专题03 整式中的数字和图形规律问题（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式中数字与图形规律，通过“观察-归纳-应用”三阶方法体系，系统覆盖6类常考题型，强化规律探究的数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律|12题|周期分析、定义迁移、结构归纳|从具体数列/等式到代数式表达，构建“特殊-一般”认知链| |图形类规律|6题|数形结合、数量递推|从点阵/图案变化抽象数量关系，体现几何直观与模型意识|

专题03 整式中的数字和图形规律问题 常考题型·精准突破 题型1 数字类规律之排列问题（重） 题型2 数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3 数字类规律之新运算问题（高频） 题型4 数字类规律之等式问题（难） 题型5 图形类规律之数字问题（难） 题型6 图形类规律之数量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 【答案】 【分析】分别拆分分子和分母，寻找各自的变化规律，得到第个数的表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：有一列数按如下规律排列：， 观察分子部分：，，，，可得第个数的分子为； 观察分母部分：， ， ， ， 可得第个数的分母为， 当时， 分子：， 分母：， 因此第个数是． 2．（25-26七年级上·全国·期中）有一组数：，−，，−，…，根据这个规律，第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数的规律，首先用的形式来表示交替出现这种规律，再找出分子和分母各自的变化规律，用n表示出来即可，最后综合在一起即可得到答案． 【详解】解：①观察这组数，符号是交替出现，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，故符合的规律可以用表示； ②这组数的分子是从1开始的正整数，∴第n个数的分子为n； ③这组数的分母是从2开始的正整数，即比顺序数n大1，∴第n个数分母为； 综上，第n个数为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）将连续偶数2，4，6，…排成如下图形，用十字框框出5个数． (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示十字框框出的5个数的和． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)有 (3) 【分析】（1）①观察表格即可得到结论； ②把十字框框出个数计算求和，即可得到答案； （2）这个数还有这种规律； （3）分别用的代数式表示周围个数，把这个数求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小，下面的数比中间的数大，左边的数比中间的数小，右边的数比中间的数大； ②个数的和为，，则十字框框出的个数的和恰好为中间的数的倍． （2）解：这个数还有这种规律． （3）解：十字框框出的个数的和为． ◆题型2 数字类规律之末尾数字问题 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ 【答案】7 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．先根据已知等式发现个位数字是7，9，3，1为一个循环，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴个位数字是以7，9，3，1为一个循环，且， ∴一个循环中的四个数的个位数字和为0， ∵，且的个位数字是7， ∴的结果的个位数字是7． 故答案为：7． 5．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________；的个位数字是__________． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数9除以4的余数为1，对应个位数字为2； 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：2，7． 6．（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（     ） A．恒为0        B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同        D．无法确定 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键． 一、（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出43的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； 二、（1）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案． 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． ◆题型3 数字类规律之新运算问题 7.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 8.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 9．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． ◆题型4数字类规律之等式问题 10．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，； 第2个等式，； 第3个等式，； 第4个等式：； … 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察已知等式，归纳总结出通用规律并加以应用． （1）根据前4个等式的结构，第个等式为，令，即可写出第6个等式． （2）通过观察等式序号、左右两边的结构，用含的代数式表示出通用规律，再通过整式乘法验证等式成立． （3）利用（2）中得出的规律，将每个分式的分子转化为完全平方形式，约分后进行简便计算． 【详解】（1）解：根据规律，第个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为：， 验证左边， 右边， 左边右边，等式成立． 故答案为：（为正整数）． （3）解：原式． ◆题型5 图形类规律之数字问题 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 【答案】 【分析】观察各图形可发现的规律及它们之间的关系即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：，，，，， ∴第个为，即； 由题意得，所在的位置的数字规律为，，，， ∴第个为，即， 由题意得，， ∴当时， ． 14．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． ◆题型6 图形类规律之数量问题 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 17．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【分析】①观察算式找出规律即可； （1）观察图形数出正方形和正三角形块数； （2）根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； ⑥找出需要正三角形块数，进而确定答案． 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 18．（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；(用含的代数式表示) 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【答案】（1）；； （2）；； （3） 【分析】本题考查图形规律的探究及代数式的应用，关键是根据给出的前几个图案的数量，归纳出第个图案中两种图形的数量表达式． （1）根据前4个图案的规律，第个图案中“★”的数量为，“▲”的数量为，将代入即可； （2）根据前几个图案的数量规律，提炼出第个图案中两种图形数量的代数式； （3）先分别表示出第个图案中“★”和“▲”的数量，再计算两者的差值，可通过代数式化简简化计算． 【详解】（1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式为 ． 2．（2026·重庆·模拟预测）晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：第1个图中所贴剪纸“”的个数为5个， 第2个图中所贴剪纸“”的个数为个， 第3个图中所贴剪纸“”的个数为个， …..； ∴第n个图中所贴剪纸“”的个数为个， ∴第8个图中所贴剪纸“”的个数为个． 3．（2026·云南楚雄·一模）观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 【答案】D 【详解】解：观察题中规律可得，第n个等式的左边为，右边为， ∴第2026个等式的左边为． 4．（2026·广西崇左·二模）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 【答案】B 【分析】根据前三个图形，可得到第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为，即可求解． 【详解】解：第1个图左上角的数为1，右上角的数为，下面的数为， 第2个图左上角的数为2，右上角的数为，下面的数为， 第3个图左上角的数为3，右上角的数为，下面的数为， ……， 以此类推可得，第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为， ∵第n个图中的， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 5．（2026·四川内江·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；以此类推．若将数组中的各数分别作f的变换，得到的数组记为，即，；将作f的变换，得到的数组记为；以此类推；则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义计算前几次变换的和，可发现每3次变换为一个循环，利用循环规律计算总和即可； 【详解】解：根据题意计算得：，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 可得规律：每3次变换为一个循环，一个循环的总和为， ， 总和． 6．（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个 ②第个图形中，黑色正方形共有个 ③第个图形中，一共有个正方形 ④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查图形规律探究．通过观察前几个图形，找出下层黑色正方形、上层黑色正方形、上层白色正方形及总数随编号n的变化规律，用含n的代数式表示各量，再逐一验证四个说法． 【详解】解：观察图形可知， 图1中，下层1个黑色正方形，上层1个黑色正方形，共2个正方形； 图2中，下层2个黑色正方形，上层1个黑色正方形和1个白色正方形，共4个正方形； 图3中，下层3个黑色正方形，上层2个黑色正方形和1个白色正方形，共6个正方形； 图4中，下层4个黑色正方形，上层2个黑色正方形和2个白色正方形，共8个正方形； 图5中，下层5个黑色正方形，上层3个黑色正方形和2个白色正方形，共10个正方形； ∴ 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个， 当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形， 当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形． ① ∵为偶数， ∴ 白色正方形有个， ∴ 说法①错误； ② ∵为奇数， ∴ 黑色正方形有个， ∴ 说法②正确； ③ ∵ 第n个图形中，下层n个，上层n个， ∴ 一共有2n个正方形， ∴ 说法③正确； ④ 当n为偶数时，黑色正方形有个，白色正方形有个， ∴ 黑色比白色多个， 当n为奇数时，黑色正方形有个，白色正方形有个， ∴ 黑色比白色多个， ∴ 说法④错误． 综上所述，正确的说法有2个． 二、填空题 7．（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 【答案】 【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号的变化规律，归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：观察已知排列的数： 第个数：； 第个数：； 第个数：； 第个数：； ； 按此规律，可得第个数的分子为，分母为． ∴第个数为． 8．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）观察下列式子：，，，…，按上面的规律写出一般结论：____________（用含的等式表示，为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式，可得规律，用含的等式表示即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴． 9．（2026·山西太原·三模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形． 【答案】 【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有4个三角形，即 第②个图案有6个三角形，即 第③个图案有8个三角形，即 第个图案三角形个数为， 所以第2026个图案有三角形的个数为． 10．（2026·江西吉安·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 【答案】40 【分析】观察已知等式，总结大衍数列第个数的通项规律，判断为奇数，代入对应公式计算即可得到结果． 【详解】解：当为奇数时，大衍数列的第个数为， 当为偶数时，大衍数列的第个数为， 因为所求为第个数，是奇数，将代入，得． 11．（25-26七年级下·四川泸州·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】 6 【分析】根据题意可得这列数每4个数为一个循环，它们的个位数依次是7，9，3，1，则可得到每个周期内的4个数的个数数字之和的个位数字为0，求出2026除以4的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，…… ∴这列数的个位数字每4个数为一个循环，它们的个位数字依次是7，9，3，1， ∵， ∴每个周期内，4个数的个位数字之和为20，即这4个数的个位数字之和的个位数字为0， ∵， ∴从到，共包含506个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7，的个位数字与相同，为9， ∵， ∴的个位数字为． 12．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）已知整数，…，满足下列条件：，，…，以此类推，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据条件求出前几个数的值，可得当是奇数时，，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴当，是奇数时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级下·陕西西安·期中）观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】(1)； (2) 解：设两个连续奇数为和， ， 即． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【分析】（1）仿照已知等式写出算式即可； （2）设两个连续奇数为和，然后利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）略 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【答案】(1)30 (2)个 (3)个 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律，并用代数式表示． （1）根据图形分布，求出第7个图案中的图形个数即可； （2）找出规律，列出代数式即可； （3）代数求值，然后求差即可． 【详解】（1）解：第⑦个图案中有30个“○”， 故答案为：30； （2）解：第n个图案中“○”的个数为个； （3）解：第120个图案中“○”的个数为（个）． 第132个图案中“○”的个数为（个）． 所以第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少（个）． 15．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 【答案】(1)55 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 16．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，…． 因为（，且n为整数），的末尾数字是1， 所以的末尾数字是1， 所以的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)试说明：能被5整除． 【答案】(1)3，6 (2)的末尾数字是6 (3) 证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… ∴的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 同理可得：的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； ∴的末尾数字是9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【分析】本题考查了数字类规律探索； （1）根据材料中的规律可得出的末尾数字，类似材料方法找出的末尾数字的规律，然后可得答案； （2）类似材料方法找出的末尾数字的规律，然后可得答案； （3）求出的末尾数字是6，的末尾数字是9，可得的末尾数字是5，则能被5整除． 【详解】（1）解：∵， ∴的末尾数字为3； ∵的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…， ∴的末尾数字是4，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…． 因为，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； （3）略 17．（2026七年级上·吉林长春·专题练习）数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表： (1)图表中表示的数值是___________； (2)根据你的观察，猜想：______________________ (3)你能猜想下列式子的值吗？ ①； ②． 【答案】(1) (2)； (3)①；② 【分析】（1）根据图中数据即可得出A表示的数值； （2）根据图形面积得出这些数的和； （3）①根据（2）中所求，得出规律即可计算； ②根据（2）中所求，得出规律即可计算． 【详解】（1）解：图表中A表示的数值是：； （2）解：根据图形面积得出：； （3）解：① ； ②． 18．（25-26七年级上·广东深圳·期末）“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 【答案】（1）； （2）； （3）第④个图，如图： ； （4）20050 【分析】本题考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）根据题意画出图形，同（2）的结论推出个连续偶数的和，得出规律即可； （4）根据题意整理得到连续奇数的和以及连续偶数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； （3）由图形可知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； （4）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式中的数字和图形规律问题 常考题型·精准突破 题型1 数字类规律之排列问题（重） 题型2 数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3 数字类规律之新运算问题（高频） 题型4 数字类规律之等式问题（难） 题型5 图形类规律之数字问题（难） 题型6 图形类规律之数量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1． 2． 3． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)有 (3) 【详解】（1）解：①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小，下面的数比中间的数大，左边的数比中间的数小，右边的数比中间的数大； ②个数的和为，，则十字框框出的个数的和恰好为中间的数的倍． （2）解：这个数还有这种规律． （3）解：十字框框出的个数的和为． ◆题型2 数字类规律之末尾数字问题 4．7 5． 2 7 6． 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． ◆题型3 数字类规律之新运算问题 7. 8.19 9． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． ◆题型4数字类规律之等式问题 10． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 11． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 12． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据规律，第个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为：， 验证左边， 右边， 左边右边，等式成立． 故答案为：（为正整数）． （3）解：原式． ◆题型5 图形类规律之数字问题 13． 14． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 15． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． ◆题型6 图形类规律之数量问题 16． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 17． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 18． 【答案】（1）；； （2）；； （3） 【详解】（1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 二、填空题 7． 8． 9． 10．40 11．6 12． 三、解答题 13． 【答案】(1)； (2) 解：设两个连续奇数为和， ， 即． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【详解】（1）解：，； （2）略 14． 【答案】(1)30 (2)个 (3)个 【详解】（1）解：第⑦个图案中有30个“○”， 故答案为：30； （2）解：第n个图案中“○”的个数为个； （3）解：第120个图案中“○”的个数为（个）． 第132个图案中“○”的个数为（个）． 所以第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少（个）． 15． 【答案】(1)55 (2) (3)2485 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 16． 【答案】(1)3，6 (2)的末尾数字是6 (3) 证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… ∴的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 同理可得：的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； ∴的末尾数字是9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【详解】（1）解：∵， ∴的末尾数字为3； ∵的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…， ∴的末尾数字是4，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…． 因为，的末尾数字是6， ∴的末尾数字是6； （3）略 17． 【答案】(1) (2)； (3)①；② 【详解】（1）解：图表中A表示的数值是：； （2）解：根据图形面积得出：； （3）解：① ； ②． 18． 【答案】（1）； （2）； （3）第④个图，如图： ； （4）20050 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； （3）由图形可知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； （4）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式中的数字和图形规律问题 常考题型·精准突破 题型1 数字类规律之排列问题（重） 题型2 数字类规律之末尾数字问题（重） 题型3 数字类规律之新运算问题（高频） 题型4 数字类规律之等式问题（难） 题型5 图形类规律之数字问题（难） 题型6 图形类规律之数量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1数字类规律之排列问题 1．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 2．（25-26七年级上·全国·期中）有一组数：，−，，−，…，根据这个规律，第n个数是 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）将连续偶数2，4，6，…排成如下图形，用十字框框出5个数． (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示十字框框出的5个数的和． ◆题型2 数字类规律之末尾数字问题 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ 5．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________；的个位数字是__________． 6．（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（     ） A．恒为0        B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同        D．无法确定 ◆题型3 数字类规律之新运算问题 7.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 8.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 9．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． ◆题型4数字类规律之等式问题 10．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，； 第2个等式，； 第3个等式，； 第4个等式：； … 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)利用上述规律计算：． ◆题型5 图形类规律之数字问题 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 14．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． ◆题型6 图形类规律之数量问题 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 17．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 18．（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；(用含的代数式表示) 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南楚雄·一模）观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 4．（2026·广西崇左·二模）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 5．（2026·四川内江·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；以此类推．若将数组中的各数分别作f的变换，得到的数组记为，即，；将作f的变换，得到的数组记为；以此类推；则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个 ②第个图形中，黑色正方形共有个 ③第个图形中，一共有个正方形 ④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 二、填空题 7．（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 8．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）观察下列式子：，，，…，按上面的规律写出一般结论：____________（用含的等式表示，为正整数）． 9．（2026·山西太原·三模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形． 10．（2026·江西吉安·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 11．（25-26七年级下·四川泸州·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 12．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）已知整数，…，满足下列条件：，，…，以此类推，则的值为_______． 三、解答题 13．（25-26八年级下·陕西西安·期中）观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 15．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 16．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，…． 因为（，且n为整数），的末尾数字是1， 所以的末尾数字是1， 所以的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)试说明：能被5整除． 17．（2026七年级上·吉林长春·专题练习）数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表： (1)图表中表示的数值是___________； (2)根据你的观察，猜想：______________________ (3)你能猜想下列式子的值吗？ ①； ②． 18．（25-26七年级上·广东深圳·期末）“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $