例5.2.】 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 【例5.3.】 Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $