专题3.1 列代数式表示数量关系（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，系统梳理代数式的概念及书写规范、意义、列代数式方法、实际问题数量关系表示、反比例关系等内容，形成从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”与典例变式训练结合，以购买读本、商品打折等实际情境及图形规律探究，培养学生抽象能力、符号意识和模型意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题3.1 列代数式表示数量关系 教学目标 1.理解代数式的概念，能辨别什么是代数式，掌握代数式书写规范。 2.能分析实际问题中的数量关系，会用代数式正确表示简单的数量和数量关系。 3.能把文字语言描述的数量关系转化为符号语言（代数式），读懂代数式的实际意义。 教学重难点 1.重点 抓住实际问题中的关键词，分析数量关系，正确列出代数式，掌握代数式书写格式。 2.难点 （1）正确理解复杂文字描述的数量关系，分清运算顺序，列对代数式； （2）区分“和、差、倍、分”语句，处理如“a与b的差的平方”“a与b平方的差”这类易混淆表述； （3）将生活情境问题抽象转化为代数式。 知识点01 代数式的概念 1. 代数式的概念：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示数的 连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： （1）数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用 代替或 。 （2）在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是 ， ，然后单项式 ，最后多项式。 （3）带分数写成 。 （4）写含有字母的除法时，要把除法写成 的形式。 （5）代数式后面有单位时一定要用 把代数式括起来。 【即学即练】 下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 知识点02 代数式的意义 代数式的意义：代数式的意义指的是一个代数式所表示的 。 【即学即练】 指出下列各代数式的意义： (1)； (2)． 知识点03 列代数式 列代数式：在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有 、 和 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。 【即学即练】 下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 知识点04 用代数式表示实际问题中的数量关系 用代数式表示实际问题中的数量关系：用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【即学即练】 某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 知识点05 反比例关系以及实际问题中的反比例关系 反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的 是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【即学即练】 下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 题型01 判断代数式及其书写 【典例1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1.数字与字母相乘 数字写字母前面，乘号省略不写。 ✅️3a ；❌️a×3、3×a、a3 2.字母与字母相乘 乘号省略，按习惯顺序书写。 ✅️ab；❌️a·b（尽量不用点乘）、a×b 3.带分数与字母相乘 带分数必须化成假分数 ✅️a；❌️a 4.除法运算 除法一律改写成分数形式，不能写÷ ✅️；❌️x÷y 5.结果带单位 乘除关系：直接写单位：3a米 加减关系的代数式，整体加括号，再写单位 ✅️(x+2)千克；❌️x+2千克 6.相同字母相乘写成乘方形式 ✅️a2；❌️aa 【变式1】下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3】下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式4】下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 题型02 代数式表示的意义 【典例1】代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【变式1】下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【变式2】下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【变式3】元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【变式4】单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 题型03 根据实际问题列出代数式 【典例1】比的倍小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 【变式2】如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【变式4】近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 题型04 反比例关系的判断及其简单应用 【典例1】下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 判断两个量是否成反比例解题步骤（做题通用流程） 1.看是否相关联：一个量变，另一个量会不会跟着变；互不影响→不成比例。 2.找数量关系式，看是求乘积，还是求商。 3.看结果是不是固定不变（定值，不为0） 若：量1×量2=定值k → 成反比例 若：=定值k →成正比例（不是反比例） 积、商都不是定值 →不成比例 口诀：相关联，积不变，才是反比例 【变式1】下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【变式2】水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【变式3】若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【变式4】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 题型05 用代数式表示数字或图形的规律 【典例1】将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 【变式2】观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【变式3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【变式4】观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 1．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 3．我校现有学生人，预计明年将增加，则我校明年的学生人数为（     ） A． B． C． D． 4．观察下列数列：，第个数是_____ 5．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 6．如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． 7．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 1．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．小明买了3支红笔，共用了a元，则买一支红笔需要（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 4．若购买m千克苹果花费p元，则按同样的价格购买n千克苹果，需花费的钱数为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 6．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 7．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 8．用代数式表示：与的平方和的倍_____________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 列代数式表示数量关系 教学目标 1.理解代数式的概念，能辨别什么是代数式，掌握代数式书写规范。 2.能分析实际问题中的数量关系，会用代数式正确表示简单的数量和数量关系。 3.能把文字语言描述的数量关系转化为符号语言（代数式），读懂代数式的实际意义。 教学重难点 1.重点 抓住实际问题中的关键词，分析数量关系，正确列出代数式，掌握代数式书写格式。 2.难点 （1）正确理解复杂文字描述的数量关系，分清运算顺序，列对代数式； （2）区分“和、差、倍、分”语句，处理如“a与b的差的平方”“a与b平方的差”这类易混淆表述； （3）将生活情境问题抽象转化为代数式。 知识点01 代数式的概念 1. 代数式的概念：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： （1）数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“· ”代替或直接省略。 （2）在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式 ，最后多项式。 （3）带分数写成假分数。 （4）写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。 （5）代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。 【即学即练】 下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】①，③，⑤是代数式；②，④，⑥不是代数式． 【分析】本题考查代数式的判断，根据用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，进行判断即可． 【详解】解：①，③，⑤是代数式，②，④，⑥不是代数式． 知识点02 代数式的意义 代数式的意义：代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系。 【即学即练】 指出下列各代数式的意义： (1)； (2)． 【答案】(1)的平方与2的和 (2)与的积乘以与的和 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握运算关系是解题关键． （1）根据平方、和运算顺序解答即可得； （2）根据乘积、和、括号运算解答即可得． 【详解】（1）解：表示的意义是的平方与2的和． （2）解：表示的意义是与的积乘以与的和． 知识点03 列代数式 列代数式：在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。 【即学即练】 下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 知识点04 用代数式表示实际问题中的数量关系 用代数式表示实际问题中的数量关系：用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【即学即练】 某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 【答案】 【分析】先根据总本数求出乙种读本的数量，再乘以乙的单价得到总费用． 【详解】解：购买乙种读本的费用为元． 知识点05 反比例关系以及实际问题中的反比例关系 反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的积是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【即学即练】 下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化，若对应两个数的乘积一定，则两种量成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系．据此分析各选项的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：A、单价总价数量，当单价一定时，总价与数量的商一定，故二者成正比例，不符合题意； B、路程速度时间，当路程一定时，速度与时间的乘积一定，故二者成反比例，符合题意； C、身高与体重不成比例，不符合题意； D、正方形的周长边长，即周长与边长的商一定，故二者成正比例，不符合题意． 题型01 判断代数式及其书写 【典例1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 1.数字与字母相乘 数字写字母前面，乘号省略不写。 ✅️3a ；❌️a×3、3×a、a3 2.字母与字母相乘 乘号省略，按习惯顺序书写。 ✅️ab；❌️a·b（尽量不用点乘）、a×b 3.带分数与字母相乘 带分数必须化成假分数 ✅️a；❌️a 4.除法运算 除法一律改写成分数形式，不能写÷ ✅️；❌️x÷y 5.结果带单位 乘除关系：直接写单位：3a米 加减关系的代数式，整体加括号，再写单位 ✅️(x+2)千克；❌️x+2千克 6.相同字母相乘写成乘方形式 ✅️a2；❌️aa 【变式1】下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 【变式2】下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 【变式3】下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式4】下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键；根据代数式书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前面且省略乘号，除法运算应写成分数形式，带分数应避免使用，然后问题可求解． 【详解】解：是带分数，不符合规范，应写成假分数； 符合代数式书写规范； 使用了除法符号，不符合规范，应写成分数形式； 中数字1与相乘，数字应省略或写在前，不符合规范； 数字写在字母后面，不符合规范，应写成； 符合代数式书写规范； 故不符合规范的有4个； 故答案为4． 题型02 代数式表示的意义 【典例1】代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 【变式1】下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 【变式2】下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 【变式3】元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【变式4】单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 【答案】一本笔记本元，买了4本，共需元（答案不唯一） 【分析】根据单项式的意义解析即可． 【详解】略 题型03 根据实际问题列出代数式 【典例1】比的倍小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 【变式1】若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总价和质量求出糖果的单价，再根据单价乘质量得到8千克糖果的总价． 【详解】解：∵千克糖果售价为元， ∴1千克糖果的售价为元， ∴8千克糖果的售价为元． 【变式2】如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察窗框可知，共有3根横档，每根横档长为，因此所有横档总长度为， 剩余木料是2根竖直边框，总长度为， 因此单根竖直边框长度为， ∴窗框的面积是． 【变式3】填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【答案】 / 【详解】对于文字描述转化为代数式的问题，先明确每个描述对应的运算：“倍”对应乘法，“和”对应加法，“差”对应减法，“平方”对应乘方运算，“打折”对应按比例乘法． 处理运算顺序相关表述时，如果描述是“某两个数的差/和的平方”，那么先算差/和，再对结果做乘方，需要用括号明确运算优先级． 处理分数、比例类表述时，“m的一半”对应m乘以，“打8折”对应原价乘以0.8或，按对应比例写出乘法表达式后，再按描述组合加法即可． 【分析】解：（1）x的3倍即为，再与5相加（和），可得，故填； （2）a与b的差为，其平方需对整体进行乘方，即，注意不要误写为，故填； （3）m的一半为，n的为（即），两者求和，可得，故填； （4）打8折即售价为原价的（或），原价为p元，所以售价为元（也可写作元），故填（或）元． 【变式4】近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【答案】 【分析】根据题意，先计算打八五折后的价格，再减去让利的元，即可得到该平板现在的售价． 【详解】解：原售价为元，打八五折即按原售价的出售， 故打八五折后的价格为元. 再让利元，即从打折后的价格中减去元， 故现在的售价为元． 题型04 反比例关系的判断及其简单应用 【典例1】下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据反比例关系的定义，两种相关联的量，若对应数的乘积为定值，则两个量成反比例关系，据此判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，，与的和为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对B选项，，与的比值为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对C选项，由变形得，与的乘积是定值，符合反比例关系的定义，∴与成反比例关系． 判断两个量是否成反比例解题步骤（做题通用流程） 1.看是否相关联：一个量变，另一个量会不会跟着变；互不影响→不成比例。 2.找数量关系式，看是求乘积，还是求商。 3.看结果是不是固定不变（定值，不为0） 若：量1×量2=定值k → 成反比例 若：=定值k →成正比例（不是反比例） 积、商都不是定值 →不成比例 口诀：相关联，积不变，才是反比例 【变式1】下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 【变式2】水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【答案】C 【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项． 【详解】解：由表格数据可得，， 故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小， 故C正确，A、B、D错误． 【变式3】若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【答案】2 【分析】本题考查了反比例关系．根据反比例关系的定义，x与y的乘积为常数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴根据反比例关系的定义，可得为定值 即， 解得． 故答案为：2 【变式4】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 【详解】解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 题型05 用代数式表示数字或图形的规律 【典例1】将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 【变式1】石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 【答案】B 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值，归纳出第n个图形的小棒数量公式，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒，， 第③个图案用了27根小棒，， …… 以此类推，第n个图形需要小木棒的根数是， 所以第⑧个图形需要小木棒的根数是． 【变式2】观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【答案】 【分析】分析已知等式可得规律：两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴第n个式子是：． 【变式3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 【变式4】观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 【答案】 【分析】先数出前几个图形中小圆圈的个数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中小圆圈的个数为； 第2个图形中小圆圈的个数为； 第3个图形中小圆圈的个数为； 第4个图形中小圆圈的个数为； ∴第个图形中小圆圈的个数为． 1．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，解题关键是确定折成无盖长方体盒子后，盒子的长、宽、高，再利用长方体容积公式推导表达式． 【详解】解：∵原长方形铝片长为，四个角各剪去一个边长为的正方形， ∴折成盒子后，盒子的长为，同理可得盒子的宽为，盒子的高为， ∵长方体容积公式为， ∴，故选D． 2．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“和的3倍”的表述，确定先算加法再算乘法的运算顺序，需添加括号保证运算优先级． 【详解】解：与的和为，和的3倍为． 3．我校现有学生人，预计明年将增加，则我校明年的学生人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，根据题意列式即可． 【详解】解：现有学生人数为，明年人数比现有增加， 增加的学生人数为， 明年学生人数为 ． 4．观察下列数列：，第个数是_____ 【答案】 【分析】观察可得，第1项；第2项；第3项；第4项 ，据此即可求解． 【详解】解： 相邻两项的差： ． 差分别为 ，依次增加1． 观察可得：第1项；第2项；第3项；第4项 ； 因此第项． 验证：当时，，正确；当时， ，正确． ∴第个数是． 5．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 【答案】 【详解】解：一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个三位数是． 6．如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴ ． 7．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度； （2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和． 【详解】（1）解：跑道的周长为； （2）解：“铁饼投掷”项目的面积为，“掷标枪”项目的面积为， ． 1．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 2．小明买了3支红笔，共用了a元，则买一支红笔需要（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】利用总价、数量、单价的基本数量关系求解即可； 【详解】解：3支红笔的总价为元， 买1支红笔的价格为元． 3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 4．若购买m千克苹果花费p元，则按同样的价格购买n千克苹果，需花费的钱数为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出苹果的单价，再根据“总花费=单价×购买重量”计算购买千克苹果的花费即可． 【详解】解：∵购买千克苹果花费元， ∴苹果的单价为每千克元， ∴购买千克苹果的总花费为元． 5．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白半圆的面积． 长方形的长为，宽为，空白半圆的直径为． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为 ， ∴长方形的面积为 ． ∵空白部分是一个半圆，且直径为， ∴半圆的半径为 ∴半圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 6．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 【答案】 【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为． …… 图形n的总点数为 7．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解题思路为根据售价与进价，提高百分比的关系，列出代数式，再化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． 8．用代数式表示：与的平方和的倍_____________． 【答案】 【详解】解：由题意可得代数式为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $