第4章 4.3 4.3.2 对数的运算-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦对数的运算这一核心知识点，系统梳理对数运算性质（积、商、幂的对数拆分与合并）及换底公式（将一般对数转化为常用或自然对数），构建从基础运算到复杂转换的完整学习支架。 通过历史情境引入（如伽利略、拉普拉斯对对数的评价及中国数学家贡献）培养数学眼光，例题与变式训练强化逻辑推理和数学运算素养（如例2换底公式统一底数计算），实际问题应用（如素数个数估计、生物种子数量增长）提升数学语言表达能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生回顾练习、查漏补缺。

4．3.2　对数的运算 课程标准 素养解读 1.理解对数运算性质 2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 1.通过对对数运算性质的理解，培养逻辑推理和数学运算素养 2．通过对换底公式的应用，提升数学抽象素养 [情境引入] 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e＝2.71828…为底)．对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略(1564－1642)说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”．又如十八世纪数学家拉普拉斯(1749－1827)亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”． 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯(1611－1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的．当时在lg 2＝0.3010中，2叫“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表．后来改用“假数”为“对数”． 我国清代的数学家戴煦(1805－1860)发展了多种的求对数的方法，著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等.1854年，英国的数学家艾约瑟(1825－1905)看到这些著作后，大为叹服． [问题]　已知lg 2＝0.3010，你会求lg 5的值吗？ 提示：利用对数的运算性质． [知识梳理] [知识点一]　对数的运算性质　 1．性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)． 2．本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算． 3．应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题． 1.你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？ 提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数． 2．在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． [知识点二]　换底公式　 1．公式：logab＝　　(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数． 3．应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算． 3.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：logab＝，logab＝. 4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论＝logNM吗？ 提示：＝＝＝·＝logNM. [预习自测] 1．log3(xy)＝log3x＋log3y成立的条件是(　　) A．x＞0，y＞0　　　 B．x＞0，y＜0 C．x＜0，y＞0 D．x∈R，y∈R 答案：A 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．4 答案：C 3．lg 0.01＋log216的值是　________　. 答案：2 　　　对数运算性质的应用 [例1] (1)； (2)(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. [思路点拨]　利用对数的运算性质及运算法则求值，本着化异为同的原则，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数之间的联系，对于较复杂的真数，可以先化简再计算． [解]　(1)原式＝ ＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5) ＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： [变式训练] 1．计算： (2)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18. 解： ＝log3－9 ＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. 　　　换底公式的应用 [例2] 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． [思路点拨]　由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． [解]　解法一： 原式＝· ＝ ＝log25·3log52 ＝13log25·log52 ＝13. 解法二：原式＝ ＝ ＝ ＝13. 1．(1)解法一是先将括号内换底，然后将底统一． (2)解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性统一化为常用对数(当然也要以换成以其他非1的正数为底的对数)，然后化简． (3)解法三，匠心独具，值得效仿．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法． 2．利用换底公式化简求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 3．利用换底公式计算、化简、求值的思路 4．换底公式常用推论 [变式训练] 2．已知log189＝a,18b＝5，求(1)log3645. (2)log915(用a，b表示)． 解：(1)因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝ ＝＝＝ ＝. (2)因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝＝ ＝ ＝＝＝. 　　　对数运算的综合应用 [例3] 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． [思路点拨]　解本题的关键是将lg x看成一个整体，从而原方程可以看成关于lg x的二次方程． [解]　方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根． 由韦达定理，得 lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，∴αβ＝. 只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． [变式训练] 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于(　　) A．2　　 B.　　 C．4　　　D. 解析：A　[由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.] 　　　实际问题中的对数运算 [例4] 2025年3月14日，国际数学日当天，全球数学界迎来重磅消费——华裔数学家陈景润奖得主、斯坦福大学教授林辰宣布自己完成了对黎曼猜想的最终证明，这一成果被学界视作21世纪数学领域里程碑式突破．而回溯到1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A．768 B．144 C．767 D．145 [思路点拨]　由题意，根据π(x)≈， 得到估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈，根据对数的运算，即可求解． [解析]　由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈＝≈≈145. [答案]　D 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [变式训练] 4．生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)(　　) A．第7代种子 B．第8代种子 C．第9代种子 D．第10代种子 解析：C　[设第x代种子的数量为6x－1， 由题意得6x－1＞106，得(x－1)lg 6＞6， 即x＞＋1.因为＋1＝＋1≈8.7，所以种子数量首次超过100万粒的是第9代种子．] 1．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4　　 B．1　　 C．6　　 D．3 答案：B 答案：B 3．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝　________　，y＝　________　. 答案：2　3 4．log23×log34×log48＝　________　. 答案：3 5． 1．下列四个等式(其中a＞0，且a≠1)； (1)loga(x＋y)＝logax＋logay； (2)loga(x＋y)＝logax·logay； (3)loga＝logax－logay； (4)logax·logay＝loga(x·y)． 其中恒成立的个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 答案：B 2．计算2log63＋log64的结果是(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 答案：B 3．已知log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　) A. B．9 C．18 D．27 答案：B 4．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1＋＋＋…＋＝ln x＋γ(x∈N*，常数γ＝0.557…)．利用以上公式，可以估算＋＋…＋的值为(　　) A．ln 50 B．－ln 5 C．ln 5 D．－ln 50 答案：C 5．(多选)以下计算正确的是(　　) A．log39＋log42＝0 C.＝2 D．若实数m＞1且满足log9(log8m)＝2 025，则log3(log2m)的值为4 051 6．(多选)已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系有(　　) A.＋＝1 B．ab＞4 C．a2＋b2＜4 D．(a＋1)2＋(b＋1)2＞16 解析：ABD　[由3a＝5b＝15，得a＝log315＞0，b＝log515＞0.对于A：＋＝＋＝log153＋log155＝log1515＝1，故A正确；对于B：由A知＋＝1且a＞0，b＞0，a≠b，所以1＝＋＞2，即ab＞4，故B正确；对于C：由A，B知a＋b＝ab，而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(ab)2－2ab＝(ab－1)2－1＞8，故C错误；对于D：由上可得(a＋1)2＋(b＋1)2＝a2＋b2＋2(a＋b)＋2＝(ab)2＋2＞18＞16，故D正确．] 8．已知a，b是方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0的两个实数根，则logab＋logba＝　________　. 解析：因为a，b是方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0的两个实数根， 所以由根与系数的关系得ln a·ln b＝， ln a＋ln b＝， 则logab＋logba＝＋ ＝ ＝ ＝－2＝. 答案： 9．(1)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则的值为　________　. (2)方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为　________　. 解析：(1)由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为2－5＋4＝0，解得＝4或＝1. 又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴>2.∴＝4， (2)原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1， 即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]． 所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)， 即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5. 又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1. 所以x＝－3不满足题意，因此应舍去． 故方程的解为x＝5. 答案：4　5 10．计算： (1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2(lg)2＋lg·lg 5＋ . 解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. (2)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg＋1－lg ＝1. 11．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg3 ≈0.477 1) 解：设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.75 2； …… 经过x年，剩余量是y＝0.75x； 由题意得0.75x＝， ∴x＝log0.75＝＝≈4. ∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的. 12．计算：(1)80.25×＋(×)6＋log32·log2(log327)； (2). 解：(1)80.25×＋(×)6＋log32·log2(log327) 13．解下列方程： (1)(lg x－lg 3)＝lg 5－lg (x－10)； (2)lg x＋2log10xx＝2. 解：(1)首先，x应满足x＞10， 其次，原方程可化为lg ＝lg， ∴ ＝，即x2－10x－75＝0. 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解． (2)首先，x＞0且x≠，其次，原方程可化为lg x＋＝2，即(lg x)2＋lg x－2＝0. 令t＝lg x，则t2＋t－2＝0. 解得t＝1或t＝－2，即lg x＝1或lg x＝－2. ∴x＝10或x＝. 经检验，x＝10与x＝都是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $