第十四章 全等三角形（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学全等三角形复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，将全等形概念、判定方法、性质、角平分线等12个知识点按逻辑递进，结合表格呈现教学目标与重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“典例+变式”分层练习设计，如巧构全等三角形中倍长中线法培养推理意识，实际测量问题提升应用能力，尺规作图强化几何直观。不同层次题目满足学生需求，助力教师精准教学。

第十四章 全等三角形复习讲义 教学目标 1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 2. 掌握全等三角形的判定方法； 3. 掌握尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 4. 探索并掌握角平分线的性质与判定； 5. 探索并运用全等三角形的判定及性质解决问题． 教学重难点 1. 重点 （1）全等三角形的性质与判定； （2）角平分线的性质与判定． 2. 难点 （1）运用全等三角形的判定与性质解决问题； （2）运用角平分线的判定与性质解决问题． 知识点01 全等形的概念 1．定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形．全等形的形状相同，大小相等． 注意： ①两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形的位置无关． ②全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形． ③一个图形经过平、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点02 全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． ②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 注意： ①全等三角形是特殊的全等形． ②全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重合，与它们的位置没有关系． 2．全等三角形的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，图中的和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，和，和，和是对应边，和，和，和是对应角． 3．全等三角形中对应元素的确定方法 ①图形特征法： a．最长边对最长边，最短边对最短边． b．最大角对最大角，最小角对最小角． c．相等的边（角）为对应边（角）． ②位置关系法： a．公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边． b．对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边． c．对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． ③字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角，如，则与，与，与是对应边，与，与，与是对应角． 知识点03 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 注意： ①运用全等三角形的形状可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字． ②由全等三角形的定义易知，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但反之，周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 知识点04 三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“”． 2．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“”，不要错误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点05 三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“”． 2．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系． 知识点06 三角形全等的推论：角角边（AAS） 1．推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“”． 2．推论证明 已知：在和中，，，． 求证：． 证明：∵，， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． 3．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话不一定正确．假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． ②有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 知识点07 三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“”． 2．书写格式 在和中， ∵， ∴． 知识点08 用直尺和圆规作图 1．已知三边作三角形 如图，已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作，使其三边分别为a，b，c． 作法：如图所示． ①作线段； ②分别以点A，B为圆心，线段b，a为半径作弧，两弧相交于点C； ③连接，，则就是所求作的三角形． 2．作一个角等于已知角 已知，求作，使． 作法：如图所示． ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点C，D； ②作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； ④过点作射线，则． 3．已知两边及其夹角作三角形 如图所示，作，使，，． 作法： ①作； ②在射线上作，在射线上作； ③连接，则就是所求作的三角形． 知识点09 直角三角形全等的判定方法：HL 1．判定方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“”． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，我们可以根据，，，和五种方法去判定两个直角三角形全等．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 知识点10 作已知角的平分线 1．用尺规作已知角的平分线 已知：．求作：的平分线． 作法：如图所示． ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线，则射线即的平分线． 2．作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等，找到角的平分线． 证明：如图所示，连接，，由作图过程可知，，． 在和中， ∵， ∴， ∴，即是的平分线． 知识点11 角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．几何语言 如图， ∵是的平分线，C是上一点，于点E，于点F， ∴． 注意： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直． 知识点12 角的平分线的判定 1．角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2．几何语言 ∵于点E，于点F，且， ∴点P在的平分线上． 题型01 全等图形的概念及性质 【典例1】下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【变式2】在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 题型02 全等三角形性质的应用 【典例1】图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，若，，则________． 【典例2】如图，已知，若，，则的值为_____． 【变式3】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式4】若，的周长为12，，，则的长为______． 【典例3】如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【变式5】 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______． 题型03 全等三角形的判定与性质综合应用 【典例1】如图，在和中，点A、D、B、E在同一条直线上，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【变式3】如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在的同侧．连接，，分别交、于点F，N，交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【典例2】 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【变式4】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式5】 在平面直角坐标系中，如图所示，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是_____． 【变式6】 如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【典例3】如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【变式7】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式8】 如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______________． 【变式9】已知，如图，，，． 求证：． 【典例4】如图，，，点B，F，E，D在一条直线上，且，． 求证：． 【变式10】如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式11】 如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【变式12】如图，在中，，于D，于E，，相交于F． 求证： （1）； （2）平分． 题型04 巧构全等三角形 【典例1】【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C．  D． 【变式与应用】 （2）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 （3）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， 所以． ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【变式1】如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是__________________． 【变式2】 如图，点D是中边的中点，E为边上一点，F为延长线上一点，且，求证：． 【变式3】已知，连接，点E在上（点E不与点A，点B重合），连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点F是的内角平分线的交点，连接，，点G是的外角平分线的交点，连接，，请探究与的数量关系； （3）如图3，若，，点F是的中点，求证：． 【典例2】如图，在中，，，与的平分线，交于点O． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式4】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【典例3】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当E在边上，F在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当E在的延长线上，F在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式5】综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． （1）如图1，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且．请探究线段，，之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长到G，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ……    （2）班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    （3）如图3，在四边形中，，，E，F分别是边，延长线上的点，且，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．    题型05 运用全等三角形解决实际问题 【典例1】如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点O处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点A与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点B处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点B处打出，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点F，E，使，，③连接，测量的长度即为A、B间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走20米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【变式3】无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为90米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：_______ ，_______； （2）求此时无人机距离地面的高度． 题型06 尺规作图与全等三角形 【典例1】如图，与交于点O，，点E在线段上，点F在线段上． （1）根据上述信息，利用尺规作． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式1】教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　G C 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的三角形有几种？ （1）[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． （2）[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 题型07 全等三角形相关的动点问题 【典例1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【变式1】如图，在中，于点E，于点F，，点M为直线上一点，且，点P从点D出发，以1单位长度/秒的速度沿向点B运动，同时，点Q从点A出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．若，设运动时间为t秒，当与全等时，_________． 题型08 角平分线的性质应用 【典例1】 如图，在中，点O是，的平分线的交点，，过O作于点D，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【典例2】如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等； ②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________． 【变式2】 如图所示，中，，，平分交于D，于E，若，求的周长． 题型09 角平分线的判定与性质的综合应用 【典例1】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【典例2】如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 【变式1】如图，已知中，，，分别平分，，点P为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（     ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 1．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 4．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，，，，连接、交于点M，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 7．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 8．如图，在和中，点E，C，F在同一条直线上，，．若，，则_______． 9．如图，，点D在边上，，则________°． 10．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 11．中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 12．如图，在四边形中，点C是延长线上一点，连接交于点E，且，，试说明：． 1．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 2．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3） 与面积之间的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形复习讲义 教学目标 1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 2. 掌握全等三角形的判定方法； 3. 掌握尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 4. 探索并掌握角平分线的性质与判定； 5. 探索并运用全等三角形的判定及性质解决问题． 教学重难点 1. 重点 （1）全等三角形的性质与判定； （2）角平分线的性质与判定． 2. 难点 （1）运用全等三角形的判定与性质解决问题； （2）运用角平分线的判定与性质解决问题． 知识点01 全等形的概念 1．定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形．全等形的形状相同，大小相等． 注意： ①两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形的位置无关． ②全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形． ③一个图形经过平、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点02 全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． ②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 注意： ①全等三角形是特殊的全等形． ②全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重合，与它们的位置没有关系． 2．全等三角形的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，图中的和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，和，和，和是对应边，和，和，和是对应角． 3．全等三角形中对应元素的确定方法 ①图形特征法： a．最长边对最长边，最短边对最短边． b．最大角对最大角，最小角对最小角． c．相等的边（角）为对应边（角）． ②位置关系法： a．公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边． b．对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边． c．对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． ③字母顺序法 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角，如，则与，与，与是对应边，与，与，与是对应角． 知识点03 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 注意： ①运用全等三角形的形状可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字． ②由全等三角形的定义易知，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但反之，周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 知识点04 三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“”． 2．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“”，不要错误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 知识点05 三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“”． 2．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系． 知识点06 三角形全等的推论：角角边（AAS） 1．推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“”． 2．推论证明 已知：在和中，，，． 求证：． 证明：∵，， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． 3．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话不一定正确．假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． ②有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 知识点07 三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“”． 2．书写格式 在和中， ∵， ∴． 知识点08 用直尺和圆规作图 1．已知三边作三角形 如图，已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作，使其三边分别为a，b，c． 作法：如图所示． ①作线段； ②分别以点A，B为圆心，线段b，a为半径作弧，两弧相交于点C； ③连接，，则就是所求作的三角形． 2．作一个角等于已知角 已知，求作，使． 作法：如图所示． ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点C，D； ②作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； ④过点作射线，则． 3．已知两边及其夹角作三角形 如图所示，作，使，，． 作法： ①作； ②在射线上作，在射线上作； ③连接，则就是所求作的三角形． 知识点09 直角三角形全等的判定方法：HL 1．判定方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“”． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，我们可以根据，，，和五种方法去判定两个直角三角形全等．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 知识点10 作已知角的平分线 1．用尺规作已知角的平分线 已知：．求作：的平分线． 作法：如图所示． ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线，则射线即的平分线． 2．作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等，找到角的平分线． 证明：如图所示，连接，，由作图过程可知，，． 在和中， ∵， ∴， ∴，即是的平分线． 知识点11 角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．几何语言 如图， ∵是的平分线，C是上一点，于点E，于点F， ∴． 注意： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直． 知识点12 角的平分线的判定 1．角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2．几何语言 ∵于点E，于点F，且， ∴点P在的平分线上． 题型01 全等图形的概念及性质 【典例1】下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 【变式1】如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 【典例2】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 【变式2】在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形. A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形. B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形. C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形. D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【详解】解： A．形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B．两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C．两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D．两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 题型02 全等三角形性质的应用 【典例1】图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且边长为a的边是两个三角形的对应边， ∴边a所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 【变式1】如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 【变式2】如图，，若，，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【典例2】如图，已知，若，，则的值为_____． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】若，的周长为12，，，则的长为______． 【答案】5 【详解】解：∵，的周长为12， ∴的周长为12，， ∵，， ∴， ∴． 【典例3】如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式5】 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______． 【答案】48 【详解】解：∵两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，平移距离为6，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 题型03 全等三角形的判定与性质综合应用 【典例1】如图，在和中，点A、D、B、E在同一条直线上，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式1】如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 【变式3】如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在的同侧．连接，，分别交、于点F，N，交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 【典例2】 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【变式4】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 【变式5】 在平面直角坐标系中，如图所示，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是_____． 【答案】 【详解】解： 如图，过点C作平行于x轴的直线，交y轴于D，过B作该直线的垂线，垂足为E． ∴， 又，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，由图可知C在第四象限，因此，， ∴，，，， ∴得到方程组：， 解方程组得：​， ∴点C的坐标为． 【变式6】 如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）11 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【典例3】如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式7】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，用直尺和圆规画的作图如下， 由作图过程可知，，，据此利用可证明． 【变式8】 如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______________． 【答案】或；或 【详解】 解：已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴． 【变式9】已知，如图，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴． 【典例4】如图，，，点B，F，E，D在一条直线上，且，． 求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式10】如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式11】 如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】40 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∵， ∴ ， ∴， 在中，． 【变式12】如图，在中，，于D，于E，，相交于F． 求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型04 巧构全等三角形 【典例1】【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C．  D． 【变式与应用】 （2）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 （3）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， 所以． ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【答案】（1）B；（2）；（3）证明见解析 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是__________________． 【答案】 【详解】解：延长到E，使， ， ∵已知与的面积相等， ∴为的底边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 【变式2】 如图，点D是中边的中点，E为边上一点，F为延长线上一点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】已知，连接，点E在上（点E不与点A，点B重合），连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点F是的内角平分线的交点，连接，，点G是的外角平分线的交点，连接，，请探究与的数量关系； （3）如图3，若，，点F是的中点，求证：． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）证明见解析 【详解】（1）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：， 过程如下： ∵点F是内角平分线交点， ∴，， ∴， ∵，， 则， 延长至点T，如图所示： ∵点G是外角平分线交点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， 故． （3）证明：延长至点G，使得，连接，如图所示： ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】如图，在中，，，与的平分线，交于点O． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵与的平分线，交于点O， ∴，， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式4】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），过程见解析；（2）①，②，作图见解析；（3） 【详解】解：（1）， 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）①，②，辅助线如图1所示． （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【典例3】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当E在边上，F在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当E在的延长线上，F在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【详解】解：（1）． 理由：如图1，将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，，， ∴，即：，B，E三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，， 同法（1）可得：， ∴， 又， ∴． 【变式5】综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． （1）如图1，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且．请探究线段，，之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长到G，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ……    （2）班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    （3）如图3，在四边形中，，，E，F分别是边，延长线上的点，且，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点G，使，连接，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点G，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 题型05 运用全等三角形解决实际问题 【典例1】如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点O处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点A与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点B处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点B处打出，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，都与地面平行， ∴A，O，C三点共线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点F，E，使，，③连接，测量的长度即为A、B间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 【变式2】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走20米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【答案】27 【详解】解：由题意知：，，， ∴， ∴米． 【变式3】无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为90米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：_______ ，_______； （2）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）75，60；（2）100米 【详解】解：（1）∵，， ∴． 过点A作于点E， 则， ∴． （2）过点P作于点G，交于点F， 则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 则， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴此时无人机距离地面的高度为100米． 题型06 尺规作图与全等三角形 【典例1】如图，与交于点O，，点E在线段上，点F在线段上． （1）根据上述信息，利用尺规作． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【详解】解：（1）如图，即为所求， ∵， ∴． 由作法可知，，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　G C 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的三角形有几种？ （1）[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． （2）[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】（1）不一定；（2），，，，，全等三角形对应边相等 【详解】（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等， 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点G，使， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等． 题型07 全等三角形相关的动点问题 【典例1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵，点E为线段的中点，． ∴， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ∴， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； ∴点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【变式1】如图，在中，于点E，于点F，，点M为直线上一点，且，点P从点D出发，以1单位长度/秒的速度沿向点B运动，同时，点Q从点A出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．若，设运动时间为t秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【详解】解：由题意得，，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 题型08 角平分线的性质应用 【典例1】 如图，在中，点O是，的平分线的交点，，过O作于点D，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【详解】解：如图所示，作于点E，作于点F，连接， ∵点O是，的平分线的交点，于点D，且， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【典例2】如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等； ②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴根据角平分线的性质，点O到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故①错误； 在中，， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， 在中， ，故②正确； 当时，， ∴， 在上取一点H，使得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点O作于N，于M，连接， ∵和的角平分线交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 【变式1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________． 【答案】5 【详解】解：过点D作于点F， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式2】 如图所示，中，，，平分交于D，于E，若，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵平分，，， ∴． 在和中： ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 的周长：． 题型09 角平分线的判定与性质的综合应用 【典例1】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵为的平分线，恰为的平分线， 又∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上． 【典例2】如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴ （2）解：，理由如下： 如图，过A作于M，于N， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知中，，，分别平分，，点P为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， 故①正确， 如图，在上截取，连接， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②可知，， ∴， 即，故③准确， 设边上的高为h, 点E到边、上的高为, ∵,， ∴ 即， 故④错误． 【变式2】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（     ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 过点D分别作直线、、的垂线，垂足分别为M、N、G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，②③④正确； 故选：A． 1．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知 ， ∵ ∴ 在和 中，隐含条件， A项：添加，结合，，属于，不符合全等三角形判定定理，不能判定； B项：添加，结合，，符合，能判定； C项：添加，结合，，符合，能判定； D项：添加，结合，，符合，能判定． 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 4．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，已知平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， ∵平分，，， ∴． 6．如图，在和中，，，，，连接、交于点M，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，所以②正确； 设与交于点N， ∵， ∴，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ∵， ∴， ∴平分，所以④正确； 而， ∴，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． 7．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】110 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在和中，点E，C，F在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【详解】解：点E，C，F在同一条直线上，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 9．如图，，点D在边上，，则________°． 【答案】72 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18， ∴， 如图所示，过点D作于F，过D作于G， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 【答案】2或 【详解】解：∵中，厘米，厘米，点D为的中点． ∴，厘米， 设运动时间为t秒， 则，，， 当与全等时，有， 当，时， 则，解得； 当，时， 则，解得， 综上，当与全等时，v的值为2或． 12．如图，在四边形中，点C是延长线上一点，连接交于点E，且，，试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）8 【详解】（1）证明：∵直线l经过点C，，垂足为D，，垂足为E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴的长是8． （3）解：如图2，作于点L，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴线段的长为8． 2．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3） 与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）与面积相等，理由见解析 【详解】（1）证明：方法①：如图，延长至点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 方法②：证明：如图，延长至点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，延长至点G，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （3）解：与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $