第十四章 全等三角形（4核心+7题型+6难点+复习讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学全等三角形单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以知识框架系统呈现全等形、全等三角形性质与判定、角平分线性质等核心内容，清晰体现判定方法与性质的内在逻辑及与全等变换的联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础题型到“一线三等角”“手拉手”等模型专题，结合荡秋千等生活情境题，培养推理意识与几何直观。每个题型附解题要点与迁移练习，帮助学生掌握判定方法选择等技巧，支持分层提升，助力教师精准教学。

第十四章 全等三角形 复习要点 1. 理解全等三角形的概念，能准确区分全等三角形的对应边与对应角，掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等、面积周长相等）。 2. 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能区分一般三角形与直角三角形判定条件的差异，并灵活选择适当方法进行证明。 3. 理解角平分线的性质定理与判定定理，能区分二者的条件与结论，掌握角平分线的尺规作图原理（依据SSS构造全等三角形）。 4. 掌握运用角平分线性质证明线段相等的方法（无需再证全等），理解角平分线判定在证明角相等时的应用。 5. 理解全等变换（平移、翻折、旋转）与全等三角形的联系，能运用全等知识解决实际几何问题。 复习重难点 重点：全等三角形的判定与性质的综合应用，以及角平分线的性质定理与判定定理的灵活运用。 难点：灵活选择恰当的判定方法证明三角形全等，以及综合运用全等三角形与角平分线的知识解决几何证明与计算问题。 知识点 全等形 （一）全等形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 要点速测 1．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等图形的定义，熟练掌握定义是解题关键． 根据全等图形的定义，即完全重合的两个图形叫做全等图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； B、两个图形能完全重合，是全等图形，故符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； 故选：B． 知识点 全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 要点速测 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 知识点 全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“HL” 注意：“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 要点速测 3．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 知识点 角的平分线的性质与判定 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 要点速测 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 题型1 判断全等形 ▌例1 （25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 解题要点 1. 明确全等形定义：能够完全重合的两个图形是全等形，其形状相同、大小相等。判断时先看形状是否一致，再看对应边、对应角是否分别相等，二者缺一不可。 2. 结合全等三角形判定：对于多边形，常转化为三角形全等判断。利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）判定三角形全等，进而推出对应边、角相等，作为判断全等形的依据。注意对应关系要准确。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． ▌迁移练1-3（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型2 利用全等三角形的性质求解 ▌例2 （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 解题要点 1. 找对应元素：由全等关系（如△ABC≌△DEF）准确找出对应顶点、对应边、对应角。对应边相等、对应角相等是解题的核心依据，注意对应字母的顺序。 2. 等量代换与转化：利用全等性质将未知边或角转化为已知边或角，结合三角形内角和、外角性质或线段和差建立关系式，必要时设未知数列方程求解。 ▌迁移练2-1（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，，则的度数为________． 【答案】/72度 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的度数，然后根据全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ▌迁移练2-2（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 题型3 判定两三角形是否全等 ▌例3 （25-26七年级下·山东烟台·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 解题要点 1. 找准判定定理：根据已知条件选择合适的判定方法——SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及其中一角的对边）、HL（直角三角形斜边和一直角边）。注意角必须是夹角或对应边对角。 2. 挖掘隐含条件：从图形中挖掘公共边、公共角、对顶角，利用平行线性质推导等角，利用中点或角平分线推导等边等角，将分散条件集中化，再套用判定定理证明。 ▌迁移练3-1（25-26七年级下·四川成都·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系和全等三角形的判定定理，能满足全等判定且可构成三角形的条件，即可画出唯一三角形． 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． ▌迁移练3-2（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加，则， ∴． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 题型4 三角形全等的判定与性质 ▌例4 （25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1) 证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 解题要点 1. 判据选择与隐含条件：根据已知边角条件，从SSS、SAS、ASA、AAS、HL中选最直接的方法。注意挖掘公共边、公共角、对顶角以及由平行线、中点、角平分线推出的等量关系 2. 性质转化与应用：证得全等后，利用对应边相等、对应角相等将结论作为新条件，进一步求线段长或角度，或为后续证明（如平行、等腰）提供依据。注意对应关系准确。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练4-2（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． ▌迁移练4-3（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 题型5 全等的性质和HL综合问题 ▌例5 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及线段长度的计算，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等传递线段关系． （1）由已知通过证明，即可求解； （2）连接，可得，通过证明可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ． 解题要点 1. HL判定前提：HL仅适用于直角三角形。解题时先确认或证明两个三角形为直角三角形，再找斜边相等和一条直角边相等，即可判定全等。 2. 全等性质转化：由HL证得全等后，利用对应边相等、对应角相等进行等量代换。常结合勾股定理求边，或利用角相等推平行、等腰等，实现边角条件的综合转化。注意对应关系要准确。 ▌迁移练5-1（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练5-2（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质． （1）根据，直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， 是的一个外角， ， ． ▌迁移练5-3（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型6 利用角平分线的性质求解 ▌例6 （25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 【答案】5 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 解题要点 1. 性质1——距离相等：角平分线上的点到角两边距离相等。解题时若遇角平分线，常向两边作垂线构造等距，建立线段相等关系求值或证线段相等。 2. 性质2——对称性：角是轴对称图形，角平分线所在直线是对称轴。可构造对称全等三角形（截长补短法），将分散条件集中，结合全等或等腰三角形进行角度、线段转化。注意分清“距离”是指垂线段长度。 ▌迁移练6-1（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，平分．若，，，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质得出点到、的距离相等，设为，根据三角形面积公式列出方程求出，再计算的面积． 【详解】过点作于，于 平分 设 解得 ． ▌迁移练6-2（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． ▌迁移练6-3（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 (1)如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由： 是的平分线，， ； (2)解：成立，理由： 如图，过点作于，于， ， 是的平分线， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ． 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点作于，于，进而有，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型7 角平分线性质与判定的综合问题 ▌例7 （25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 解题要点 1. 性质求距与判定证线：已知角平分线时，用性质“到两边距离相等”求线段长或证等距；未知角平分线时，用判定“到角两边距离相等的点在角平分线上”来证明某线是角平分线。 2. 挖掘隐含与全等转化：常结合公共边、垂直条件构造直角三角形，用HL证全等实现边角转化。注意“距离”特指垂线段，非斜线段，作图时需标明垂足。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）略 ▌迁移练7-2（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． ▌迁移练7-3（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 难点一 与三角形全等的多结论问题 难点1：判定定理的适配与优先选择 给定边角条件需快速选取SSS、SAS、ASA、AAS或HL。难点在于从复杂图形中识别对应元素，并排除“SSA”等干扰项。学生易将已知条件错配定理，或忽视夹角与对边的位置关系，导致全等判定失效。 难点2：多结论的逻辑递进与关联 多个结论常呈因果链，前一个全等为后一个提供等角或等边条件。难点在于理顺推导顺序，避免重复或循环论证。若忽视等量代换或公共边角的二次利用，则易陷入孤立判断。 难点精练 1．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 【答案】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可判断；利用证明，推出，，即可判断；由，，即可判断． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，；正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，正确； ， ， 又， ，正确； 综上，都正确，正确的个数是个． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 3．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 难点二 全等三角形中的动点综合问题 难点1：动点运动轨迹的代数化 动点沿边或延长线运动，需将时间与速度转化为线段长度的变量表达式。难点在于准确界定动点在各阶段的位置区间，避免因运动方向变化或端点归属不清导致表达式失准。 难点2：全等条件的动态匹配与分类 运动过程中，对应顶点可能随位置变化而重新配对，需按不同情形分别讨论全等条件。难点在于不重不漏地穷举所有可能的对应关系，并逐一检验是否满足边长约束，遗漏或错配都会导致解集丢失。 难点精练 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】(1)9，12 (2)点Q的运动速度为或； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； （2）解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； （3）解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 难点三 全等三角形之一线三等角模型 难点1：等角位置的多变识别 三个等角可以在直线同侧或异侧，也可为锐角、直角或钝角。难点在于根据图形位置准确识别对应角，并能将非直角情形转化为内角和或补角关系，若忽略角的互补或互余转换则易全等判定失败。 难点2：边角对应关系的灵活配对 一线三等角提供等角条件，但对应边需结合等腰、中点等附加条件配对。难点在于利用外角性质建立边等量，并基于ASA或AAS证全等。若死记直角模型而忽视一般角，则易错失全等构造。 难点精练 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 难点四 全等三角形之倍长中线模型 难点1：辅助线构造的等价性保障 倍长中线（或类中线）需保证延长后的线段等于原中线且方向一致。难点在于准确添加辅助线形成“8”字形全等，从而将分散的边角条件集中到同一三角形中。若延长方向或长度把握不准，则无法建立有效全等。 难点2：线段倍分关系的链式推导 倍长后常需结合中位线、等腰三角形等性质进行二次转化，将线段和差问题转化为全等三角形的对应边关系。难点在于理顺多个等量之间的代换路径，避免在复杂图形中因关系交叉而混淆。 难点精练 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②； [拓展应用]①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【详解】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①略 ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 难点五 全等三角形模型之截长补短模型 难点1：截长与补短的策略抉择 当需证明两条线段之和等于第三条线段时，要么在长边上“截”取一段等于短边，要么将短边“补”长至目标长度。难点在于根据图形特征判断哪种方案更易构造全等，若选择不当则辅助线难以发挥效用。 难点2：全等三角形的二次构造 截长或补短后，往往需要先证明一组三角形全等得到关键等量，再结合等腰或等角条件进行二次全等证明。难点在于理清多次全等的先后次序，避免等量代换链条断裂导致结论无法闭环。 难点精练 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1) 若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 难点六 全等三角形模型之手拉手模型 难点1：旋转全等三角形的识别 两个等腰三角形共顶点旋转，构成手拉手形状。难点在于准确找出“左手拉左手、右手拉右手”的对应三角形，利用SAS证明其全等。若顶点对应关系错配，则全等判定方向完全偏离。 难点2：结论的对称派生与应用 手拉手模型常派生出等角、平行、共线等多条结论。难点在于由基本全等串联导出多个衍生性质，并理清这些结论的内在关联。若只抓住一个全等而忽略对称性派生，则无法解决夹“8”字或角平分线等进阶问题。 难点精练 1．（25-26八年级上·广东·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了手拉手模型，同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），多边形内角和问题，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题 (1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ． (2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数； (3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______； (4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长． 【答案】(1)，； (2) (3)；直线与直线的夹角为 (4)2 【分析】（1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． （4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）解：延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； （4）解：延长到使，连接． ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 基础达标 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 3．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 5．（21-22八年级上·山东临沂·期末）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【详解】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，解答即可； 【详解】解：∵凳腿和的长相等，是它们的中点， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴； 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据平行线的性质可得，，运用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得，根据（1）可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 根据（1）可得：． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 【答案】(1)，理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 14．（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 15．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，．在中，，，，，三点在一条直线上，点在上，连接，的延长线交于点．若，，则的面积为（     ） A．27.9 B．28.7 C．26.9 D．27.4 【答案】A 【分析】先证明，得出，，再求出，，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 二、填空题 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】 3 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，， 又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 【答案】①③⑤ 【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 由，得，再由三角形外角的性质得，得；根据角平分线的性质，得，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出；等量代换得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 且， ∴，①正确； ∴， 又平分，，于F， ∴． ∵E到与的距离相等， ∴，③正确； ∵， ∴，⑤正确． 无法证明以及． 故答案为：①③⑤． 三、解答题 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 (1)如图①，在中，平分交边于点D，过点D作的垂线，交边于点E、交的延长线于点F，过点E作交边于点G．试说明：； 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理和全等，得到，进而可得和全等，最终得出结论．请你据此写出推理过程． 【问题解决】 (2)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路平分的外角，E、F分别在、的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且于点D，、是两条运输公路，交的延长线于点G，G处修建一个配送中心，现要沿修建一条笔直的运输轨道（C、D在上），请你帮助管理人员探究、、之间的数量关系，并说明理由．（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度均忽略不计） 【答案】(1)平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ； (2)， 理由：平分的外角， ， ， ， 又， ， ， 同理可证，， ， ； 【分析】（1）利用角平分线和垂线，先证明，再结合平行线的性质，证明，得到，即可得证； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形 复习目标 1.理解全等三角形的概念，能准确区分全等三角形的对应边与对应角，掌握全等三角形 的性质（对应边相等、对应角相等、面积周长相等）。 2.掌握全等三角形的五种判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、L),能区分一般三角 形与直角三角形判定条件的差异，并灵活选择适当方法进行证明。 复习要点 3.理解角平分线的性质定理与判定定理，能区分二者的条件与结论，掌握角平分线的尺 规作图原理（依据SSS构造全等三角形）。 4.掌握运用角平分线性质证明线段相等的方法（无需再证全等），理解角平分线判定在 证明角相等时的应用。 5.理解全等变换（平移、翻折、旋转）与全等三角形的联系，能运用全等知识解决实际 几何问题。 重点：全等三角形的判定与性质的综合应用，以及角平分线的性质定理与判定定理的灵 活运用。 复习重难点 难点：灵活选择恰当的判定方法证明三角形全等，以及综合运用全等三角形与角平分线 的知识解决几何证明与计算问题。 理脉络 知识体系构建 1/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形状相同 全等三角形定义 大小相等 对应边相等 全等三角形性质 对应角相等 SSS 知识梳理 SAS 全等三角形判定 ASA -AAS -HL 角平分线上的点到角两边距离相等 全等三角形 角平分线性质 到角两边距离相等的点在角平分线上 判定条件混淆 对应关系找错 易错点 HL只适用于直角三角形 角平分线性质与判定误用 学法指导 全等三角形证明 添加辅助线构造全等 高频考点 角平分线性质应用 动态几何综合题 过主千 核心内容整合 知识点 全等形 (一)全等形概念：能完全重合的图形叫做全等图形 (二)特征：(1)形状相同；(2)大小相等；(3)对应边相等、对应角相等。 口要点速测 1.(25-26八年级上·江西上饶阶段检测)下列各组中的两个图形属于全等图形的是() ★ 56 A 知识点 全等三角形及其性质 (一)全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形 2/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对 应角 (二)表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 (三)全等三角形性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。(2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线 相等。(3)全等三角形的周长相等，面积相等。 要点速测 2.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)如图，△ABD≌aCFD,且点B,D,C在一条直线上，点F在AD 上，延长CF交AB于点E. E D (I)试说明：CE⊥AB (2)若BC=7,AF=1,求BD的长， 知识点 全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)： (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“S4S'(基本事实)； (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“AS4’(基本事实)： (4)两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“A4S: (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“HL” 注意：“SSA”“AAA’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等： 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 要点速测 3.(25-26七年级下·广东茂名期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上 方一点，且∠ADB=90°，CE⊥AD, 3/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 知识点 角的平分线的性质与判定 1.作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线.已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 (3)画射线OC.射线OC即为所求。 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC(SSS). 2.角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 【提示】 (I)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长： (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形： (3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直： (4)运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推 导其他结论. 3.角的平分线的判定 (1)内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线 上，角的外部的点不会在角的平分线上. ■要点速测 4.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别 4/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交4C、AB于点M、N,再分别以MN为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AP交边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,△ABC的面积为13，则AC的长为 E B 5 (25-26八年级下河北保定·期中)如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BD=CD,BE=CF (I)求证：AD平分∠BAC, (2)已知AB=10,CF=2,求AC的长. 研题型 高频题型突破 题型1判断全等形 ■例1(25-26八年级上山西吕梁期末)下列各组中的两个图形属于全等形的是() B .☑ 5/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1. 明确全等形定义：能够完全重合的两个图形是全等形，其形状相同、大小相等。判断时先看形状是 否一致，再看对应边、对应角是否分别相等，二者缺一不可。 2.结合全等三角形判定：对于多边形，常转化为三角形全等判断。利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直 角三角形)判定三角形全等，进而推出对应边、角相等，作为判断全等形的依据。注意对应关系要准 确。 ■迁移练1-1(25-26八年级上广西防城港·期末)下列各组中的两个图形属于全等形的是() A A△ ■迁移练1-2(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)下列图形是全等图形的是() D. Ⅱ迁移练1-3(25-26八年级上·山西朔州阶段检测)下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的 是() 题型2利用全等三角形的性质求解 例2(25-26七年级下福建泉州期末)如图，△ABC≌△DEB,顶点A、C分别与项点D、B对应， 点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F.若DE=10,BC=4,线段AE的长 6/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.找对应元素：由全等关系（如△ABC≌△DBF)准确找出对应顶点、对应边、对应角。对应边相等、 对应角相等是解题的核心依据，注意对应字母的顺序。 2.等量代换与转化：利用全等性质将未知边或角转化为已知边或角，结合三角形内角和、外角性质或 线段和差建立关系式，必要时设未知数列方程求解。 迁移练2-1(25-26七年级下吉林长春期末)己知△ABC≌△DEF,∠B=45°，∠C=63°，则∠D的度数为 ■迁移练22(25-26七年级下·四川成都期末)如图，己知线段AB=80米，射线AC1AB于点A,射线 BD⊥AB于B,M点从B点向A运动，每秒走2米，N点从B点向D运动，每秒走3米，M、N同时从 B出发，若射线AC上有一点P,使得某时刻△PAM和△MBV全等，则线段AP的长度为米. D N M 迁移练2-3(25-26七年级下宁夏银川期末)如图，CA上AB,垂足为点A,AB=8cm,AC=4cm, 射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从B点出发以2Cms的速度沿射线BN运动，点D为射线BM上一 动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB,当点E离开点B后，运动s时，△DEB与△BCA 7/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 全等 M D 题型3判定两三角形是否全等 I例3(25-26七年级下·山东烟台期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A,∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3,∠A=50 C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 解题要点 1. 找准判定定理：根据已知条件选择合适的判定方法一一SSS(三边对应相等)、SAS(两边及其夹 角)、ASA(两角及其夹边)、AAS(两角及其中一角的对边)、HL(直角三角形斜边和一直角边)。 注意角必须是夹角或对应边对角。 2.挖掘隐含条件：从图形中挖掘公共边、公共角、对顶角，利用平行线性质推导等角，利用中点或角 平分线推导等边等角，将分散条件集中化，再套用判定定理证明。 ☐迁移练3-1(25-26七年级下·四成都期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=4,BC=3.∠A=30° B.∠C=90°，AB=7 C.∠A=60°，∠B=55°，∠C=65° D.AB=4,BC=6,CA=8 I迁移练3-2(25-26七年级下内蒙古包头期末)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE, AC=DF.如果要使△ABC≌aDEF,需要添加的一个条件是 D ■迁移练3-3(25-26七年级下广东佛山期末)如图所示，己知A=∠2，AC=AD,要想使△ABC≌△AED, 8/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 还需要再添加一个条件，那么在①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D中可以选择的是 (填 写序号) 题型4三角形全等的判定与性质 I例4(25-26八年级上湖南岳阳期末)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，EC=FD,EA=FB, AB=CD ◇ B (1)求证：∠E=∠F: (2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠EPF度数. 解题要点 1.判据选择与隐含条件：根据己知边角条件，从SSS、SAS、ASA、AAS、HL中选最直接的方法。注意 挖掘公共边、公共角、对顶角以及由平行线、中点、角平分线推出的等量关系 2.性质转化与应用：证得全等后，利用对应边相等、对应角相等将结论作为新条件，进一步求线段长 或角度，或为后续证明（如平行、等腰）提供依据。注意对应关系准确。 I迁移练41(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90° D 图1 图2 9/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE，则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由 Ⅱ迁移练4-2(25-26七年级下·四川成都期末)如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖 坐在秋千上的起始位置点A处，且起始位置OA的延长线与地面垂直，垂足为点H.小颖两脚在地面上用 OA 力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为”米的点B处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置1的水平距离 BF=b h 米：小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千 起始位置OA的水平距离为CG=a米，秋千的长度保持不变.解答下列问题： h2 H 77777777777777777地面 图1 图2 (1)当∠COB=90°时，判断∠BOF与∠OCG是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由： (2②)当∠C0B=90°么=15=1.5 米， 5米，a=2米时，求的值： (3)若考虑到安全和体感，点C、点B分别在OH的左边和右边，秋千摆动的夹角（即∠COB)始终保持 90° ，请直接写出， ，么，0，b这四个变量之间的关系. ■迁移练43(25-26七年级下·广东深圳期末)在不同情境下探究三角形的关系. 10/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M D (a) (b) (I)如图(a),∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，且 AB=AC,CF⊥AE,垂足为F,BD⊥AE,垂足为D,△ABD与△CAF全等吗？请说明理由： (2)如图(b),点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上.已知 AB=AC,且∠I=∠2=∠BAC,△ABE与△CAF全等吗？请说明理由. 题型5全等的性质和HL综合问题 I例5(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC外一点， ∠DAB=∠BAC,AD=AB,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F, D (I)求证：DE=BC: (2)若BF=2,CF=1,求DF的长. 解题要点 1.HL判定前提：L仅适用于直角三角形。解题时先确认或证明两个三角形为直角三角形，再找斜边 相等和一条直角边相等，即可判定全等。 2.全等性质转化：由HL证得全等后，利用对应边相等、对应角相等进行等量代换。常结合勾股定理 求边，或利用角相等推平行、等腰等，实现边角条件的综合转化。注意对应关系要准确。 ■迁移练5-1(2026湖南长沙二模)如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD, 11/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABC≌△ADC: (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. I迁移练5-2(25-26八年级上山东济南期末)如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,AD,BC交于 点0 B D (I)求证：△ABC≌△BAD (2)若∠BOD=68°，求∠DAB的度数. ■迁移练5-3(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)已知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D D (I)如图I,过点D作DE⊥AC于点E,说明：△BCD≌aECD (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC; (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 题型6利用角平分线的性质求解 12/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I例6(25-26七年级下·宁夏银I川期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,△ABC的 面积为28，DE=4,BC=9,则AC的长是 解题要点 1.性质1一一距离相等：角平分线上的点到角两边距离相等。解题时若遇角平分线，常向两边作垂线 构造等距，建立线段相等关系求值或证线段相等。 2.性质2一一对称性：角是轴对称图形，角平分线所在直线是对称轴。可构造对称全等三角形（截长 补短法)，将分散条件集中，结合全等或等腰三角形进行角度、线段转化。注意分清“距离”是指垂 线段长度。 I迁移练6-1(25-26七年级下山东泰安期末)如图，在△ABC中，CG平分∠ACB.若AC=10,BC=7, 90 S△cG=7,则SABc的值为 G 迁移练6-2(25-26七年级下·福建泉州期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D, DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,AG是△ABC的高，交BC于点G,已知：DE=3,AB=6,BC=8, E D (I)求DF的长： (2)求AG的长. 13/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练6-3(25-26七年级下·江西吉安·期末)已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点 C,D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD. 【发现问题】 (I)如图①，当PC⊥OA,PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系相等吗？说明理由. M D B 图① 【探究问题】 (2)如图②，点C,D在射线OA,OB上滑动，且∠AOB=90°，当PC⊥PD时，PC与PD在【发现问 题】中的数量关系还成立吗？说明理由. M D B 图② 题型7角平分线性质与判定的综合问题 I例7(25-26八年级下·广东河源阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，若过点 D作DF⊥AB,垂足为F,点E在AC上，DE=BD,CE=FB. E D (1)求证：AD平分∠BAC: (②)请你判断AE,AF,BF之间的数量关系，并说明理由. 14/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.性质求距与判定证线：己知角平分线时，用性质“到两边距离相等”求线段长或证等距；未知角平 分线时，用判定“到角两边距离相等的点在角平分线上”来证明某线是角平分线。 2.挖掘隐含与全等转化：常结合公共边、垂直条件构造直角三角形，用L证全等实现边角转化。注 意“距离”特指垂线段，非斜线段，作图时需标明垂足。 ■迁移练7-1(25-26八年级上安徽阜阳期末)在△ABC中，∠BAC的度数为a,BD,CD分别是∠EBC、 ∠FCB的平分线。 B (1)求∠BDC的度数（用含x的式子表示）； (2)求证：AD平分∠BAC」 ■迁移练7-2(25-26九年级下山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100° ∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC: 6)若B=6,D=4,CD=8,且5.m-12,求MBE的面积 ■迁移练7-3(25-26八年级上江西赣州期末)【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的 部分内容. 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 15/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【定理证明】 (1)请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的 平分线上”完整的证明过程。 已知：点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且一 求证：OC是∠AOB的平分线. 请根据上述已知和求证，写出证明过程. 【定理应用】 (2)如图2，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE是∠ADC的平分线. 【拓展提升】 (3)如图3，△ABC中，点D在BC边上，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC.若AB=6,AD=3,CD=5, SAACD =16 请求出△AB 的面积.（提示：过点E作1B的垂线 D B 图1 图2 图3 破难点 方法聚焦透析 难点一与三角形全等的多结论问题 难点1：判定定理的适配与优先选择 给定边角条件需快速选取SSS、SAS、ASA、AAS或HL。难点在于从复杂图形中识别对应元素，并排除 “SSA”等干扰项。学生易将已知条件错配定理，或忽视夹角与对边的位置关系，导致全等判定失效。 难点2：多结论的逻辑递进与关联 多个结论常呈因果链，前一个全等为后一个提供等角或等边条件。难点在于理顺推导顺序，避免重复或循 环论证。若忽视等量代换或公共边角的二次利用，则易陷入孤立判断。 16/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口■难点精练 1.(25-26七年级下江西抚州期末)如图，AC=BC,∠ACB=90°，AE平分∠BAC,交BC于点D, BF⊥AE,交AC延长线于F,且垂足为E,则以下结论：①AD=BF;②CD=CF:③AC+CD=AB: ④AD=2BE.正确的个数是个. 2.(25-26七年级下·山东菏泽·期末)如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB⊥CB于点B,AD⊥CD于点 D,E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=7O°，下列结论中①DF=BE,②△ADF≌△ABE,③FA平 分∠DFE,④EF平分∠AEC,⑤BE+DF=EF.其中正确的结论有 C ◇B D 3.(25-26七年级下河南开封期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=45°，D,E是边BC 上两点，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,其 中DE=EF.下列结论：04D=E;②∠D1B=45°：®若5c=10,Sam=4.则am=6, ④CE+BD<DE.其中正确的是一.（填序号） 难点二全等三角形中的动点综合问题 17/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点1：动点运动轨迹的代数化 动点沿边或延长线运动，需将时间与速度转化为线段长度的变量表达式。难点在于准确界定动点在各阶段 的位置区间，避免因运动方向变化或端点归属不清导致表达式失准。 难点2：全等条件的动态匹配与分类 运动过程中，对应顶点可能随位置变化而重新配对，需按不同情形分别讨论全等条件。难点在于不重不漏 地穷举所有可能的对应关系，并逐一检验是否满足边长约束，遗漏或错配都会导致解集丢失。 口口难点精练 1.(25-26八年级上：浙江金华期中)如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAW,过点B作BC⊥BA交AW 于点C;动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以lCm/s 的速度沿射线AM上运动；已知AC=6Cm,设动点D,E的运动时间为t. M M C 备用图 (I)试求∠ACB的度数； (2)若 S.ABD:S.BEC=2:3 试求动点)，E的运动时间'的值 (3)试问当动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时 间的值；若不存在，请说出理由. 2.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江期中)在△ABC中，∠C=90°，BC长为aCm,AC长为bcm,AB长 为15cm,并且a-+b-12=0 请回答以下问题： D (1)a=,b=_: 18/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，在△DEF中，∠E=90°，EF=3cm,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC中，动点P 从点A出发，沿AC运动，到点C停止，速度为3cm/s,若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从 点B出发，沿BA运动，到点A停止.在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A,P,Q为顶点的三角形与 △DEF全等，求出点O的运动速度； (3)若在△ABC中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿AC→CB运动，到点B停止，速度仍为3Cm/s. 动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着BA运动，到点A停止.在两点运动过程中的 某时刻，仍有以X,P,Q为顶点的三角形与△DEF全等(X为A或B),此时点O的运动速度还可以为 cm/s 难点三全等三角形之一线三等角模型 难点1：等角位置的多变识别 三个等角可以在直线同侧或异侧，也可为锐角、直角或钝角。难点在于根据图形位置准确识别对应角，并 能将非直角情形转化为内角和或补角关系，若忽略角的互补或互余转换则易全等判定失败。 难点2：边角对应关系的灵活配对 一线三等角提供等角条件，但对应边需结合等腰、中点等附加条件配对。难点在于利用外角性质建立边等 量，并基于ASA或AAS证全等。若死记直角模型而忽视一般角，则易错失全等构造。 口一难点精练 1.(25-26七年级下辽宁沈阳·期末)根据图形解决以下问题 图1 图2 图3 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过 点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 19/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 2.(25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测)综合题 (I)如图1，AB=7cm,AC⊥AB,BDLAB,AC=5cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点 B运动，同时，点以相同的速度在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为 t(s) ,当点P到达 点B时，点Q也停止运动.当t=s时，猜想：线段CP与PO之间的关系，并说明理由. O 图1 (2)【拓展】如图2，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC 猜想：线段DE、BD、CE之间的关系，并说明理由. A E 图2 (3)【应用】如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC, 直线m与BC的延长线交于点P,若BC=2CF,△ABC的面积是12，则△ABD与△CEF的面积之和为_· B F -1m E A D 图3 难点四全等三角形之倍长中线模型 20/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点1：辅助线构造的等价性保障 倍长中线（或类中线）需保证延长后的线段等于原中线且方向一致。难点在于准确添加辅助线形成“8” 字形全等，从而将分散的边角条件集中到同一三角形中。若延长方向或长度把握不准，则无法建立有效全 等。 难点2：线段倍分关系的链式推导 倍长后常需结合中位线、等腰三角形等性质进行二次转化，将线段和差问题转化为全等三角形的对应边关 系。难点在于理顺多个等量之间的代换路径，避免在复杂图形中因关系交叉而混淆。 口难点精练 1.(25-26八年级上·云南昆明期末)【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中， AB=6,AC=4 BC 4,求BC边上的中线1D 的取值范围. 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,易证△ACD=△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围. 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助 线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方 法称为“倍长中线法”. 【问题解决】(1)如图1，AC与BE的位置关系是一；AD的取值范围是 【问题应用】(2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 试探究线段AE与AD的数量关系 【拓展延伸】(3)如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G 作GF平行于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F.若AB=10,AC=6,求BE的长. B GD 图1 图2 图3 21/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上·浙江衢州期末)某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结 论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”.如图1，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积为6，则△ADC的面积为 ②“倍长中线法可以求中线范围”.如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可以判定 △ADC≌△EDB AC=BE AB,AC,2AD ,得出 ，这样就能把线段 集中在△ABE 中，根据三角形三边关系可以 求出中线的范围.若AB=4,AC=6,则AD的取值范围是 【拓展应用】 ①如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E是边AC上的一点，连接BE,交AD于点F.若AF=AE, 请判断AC,AD,AF之间的数量关系，并说明理由. 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在△ABC中，D是BC的中点，BE是△ABC的角平分线，交AD于点F,AE=3.设△BFD, △FE的面积分别为和5，若BC-B=6,试求 S1-S2 的最大值 图1 图2 图3 难点五全等三角形模型之截长补短模型 难点1：截长与补短的策略抉择 当需证明两条线段之和等于第三条线段时，要么在长边上“截”取一段等于短边，要么将短边“补”长至 目标长度。难点在于根据图形特征判断哪种方案更易构造全等，若选择不当则辅助线难以发挥效用。 难点2：全等三角形的二次构造 22/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 截长或补短后，往往需要先证明一组三角形全等得到关键等量，再结合等腰或等角条件进行二次全等证明。 难点在于理清多次全等的先后次序，避免等量代换链条断裂导致结论无法闭环。 难点精练 1.(25-26八年级上·吉林长春·期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三 角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题. 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在△ABC中，AD平分∠BAC，,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD:任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE，,可以得到全等三角形，进而解决问题： 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题 (2)如图③，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 3)如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,AD、BG分别为∠BAC∠ABC的角平分线， AB=5,BD=3, AG=25 =8,直接写出GC= 2.(25-26八年级上江西新余·期末)【经典再现】 (1)如图1，D为等边△ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，BD=2cm,连接AD.则： ①线段AD和线段BC的位置关系是一（直接写出结果）· ②AD= cm 【深入探究】 (2)如图2，D为等边△ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，点M和点N分别为等边△ABC的边AB 和AC上任意一点，∠MDN=60°，试探究线段BM,CN和MN的数量关系，并加以证明. 【拓展应用】 (3)①把(2)中的条件“点M和点N为等边△ABC的边AB和AC上任意一点”改为“点M和点N为直 线AB和直线AC上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段BM,CN和MN的数量关系. 23/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当(2)中的点M和点N在等边△ABC的边AB和AC上运动时，记△AMN的周长为P,记△ABC的周长 P 为Q,则口的值是否改变？若不变，请求出。的值：若改变，请说明理由. D 图1 图2 难点六全等三角形模型之手拉手模型 难点1：旋转全等三角形的识别 两个等腰三角形共顶点旋转，构成手拉手形状。难点在于准确找出“左手拉左手、右手拉右手”的对应三 角形，利用SAS证明其全等。若顶点对应关系错配，则全等判定方向完全偏离。 难点2：结论的对称派生与应用 手拉手模型常派生出等角、平行、共线等多条结论。难点在于由基本全等串联导出多个衍生性质，并理清 这些结论的内在关联。若只抓住一个全等而忽略对称性派生，则无法解决夹“8”字或角平分线等进阶问 题。 口口难点精练 1.(25-26八年级上广东·期末)【问题初探】 图1 图2 图3 图4 (1)在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB,求证： CD=CE.如图2，小颍同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过C作CF⊥OC,交OB于 点F,以此来证明阴影部分的三角形全等，得到CD=CE, 请你参考小颖的解题思路写出证明过程： 24/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【类比分析】 (2)张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分 ∠AOB,求证：CD=CE 2.(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)根据题意，完成以下各题 图1 图2 图3 图4 图5 (I)如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE,构建“手 拉手”模型，得到了BD=一；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了BD⊥ (2)如图3，△ABC和△ADE是等边三角形，AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与CE相交于点F.请 猜想BD与CE的大小关系，求∠BFC的度数； (3)如图4，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB,∠BAC=∠DAE=40°，连接BD, CE.则BD与CE的数量关系为一，直线BD与直线CE的夹角为； (4)如图5，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90(∠DAC<90),连接BE, CD,F是线段BE的中点，连接AF若DC=4,请你直接写出AF的长。 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(25-26七年级下·上海·期中)给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的 是() A.AB=4cm,∠A=60°，∠B=30° B.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30° C.AB=4cm,BC=6cm,∠B=30° D.AB=4cm,BC=5cm,AC=6cm 2.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，△ABC≌△DEF,点B、F、C、E共线，AC与DF交于 25/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点G.若BC=10cm,CE=2cm,则线段CF的长度为() A D G B A.10cm B.8cm C.3cm D.2cm 3.(19-20八年级下辽宁沈阳期中)如图，△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若 BD=2DC,BC=9Cm,则点D到AB的距离为() D B 9 9 3 A.3cm B.cm C.zcm D.zcm 4.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点0处用电钻打孔，墙壁厚35cm (即OA=35cm,OA平行于地面)，点A与地面的距离为40cm,要使钻头从墙壁对面距地面18cm的点 B处打出( AB⊥OA、 OC=35 cm C “),工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取 ,再过点作 CD⊥OC,连结DO,然后沿着DO的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点B处打出，则CD的长为 D A.40cm B.35cm C 22cm D.17cm 5.(21-22八年级上山东临沂期末)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPV与 ∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论： 26/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)PM=PN恒成立； (2)OM+ON的值不变： (3)四边形PMON的面积不变； (4)MN的长不变. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(25-26八年级下·广东佛山期末)如图，∠ACB=∠BDA=90°，添加一个条件 使 △ACB≌△BDA.(不添加字母和辅助线) B 7.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABD边AD上的中线， 若△ABC的面积是18，△ABE的面积是6，AC=3,则AB的长为 D 8.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，图2是图1折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不 计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.撑开后的折叠凳宽度AD=40cm,则CB= cm 27/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7777777777 图1 图2 9.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A,C作BD的垂线， 垂足为E,F.若DE=3,CF=BF=4,则△ABC的面积是一· E D 10.(25-26七年级下四川达州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=3,P,Q两点 分别在AC和AC的垂线AD上移动，PO=AB，,则当AP=时，才能使△ABC和△APO全等. D 三、解答题 11. (25-26七年级下山东济南期末)如图，AB与CD相交于点O,已知点O为AB的中点，AC∥BD D (1)求证：AC=BD: (2)若∠C=75°，∠A0C=40°，求∠B的度数. 12.(25-26七年级下·四川成都·期末)小萌同学与爸妈周末去公园游玩一一荡秋千，如图所示，小萌坐在 28/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M,两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住 她后用力一推，爸爸在C处接往她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为l.4m和1.8m, ∠BOC=90°，爸爸在C处接住小萌时. E D 777777777777 777777777777777 M (1)判断△OBD与△COE是否全等，并说明理由： (2)求C处距离地面的高度 13.(25-26七年级下四川达州期末)已知，A0⊥BC于点O,CD平分∠ACB,交AO于点D, 丙 B 图1 图2 (I)如图1，若AC=BC,∠CA0=50°，则∠DBC=°； (2)如图2，点E为AC上一点，连接DE,AC+CE=I0,AD=DE,求CO的长. 14.(25-26六年级下·山东济南期末)【模型探究】 己知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线L,AD⊥I,垂足为点D,BE⊥I,垂足为点E 图1 图2 图3 (I)如图1，当点A、点B在直线I的同侧时，AD、BE、DE之间的数量关系为： (2)如图2，当点A、点B在直线I的异侧时，请写出AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,又以BC为斜边构造RtABCD,其中CD=3,求 29/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ACD的面积. 15.(25-26七年级下·福建福州期末)在四边形ABCD中，AB=AD. G D B B E E 图1 图2 图3 (I)若∠BAD=116°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=58°.试探究线段 BE,EF,FD之间的数量关系， 小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1，先证明△ABE≌aADG,再证明 △AEF≌aAGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系.请你： ①直接写出∠GAF的度数：∠GAF=_; ②根据小亮同学的思路，直接判断BE,EF,FD之间的数量关系： (2)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，∠BAD=2∠EAF,(1)中的结 论是否仍然成立？请说明理由. (3)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°，∠EAF=a,点E,F分别是CB,CD延长线上的点，若 EF=BE+DF,求∠BAD的度数（结果用含的代数式表示）· 能力进阶 一、单选题 1.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC.在Rt△DCE中， ∠DCE=9O°，CD=CE,A,C,D三点在一条直线上，点E在CB上，连接AE,AE的延长线交BD于 点F.若AE=18,AF=211,则△BDE的面积为() 30/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.27.9 B.28.7 C.26.9 D.27.4 2,(25-26七年级下陕西西安阶段检测)如图，在△A0B和△D0C中，OA=OB,OC=OD,OA<OC, ∠AOB=LCOD=I10°，连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论：①∠AMB=I10°：②AC=BD: ③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC.其中正确的结论个数有()个. A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 3.(25-26七年级下浙江宁波期末)如图，在△ABC中，AB=10,AC=7,AD是∠BAC的角平分线， 点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD,∠ADB=150°，∠DBC=30°，∠ABC+∠ADC=180°，则线段 CD的长度为 4.(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，在RtAABC,∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于D.过C 点作CG⊥AB于G,交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论：①LCED=∠CDE;② ∠ADF=2∠ECD,③ c:Sm=AC:4G,05cm=S,回CE=DF.其中正确结论的序号是 :④ 31/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 5.(25-26七年级下四川成都期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC. D BA B B 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部一点，CD⊥CE且CD=CE」 ①如图1，求证：△ACD≌aBCE: ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积； (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 6.(25-26七年级下陕西西安·期末)【问题探究】 E F 图① 图② (I)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D,过点D作AD的垂线，交AB边于点E、交AC 的延长线于点F,过点E作EG∥AC交BC边于点G.试说明：BC-BG=2CD: 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理△ADE和△ADF全等，得到DE=DF,进而可得△DEG和 △DC全等，最终得出结论.请你据此写出推理过程. 【问题解决】 32/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路AD平分△ABC的外角∠CAE,E、 F分别在BA、AC的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且AD⊥EF于点 D,EG、DG是两条运输公路，EG∥AC交BC的延长线于点G,G处修建一个配送中心，现要沿BG修 建一条笔直的运输轨道(C、D在BG上)，请你帮助管理人员探究BC、BG、CD之间的数量关系，并 说明理由.（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度 均忽略不计) 33/33