专题09 二次函数背景下的自定义问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“定义翻译-性质应用-分类验证”为核心方法体系，系统构建二次函数与新定义融合的解题逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|定义翻译→数学语言转化→性质应用→分类讨论→结果验证|从定义理解到问题解决的完整思维链| |点的自定义|1典例+3变式|坐标关系式构建→方程求解|二次函数图像上点的坐标特征延伸| |直线的自定义|1典例+3变式|直线方程建立→联立抛物线方程→判别式/韦达定理应用|直线与抛物线位置关系的新定义拓展| |函数自定义|1典例+3变式|新函数解析式构建→二次函数性质分析|函数概念的创新应用与性质迁移| |自定义区域|1典例+3变式|区域边界转化→不等式求解|函数图像与区域的几何关系构建| |图形的自定义|1典例+3变式|几何关系坐标化→方程求解|二次函数背景下图形性质的综合应用| |压轴挑战|11题|多维度定义综合→复杂问题拆解|中考高频压轴题型的思维突破训练|

专题09 二次函数背景下的自定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 题型2、直线的自定义问题 题型3、函数自定义问题 题型4、自定义区域问题 题型5、图形的自定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的自定义问题，首要任务是准确理解题目给出的“新定义”；要把文字定义翻译成坐标、解析式、方程或不等式等数学语言；然后结合二次函数的图象与性质，通过联立方程、分类讨论、数形结合等方法求解；由于新定义往往伴随多种情形，必须全面分类、不重不漏，最后把数学结果回代到定义中检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 典例1 （2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 题型模版 1.特征：题目定义满足某种条件的“好点”“特征点”等，要求在二次函数图象上寻找或判断这样的点． 2.方法：先准确理解新定义，把条件翻译为坐标满足的关系式；结合二次函数解析式列方程求解，注意验证是否符合定义． 变式1-1 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测） 已知二次函数． (1)若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． (2)在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 变式1-3 （2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 题型2、直线的自定义问题 典例2 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 题型模版 1.特征：定义某种特殊直线，使其与抛物线相交或满足特定位置关系． 2.方法：根据定义写出直线方程或约束条件；联立抛物线方程，利用判别式、韦达定理等求解并检验． 变式2-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：直线（、是常数且）为抛物线的“伴随直线”． (1)当时，求证：抛物线与“伴随直线”只有一个交点． (2)探究当时，抛物线与“伴随直线”的交点． 水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明 层次1 取__________， __________． （__________），（__________） ，取具体数值求出交点得2分 层次2 直接用字母，求交点 （__________），（__________） 用，字母表示交点坐标得4分 请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分． (3)当时，且，求自变量的取值范围． 变式2-3 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 题型3、函数自定义问题 典例3 （25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 题型模版 1.特征：定义新的函数关系或运算规则，常与二次函数复合或递推． 2.方法：按定义逐步计算或建立新函数解析式；利用二次函数性质（开口、顶点、单调性）分析最值或范围． 变式3-1 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）． （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由． 变式3-2 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． (1)求函数的对折函数； (2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 变式3-3 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 题型4、自定义区域问题 典例4 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． (1)求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； (3)若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 题型模版 1.特征：定义由抛物线、直线等围成的特殊区域，判断点或图形是否位于区域内． 2.方法：画出草图，把区域边界转化为函数不等式；通过解不等式或求交点确定范围，注意边界取舍． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 变式4-2 （2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 变式4-3 已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，且与轴的另一个交点为点．    (1)点的坐标为______； (2)若，求抛物线的解析式和顶点坐标； (3)①点的坐标为______； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．若抛物线在“区域”内有个整点，请直接写出的取值范围． 题型5、图形的自定义问题 典例5 如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个三角形的“智汇中线”． (1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”） ①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”． ②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线． (2)如图1，中，，，，求证：是“智汇三角形”． (3)如图2，点，在抛物线上，且轴，若是“智汇三角形”，求的“智汇中线”的长． 题型模版 1.特征：定义某种特殊图形，在二次函数背景下构造或判断该图形． 2.方法：理解图形的定义条件，转化为边、角、对角线等几何关系；用坐标法列方程并结合二次函数求解． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F(点E在点F的左侧)，点P在直线上，当点P满足时，我们称点P是该二次函数图象的生长点． (1)二次函数的图象如图所示． ①当时，请说明该函数图象是否有生长点． ②已知是该函数图象的生长点，则n的取值范围是________． (2)已知二次函数（h为常数），若是该函数图象的生长点，求h的值． 变式5-2 平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 变式5-3 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”． 如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形． （1）直接写出下列3个小题的答案． ①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为　 ． ②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为　 ． ③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有　 个． （2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形． ①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标． ②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 22．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 23．在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 24．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 25．（25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 26．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 27．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点． (1)如图1，若，为第四象限抛物线上一点． ①若交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标； ②如图2，若，试求点的坐标． (2)如图3，设抛物线的顶点为： ①求抛物线的顶点的坐标（用含的代数式表示）； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界）．如果“区域”中仅有4个整数点且时，直接写出的取值范围．（整数点就是横纵坐标均为整数的点）． 28．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 29．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数． (1)写出的“关联”二次函数的表达式：___________． (2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数的图像有且只有两个交点，求的值； (3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点是的图像与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 30．（25-26九年级上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． (1)①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； (2)若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． (3)将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 31．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 32．已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长； ②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______； （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值． 33．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，－5）． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点． ①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）； ②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由． 34．【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 35．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）2024甲辰龙年年初，“龙”的英文翻译引发关注，“龙不再翻译为而是”冲上热搜．在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的、友好和善的，人们更是将龙排在十二生肖中的第五位．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫做“点”，如点，等．根据“点”的定义，解答下列问题： (1)判断下列各函数图象上是否存在“点”，若存在，请在相应题目后面的括号中打“√”；若不存在，请在相应题目后面的括号中打“×” ①（   ）；②（   ）；③（   ） (2)二次函数图象如图所示，请判断该图象上的“点”个数，并求出相应的“点”坐标； (3)在（2）的条件下，选取该二次函数图象上两个“点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得的面积为5．若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数背景下的自定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 题型2、直线的自定义问题 题型3、函数自定义问题 题型4、自定义区域问题 题型5、图形的自定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的自定义问题，首要任务是准确理解题目给出的“新定义”；要把文字定义翻译成坐标、解析式、方程或不等式等数学语言；然后结合二次函数的图象与性质，通过联立方程、分类讨论、数形结合等方法求解；由于新定义往往伴随多种情形，必须全面分类、不重不漏，最后把数学结果回代到定义中检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 典例1 （2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】题目主要考查关于二次函数的新定义题型，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意设这个“二倍点”坐标为，代入求解计算即可； （2）设这个“二倍点”坐标为，根据题意列出方程求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数与x轴至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 解得：或， ∴或， ∴“二倍点”坐标为或； （2）解：设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 整理得：， ∵存在唯一的“二倍点”， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 设，开口向上， 对称轴为， 使得在之间与x轴至少有一个交点， ∴在的最小值为：当时，， 最大值为：当时，， ∴， 解得：． 题型模版 1.特征：题目定义满足某种条件的“好点”“特征点”等，要求在二次函数图象上寻找或判断这样的点． 2.方法：先准确理解新定义，把条件翻译为坐标满足的关系式；结合二次函数解析式列方程求解，注意验证是否符合定义． 变式1-1 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测） 已知二次函数． (1)若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． (2)在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，二次函数的性质和表达式的应用及最值问题． （1）对于二次函数，其图象与x轴交点的情况可由判别式来判断，根据题意可得，列出方程并化简求解a的值即可； （2）先由（1）确定a的值，从而得到二次函数的具体表达式，进而得到二次函数的对称轴，由于抛物线开口向下，对称轴为，所以在中，当x离对称轴最远时，即，y取得最小值，根据题意可知当时，y有最小值，求得此时y的值，当时，y有最大值，求得此时y的值，从而得到y的取值范围； （3）由于点是二次函数图象上的任意一点，满足，可得出二次函数图象开口向上，即，由对称轴可得出点M的坐标，进而得出m的值，将代入抛物线解析式得出n的值，从而计算的式子并化为顶点式，再根据及二次函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点， ∴， 解得或， ∵， ∴． （2）解：∵在上， 又∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向下， ∴在中，当x离对称轴最远时，即，y取得最小值， ∴当时，y有最小值，此时， 当时，y有最大值，此时， ∴所有“亲密点”的y的取值范围是． （3）解：∵点是二次函数图象上的任意一点，满足， ∴二次函数图象开口向上，即， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴， ∵， ∴． 变式1-3 （2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 题型2、直线的自定义问题 典例2 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为 (2)①，，，；②是，这条直线的解析式为 【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标； （2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，； ②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式． 【详解】（1）解：抛物线为， ， “衍生直线”的表达式为． “衍生直线”与x轴交于点B， 点B的坐标为． 抛物线与x轴交于点，， 抛物线的表达式为． 令，解得或， 把代入，得， 点A的坐标为； （2）解：①对于，令，则， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上， ∴， ∴． 同理可求出，…，． 故答案为：，，，； ②点，，…，在同一条直线上． 令，， ∴， ∴， 这条直线的表达式为． 【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键． 题型模版 1.特征：定义某种特殊直线，使其与抛物线相交或满足特定位置关系． 2.方法：根据定义写出直线方程或约束条件；联立抛物线方程，利用判别式、韦达定理等求解并检验． 变式2-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：直线（、是常数且）为抛物线的“伴随直线”． (1)当时，求证：抛物线与“伴随直线”只有一个交点． (2)探究当时，抛物线与“伴随直线”的交点． 水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明 层次1 取__________， __________． （__________），（__________） ，取具体数值求出交点得2分 层次2 直接用字母，求交点 （__________），（__________） 用，字母表示交点坐标得4分 请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分． (3)当时，且，求自变量的取值范围． 【答案】(1) 证明：联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 当时，得（）， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴抛物线与“伴随直线”只有一个交点． (2)层次1示例：，；交点坐标为，（答案不唯一，满足即可）；层次2：交点坐标为， (3)当时，；当时，或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的情况和不等式的解法； （1）先联立抛物线与“伴随直线”，得，再代入得到，利用根的判别式即可证明； （2）层次1：联立抛物线与“伴随直线”，得，代入取值，，利用十字相乘法分解方程，求出的值，再求出对应的值，即可确定交点坐标； 层次2：联立抛物线与“伴随直线”，得，利用十字相乘法分解方程，求出的值，再求出对应的值，即可确定交点坐标； （3）根据题意得， ，将代入得，，因式分解将不等式整理得，再根据的正负性，改变不等号的方向，即可求解的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解： 层次1： 联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 取，，代入得， 因式分解得， 解得：，， ∴，， ∴交点坐标为：，； 层次2： 联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 因式分解得， 解得：，， ∴，， ∴交点坐标为：，． （3）解：由得，， 整理得， 将代入得，， ∴， 因式分解得， ①    当时，不等式变为，解得； ②    当时，不等式变为，解得或． 变式2-3 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2) ①解：线段的中点落在直线上．理由： 点，点， ∴，， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点． ∴中点为． ∴线段的中点落在直线上． ②； (3)或． 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围； （3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得过点， ∴． （2）解：若，则． ①略 ②， 当时，， ∴． ∴的范围是． （3）解：， ∴当时，， 利用图象法可得，当时，或． 题型3、函数自定义问题 典例3 （25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或 (3)当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了新定义，二次函数的其他应用，二次函数的图象性质，公式法进行解方程．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解“关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即当时，把代入，得，再解出或（舍去）；当时，把代入，得，或，即可作答． （3）理解题意，再进行分类讨论，当时，分析函数的图象性质，得有最大值为，最小值为；当时，则分析函数，则的最大值为，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵的函数称为二次函数的“关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式； （2）解：依题意，这个二次函数的“关联函数”的表达式：， 当时，把代入，得， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， ∴， ∴， 解得或； 综上：当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或； （3）解：∵二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式， ∵， 当时，则， ∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 在时，函数有最小值，且为， 在时，则， 在时，则， 综上：当时，则有最大值为，最小值为； 当时，则， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，函数有最大值，且为， 当时，则， 综上：当时，则的最大值为，最小值为； 综上：当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 题型模版 1.特征：定义新的函数关系或运算规则，常与二次函数复合或递推． 2.方法：按定义逐步计算或建立新函数解析式；利用二次函数性质（开口、顶点、单调性）分析最值或范围． 变式3-1 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）． （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为． 【分析】（1）根据定义，只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可； （2）在解析式y=mx2+4mx-12m中，令y=0解方程即可求出M，N的横坐标，由此可写出M,N两点的坐标； （3）先根据“月牙线”的定义，设出抛物线C1的一般式，将A点代入即可求得抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示P点坐标，根据S△PAM=S△PMO+S△PAO-S△AOM即可表示△PAM的面积.可根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时P点坐标. 【详解】（1）如图1， 抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”（此题答案不唯一）； （2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中， 当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0， ∵m≠0， ∴x2+4x﹣12＝0， 解得，x1＝﹣6，x2＝2， ∵点M在点N的左边， ∴M（﹣6，0），N（2，0）； （3）存在，理由如下： 如图2，连接AM，PO，PM，PA， ∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同， ∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0）， ∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3）， ∴﹣12n＝﹣3， ∴n＝， ∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3， ∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3）， ∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM ＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3 ＝﹣t2﹣t， ＝﹣（t+3）2+， ∵﹣＜0，﹣6＜t＜0， ∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形问题，二次函数图象及性质，二次函数与坐标轴的交点.（1）中理解“月牙线”的定义是解题关键；（2）二次函数，当时，得到一元二次方程. 一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标；（3）能利用割补法表示△PAM的面积是解题关键. 变式3-2 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． (1)求函数的对折函数； (2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 【答案】(1)； (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数图象的翻折变换、函数与x轴的交点问题，熟练掌握函数图象的翻折规律及分类讨论思想是解题的关键． （1）先求原函数与轴的交点，确定翻折后的顶点坐标，进而得到翻折后的函数表达式，从而写出对折函数． （2）分两种情况（和），将点代入对折函数的对应表达式求解． （3）分析原函数与轴的交点，结合翻折后的图象，分类讨论的取值范围，使对折函数与轴有两个不同交点． 【详解】（1）解：∵函数， ∴顶点为， ∴函数沿直线翻折后，顶点坐标变为， ∴翻折后的函数表达式为． ∴对折函数为； （2）解：当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴或（舍去，因）． 当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴（舍去，因）或． 综上，或． （3）解：令， 解得或． ∴原函数与轴交点为、． 如图，由图可得 当时，对折函数与轴有个交点； 当时，有个交点； 当时，对折函数与轴有2个交点； 当时，有个交点； 当时，无交点； ∴当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，的取值范围是． 变式3-3 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）把代入求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与只有一个交点可得，进而求解即可． （3）先证明一次函数过，计算当时，，当一次函数的图象过时，可求得：，可得一次函数为：，结合当时，满足条件；从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得： ， 二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）解：∵抛物线为定点抛物线， ∴， 整理得：， ∴抛物线为， ∵抛物线为与直线只有一个公共点， ∴方程有两个相等实根， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：； （3）解：∵定点抛物线过， 当时，， ∴一次函数过， 如图， 当时，， 当一次函数的图象过时， ∴， 解得：， ∴一次函数为：， ∴当时，即时，满足条件； 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键． 题型4、自定义区域问题 典例4 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． (1)求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； (3)若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)顶点的坐标为； (2)①；②，，，，， (3)的取值范围为或． 【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标； （2）将点代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当、1、2时，在“U区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论； （3）分及两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴抛物线的表达式o ②对于：， 令得，， 解得，， ∴点，点． 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； （3）解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 当时，如图1所示， 此时有，解得； 当时，如图2所示， 此时有，解得； 综上，如果“U区域”内仅有4个整点时，则的取值范围为或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“U区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组． 题型模版 1.特征：定义由抛物线、直线等围成的特殊区域，判断点或图形是否位于区域内． 2.方法：画出草图，把区域边界转化为函数不等式；通过解不等式或求交点确定范围，注意边界取舍． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【答案】(1) 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； （3）解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 变式4-2 （2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：，， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 变式4-3 已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，且与轴的另一个交点为点．    (1)点的坐标为______； (2)若，求抛物线的解析式和顶点坐标； (3)①点的坐标为______； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．若抛物线在“区域”内有个整点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②或 【分析】（1）根据直线与轴，轴的交点，可求出点的坐标； （2）根据抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （3）①设,根据抛物线的对称轴，对称轴与点的距离，抛物线与坐标系的交点的计算方法即可求解；②分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点， ∴令，则；令，则， ∴， 故答案为：． （2）解：抛物线经过点，且与轴的另一个交点为点， ∴，即， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为． （3）解：①抛物线与轴的另一个交点为点， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线与轴的另一个交点为，设点, ∴，解得，，即，把点代入抛物线， ∴，解得，， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， ∴抛物线与轴的另一个交点为点的坐标为， 故答案为：； ②的取值范围为或，理由如下， ∵抛物线恒过， ∴， ∴，顶点坐标为，与轴的交点坐标为， 当时，如图所示，      ∴，解得； 当时，如图所示，      ∴，解得， 综上所示，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法求求函数解析式，二次函数图像的性质是解题的关键． 题型5、图形的自定义问题 典例5 如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做这个三角形的“智汇中线”． (1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“”） ①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”． ②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线． (2)如图1，中，，，，求证：是“智汇三角形”． (3)如图2，点，在抛物线上，且轴，若是“智汇三角形”，求的“智汇中线”的长． 【答案】(1)①×；②√ (2)证明见解析 (3)2或 【分析】（1）根据“智汇三角形”的定义判断即可； （2）由勾股定理得，，作边上的中线，可得，利用勾股定理得，即可得出结论； （3）作的中线，过点作轴于，过点作于，设点，，根据“智汇三角形”的定义分类讨论即可． 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线是斜边的一半， 斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， ，， 等腰直角三角形直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， 等腰直角三角形一定不是“智汇三角形”． 故答案为：； ②直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 斜边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， 较短直角边上的中线大于较长直角边， 较短直角边上的中线大于较短直角边， 较短直角边上的中线不是这个三角形的“智汇中线”， “智汇中线”一定是较长直角边上的中线， 故答案为：； （2）解：中，，，， ，， 如图，作的中线， ， ， ， 是“智汇三角形”； （3）解：如图，作的中线，过点作轴于，过点作于， 设点，， ，在抛物线上，且轴， 为等腰三角形， ①若边上的中线时，即， 解得：，（舍去）， “智汇中线”； ②若边上的中线时， 点，， ，， ， ， ， 解得：（0舍去）， ， ∴“智汇中线”， 综上，“智汇中线”的长为2或． 题型模版 1.特征：定义某种特殊图形，在二次函数背景下构造或判断该图形． 2.方法：理解图形的定义条件，转化为边、角、对角线等几何关系；用坐标法列方程并结合二次函数求解． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F(点E在点F的左侧)，点P在直线上，当点P满足时，我们称点P是该二次函数图象的生长点． (1)二次函数的图象如图所示． ①当时，请说明该函数图象是否有生长点． ②已知是该函数图象的生长点，则n的取值范围是________． (2)已知二次函数（h为常数），若是该函数图象的生长点，求h的值． 【答案】(1)①有，理由见解析；② (2)或6 【分析】本题考查一元二次函数的图象性质： （1）①令，求出x，从而求出E、F的坐标，根据的长度即可进行判断；②根据分析，要存在生长点，则，据此求解即可； （2）根据分析，要存在生长点，则，据此求出h的范围，然后分P在线段上、在E的左侧、在F的右侧三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，； ∴当时，该函数图象有生长点； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图象交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）解：由，得， 则，，， ∴，， 要使二次函数存在生长点，则，则， ∴． ①当在线段上时， ， ，解得，符合题意； ②当在点E的左侧时， ，解得，符合题意； ③当在点F的右侧时， ， ∴，不符合题意； 综上，或6． 变式5-2 平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 变式5-3 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”． 如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形． （1）直接写出下列3个小题的答案． ①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为　 ． ②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为　 ． ③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有　 个． （2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形． ①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标． ②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值． 【答案】（1）①45°、15°、75°；②1或；③7； （2）①点P′（，），此时，P（P′）Q取得最小值；②当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值，最小值为4． 【分析】（1）①②分底边上的高等于底边的一半、腰上的高等于腰长的一半两种情况分别求解即可；③如图3，这样的格点N共有7个； （2）①如图4，当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解；②当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值，即可求解． 【详解】（1）①当底边上的高等于底边的一半时， 如下图△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD＝BC， 则AD＝CD，则∠B＝∠C＝45°； 当腰上的高等于腰长的一半时， 同理底角为75°或15°， 故：答案为45°、15°、75°； ②当底边上的高等于底边的一半时，如上图，△ABC为等腰直角三角形， 故最小角为45°，最小角的正切值为1； 腰上的高等于腰长的一半时，同理可得：最小角的正切值为， 故答案为1或； ③如图3，这样的格点N共有7个，具体情况见下图，小黑点所示的位置， （2）将抛物线与直线方程联立并解得：x＝﹣1或2， 即：点R、S的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS＝， 则RS边上的高为， 则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图， 过点Q作QH⊥NH交于点H，则HQ＝，则QN＝＝3， 点N（0，2），则点M（5，0），点M于点T重合， 则点Q的直线方程为：y＝x+5， 当该直线在直线RS的下方时，y＝x﹣1， 故点Q所在的直线方程为：y＝x+5或y＝x﹣1； ①如图4，当点P介于点R与点S之间时， 设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为：y＝x+d， 将该方程于抛物线方程联立并整理得：x2﹣x﹣d＝0， △＝1+4d＝0，解得：d＝﹣， 此时，x2﹣x+＝0，解得：x＝， 点P′（，），此时，P（P′）Q取得最小值； ②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时， 如图4，连接PQ，过点Q作QH垂直过点T于x轴平行的直线于点H， 则HQ＝QT， PQ+QT＝PQ+QH， 当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值， 则其最小值为yT﹣yR＝5﹣1＝4． 【点睛】本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类阅读型题目，通常按题设顺序逐次求解． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故选：D． 22．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，，由得，则有；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可知，，得，在选项的取值范围中，所以可能是直角三角形． 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ， ，故A选项正确，不符合题意； 设， B选项：则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又， ， 当时，， ，故选项正确，不符合题意； 选项：由得，， 又， ∴，则， ∴， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 选项：若是直角三角形，则有， ， 等号两边同时除以，得， 则有，解得 由选项可知， 在取值范围内， 故存在“边积三角形”是直角三角形的概率不为， 故选项错误，符合题意． 故选：． 23．在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【答案】 【分析】先确定在竖直方向平移后的位置，再根据“临界平移点”的定义和图形确定c的取值范围即可； 先把点H的坐标代入函数解析式，进而确定的平移规律，然后分情况讨论即可． 【详解】解：当时， 向下平移 2 个单位，平移后的位置如图1所示，所以在水平方向上平移时，只有在上才满足有且只有一个公共点， 所以 ，即 ； 当点H在上时， 把代入，得点H的坐标为， 显然，当时， H不存在． 所以时，在竖直方向上只能向上平移，在水平方向上可能向左或向右平移． ①时，向右上方平移，易知当点B落在上时（如图2），点H为“临界平移点”． 设直线的解析式为，把，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 由平移可知点的坐标为，代入解析式得 ，解得（不合题意，舍去）； ②时，向左上方平移，此时存在两种可能性：一种是先从上方离开，当点恰好落到上时（如图3），点H为“临界平移点”；另一种是先从左侧离开，当点恰好落到上时（如图4），点H为“临界平移点”； 当点恰好落到上时，满足，解得（不合题意，舍去），． 当点恰好落到上时，满足，则，显然点不在线段上，此时已经从上方离开了，故不合题意，舍去． 综上可知c的值为为或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的平移规律、一次函数、二次函数、一元二次方程的解法．能准确理解新定义，熟练运用数形结合和分类讨论思想分析问题是解决问题的关键． 24．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 25．（25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质，关键是根据中点公式求出相关函数的顶点坐标，进而求出相关函数． （1）①直接根据相关函数的定义求解即可； ②根据二次函数的性质可知顶点坐标为，由相关函数的定义可知新函数的顶点为，可得新函数的表达式为：，最后将点A的坐标代入解析式求得a的值即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答； （3）求出相关函数分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得； （2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即； （3）的顶点为：， 设相关函数顶点为：， 由中点公式得：， 解得：， 则相关函数顶点为：， 则相关函数的表达式为：； 可知开口向上，对称轴为直线， 如图： ①当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ③当且即时， 函数在顶点处取得最小值，即， ， ， 解得：（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 26．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 【答案】(1) 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； （3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 27．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点． (1)如图1，若，为第四象限抛物线上一点． ①若交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标； ②如图2，若，试求点的坐标． (2)如图3，设抛物线的顶点为： ①求抛物线的顶点的坐标（用含的代数式表示）； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界）．如果“区域”中仅有4个整数点且时，直接写出的取值范围．（整数点就是横纵坐标均为整数的点）． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①设面积为S，当时，，可得，设，求得直线解析式为，要求，可得直线的解析式为，联立，解得，根据，得,得当时，S有最大值，即得；②过点P作轴于点F，设交y轴于点E，得，根据，得，得，得,，设,求得直线解析式为，联立，解得，得，得，解得，即得； （2）①利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，即可得出顶点的坐标；②抛物线与y轴的交点坐标为．当时，根据顶点坐标，依照题意画出图形，结合图形，得出关于a的不等式组，解得． 【详解】（1）解：①设面积为S， ∵， ∴当时，， 令，则， 解得， 令，则， ∴， 设，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 联立， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值， ∴， ∴； ②过点P作轴于点F，设交y轴于点E， 则，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或 (舍去), ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴顶点M的坐标为； ②当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，如图所示， ∵“区域”中仅有4个整数点， ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数与三角形面积综合，等腰三角形判定和性质，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与方程组，二次函数与不等式组的关系，是解题的关键． 28．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 【答案】（1）；（2）坐标为或；（3）①，②或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，新概念，理解新概念，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）根据“升幂函数”的含义即可求解； （2）设，根据条件得到关于t的方程，解方程即可； （3）①由题意得的“升幂函数”，根据点，点所在直线与轴平行得m、n的关系式，即可求解； ②由且，可确定的范围，确定与x轴的右边交点为，由题意可求得t的范围；当时也满足条件． 【详解】解：（1）由题意得，； 故答案为：； （2），设， 轴， 当时，， 即或， 解得， 点坐标为或． （3）①， ， 即； 点，点所在直线与轴平行， ， 解得； ②， ， ， ， ， ，对称轴为直线， ∴抛物线过原点，抛物线与x轴的另一个交点为， 当，即时，点和点都在轴的下方， ， ， 当时，则点都在轴的上方，， 或． 29．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数． (1)写出的“关联”二次函数的表达式：___________． (2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数的图像有且只有两个交点，求的值； (3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点是的图像与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）根据“关联”二次函数的定义即可求解； （）由“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像都关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点，可得的图像与的图像只有一个交点，即得关于的方程有两个相等的实数根，据此解答即可求解； （）根据“关联”二次函数的对称性求得点坐标，再分和 本题考查了二次函数的几何应用，二次函数与一元二次方程，直角三角形的定义及性质等，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，的“关联”二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“关联”二次函数的图像关于原点成中心对称， ∵正比例函数的图像也关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点， ∴的图象与的图像只有一个交点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 方程整理得，， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解：∵二次函数与互为“关联”二次函数， ∴二次函数与的图像关于原点成中心对称， ∵分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点， ∴点，点为的中点， 设则， 当时，， ∴点， ∵是的图像与轴正半轴的交点， ∴若为直角三角形，则或， 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 30．（25-26九年级上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． (1)①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； (2)若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． (3)将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①，②，． (2)且 (3)或． 【分析】（1）①根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；②根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． 【详解】（1）解：①如图， ∴线段罩域的一个特征点． ②如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． （2）解：设点为的罩域特征点．依题意得：， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． （3）解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 31．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，；②存在，或或或 【分析】（1）利用抛物线的与y轴交于点，它的顶点为点，求出直线解析式即可； （2）首先得出点A的坐标为以及点C的坐标为，进而求出，得出顶点B的坐标求出解析式即可； （3）①由已知可得A坐标为，C点坐标为，以即点B点的坐标为，利用勾股定理求出；②利用①中B点坐标，以及的长度即可得出P点的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点，它的顶点为点， 抛物线的与轴交于点，它的顶点为点， 设所求直线解析式为， ， 解得：， 所求直线解析式为； （2）解：如图，作于点，由题意得四边形是平行四边形，点的坐标为， 点的坐标为， 可得：， 平行四边形的面积为， 即， ， ，即顶点在轴的右侧，且在直线上， 顶点的坐标为， 又抛物线经过点， ， ； （3）解：如图，作轴于点 由已知可得坐标为，点坐标为， 顶点在直线上， ，即点点的坐标为， 在矩形中，． ， ， ， ； 存在． 点坐标为，即， ， ， 当， ， 点的坐标为； 如图，当时， 过点作，于点， 点坐标为， 点坐标为， ，，设， ， ， ， 解得：， ， 此时点坐标为：； 同理可以为或， 故点坐标为：或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质，一次函数的性质、二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 32．已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长； ②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______； （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值． 【答案】（1）①；②相等；（2）；（3），． 【分析】（1）①过点作轴于，由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数得出的值，然后得出的值；②因为抛物线与的形状相同，所以抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； （2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点的坐标，得出的值；根据最大值得出，根据抛物线的完美三角形的斜边长为得出点的坐标，然后代入抛物线求出和的值． （3）根据的最大值为－1，得到化简得，抛物线的“完美三角形”斜边长为，所以抛物线的“完美三角形”斜边长为，得出点坐标，代入可得关系式，即可求出、的值． 【详解】（1）①过点作轴于， ∵△AMB为等腰直角三角形， ∴∠ABM=45°， ∵AB∥x轴， ∴∠BMN=∠ABM=45°， ∴∠MBN=90°-45°=45°， ∴∠BMN=∠MBN， ∴MN=BN， 设点坐标为，代入抛物线，得， ∴，（舍去）， ∴MN=BN=1， ∴ ∴ 在Rt△AMB中， ∴抛物线的“完美三角形的斜边 ②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同， ∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； 故答案为：相等． （2）∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为4， ∴点坐标为或，∴． （3）∵的最大值为－1， ∴， ∴， ∵抛物线的“完美三角形”斜边长为， 抛物线的“完美三角形”斜边长为， ∴点坐标为， ∴代入抛物线，得， ∵n＞0 ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 33．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，－5）． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点． ①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）； ②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①理由见解析，；②存在，直线DF的解析式为或或 【分析】（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积=EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；②将直线DF解析式设为，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分别求出MN、MP、NP长，分类讨论解出m即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，－5）， 把点A（－1，0），B（5，0），C（0，－5）代入抛物线得： ， 解得：， 所以抛物线解析式为； （2）①如图：过抛物线上P点作直线EG的平行线， △PEG的面积=EG×点P到直线EG的距离， 当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小， 由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短， 这样的P点只有一个， “核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化； EF＝1，DE＝2k， ， 设过点P与直线EG平行的直线解析式为， 联立和得：， 过P点的直线与抛物线只有一个交点， ，可得， ， 解得：， ②当k＝1时，， 设直线DF的解析式为， 联立与得：， 解得：，， DF所在直线与抛物线交于点M和N， ，即， M在N的右侧， ，， ， ， ， 当时，， 解得或者， 所以直线DF的解析式为或者； 当时，， 解得或者， 所以直线DF的解析式为或者； 当时，， 此情况无解； 综上所述：直线DF的解析式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式求法以及二次函数与三角形面积，直角三角形综合．解本题的关键是掌握待定系数法求解析式，将三角形面积最值转换为平行线间距离问题，利用只有一个交点求点坐标，分类讨论直角三角形．此题计算量比较大，所以计算时一定要细心． 34．【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 【答案】(1) (2)线段的中点M一定落在直线上，理由如下： ∵点在抛物线上， ∴， 同理（1）可得，抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点， ∵点M是中点， ∴点的坐标为，即， ∴线段的中点一定落在直线上． (3) 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解； （3）结合（2）可得，令，则，根据二次函数的性质得到，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线是平衡抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：由（2）得，，， ∴， ， 令，则， 则的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值； ∵，且， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， 即． 35．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）2024甲辰龙年年初，“龙”的英文翻译引发关注，“龙不再翻译为而是”冲上热搜．在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的、友好和善的，人们更是将龙排在十二生肖中的第五位．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫做“点”，如点，等．根据“点”的定义，解答下列问题： (1)判断下列各函数图象上是否存在“点”，若存在，请在相应题目后面的括号中打“√”；若不存在，请在相应题目后面的括号中打“×” ①（   ）；②（   ）；③（   ） (2)二次函数图象如图所示，请判断该图象上的“点”个数，并求出相应的“点”坐标； (3)在（2）的条件下，选取该二次函数图象上两个“点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得的面积为5．若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①√；②√；③× (2)；， (3)存在，或 【分析】（1）由“点”的定义可得，则，然后将代入各函数解析式，分别求解即可； （2）由图象可知，二次函数的图象过点，，，将点，，代入，得，解三元一次方程组即可求出、、的值，进而可得二次函数解析式，由“点”的定义可得，则，然后将代入二次函数解析式，得，解一元二次方程即可得出答案； （3）由（2）可知，该二次函数的图象上有个“点”，其坐标分别为，，不妨设，，设抛物线对称轴交直线于点，可求得抛物线的对称轴为直线，先利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点的坐标，设，则可求出，利用三角形的面积公式可得，即，解方程即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：， ， ①将代入，得： ， 解得：， ， 的图象上存在“点”，其坐标为； ②将代入，得： ， 解得：， ， 的图象上存在“点”，其坐标为； ③将代入，得： ， 整理，得：， ， 无实数解， 的图象上不存在“点”； （2）解：由图象可知，二次函数的图象过点，，， 将点，，代入，得： ， 解得：， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：或， 或， 该二次函数的图象上有个“点”，其坐标分别为，； （3）解：该二次函数图象的对称轴上存在点P，使得的面积为5，理由如下： 由（2）可知，该二次函数的图象上有个“点”，其坐标分别为，，不妨设，， 如图，设抛物线对称轴交直线于点， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在中，令，则， ， 设，则， 的面积为5， ， 即：， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，解三元一次方程组，因式分解法解一元二次方程，的图象与性质，求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，准确理解“点”的定义是解题的关键． 1 / 10 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $