1.5 二次函数的应用 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，以9类典型题型为载体，系统提炼解题步骤与情境化方法，构建“问题情境-模型建立-求解验证”的完整逻辑链，培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|1例+3变式|利润公式建模求最值|从一般步骤到经济情境，强化数据意识| |拱门/拱桥/隧道问题|各1例+3变式|坐标系建立与解析式求解|几何直观与空间观念的实际应用| |投球/喷水/跳跃问题|各1例+3变式|运动轨迹抛物线建模|用数学眼光观察物理现象，发展推理能力| |实物/情境问题|各1例+3变式|实际场景抽象与函数应用|数学语言表达现实世界，提升应用意识|

1.5二次函数的应用（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 2 【题型2 拱门问题】 4 【题型3 投球问题】 6 【题型4 拱桥问题】 9 【题型5 隧道问题】 11 【题型6 喷水问题】 13 【题型7 跳跃问题】 15 【题型8 实物问题】 18 【题型9 情境问题】 21 【随堂练习】................................................................................................................................................................25 知识点 利用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 【题型1 销售问题】 【例1】某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-1】某商店购进一批进价为20元/件的商品，售价为元/件（），每天可售出件，设每天的利润为元． (1)求与之间的函数关系式（化为顶点式）； (2)当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1-2】某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【变式1-3】辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) (1)求出与之间的函数关系式： (2)为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 【题型2 拱门问题】 【例2】某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【变式2-1】如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 【变式2-2】为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离． 【变式2-3】游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中门框高度，门框宽度，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点（拱门顶部最高点），以点为原点，所在直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点，如图2， (1)求抛物线的解析式； (2)如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块，，若，求两个正方形装饰块的间距的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为，求的长． 【题型3 投球问题】 【例3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【变式3-1】2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【变式3-2】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【变式3-3】某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 【题型4 拱桥问题】 【例4】阅读与理解 阅读下列材料，完成后面任务： 汽车能通过隧道吗？如图1，在通过隧道时，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度至少为米，那么怎样确定通过隧道车辆的限制高度（在最边缘能通过的最大高度）？小明所在的数学兴趣小组对此进行了如下研究： 【测量数据】首先测量哪些数据？如何进行测量． 如图2，这是隧道的横截面，已知该隧道内设双行线公路，它是由抛物线和矩形组成的，测得隧道宽米，矩形的边长米，隧道最高处距路面米． 【建立坐标系】老师根据所给的数据，以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【计算限制高度】老师让同学们根据老师所建立的坐标系及所给的数据确定通过隧道车辆的限制高度． 任务： (1)根据老师所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式． (2)若行车道总宽度为7米，请计算可以通过该隧道的车辆的限制高度为多少米？ 【变式4-1】某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）    (1)直接写出c＝　 　； (2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？ (3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由. 【变式4-2】如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【变式4-3】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【题型5 隧道问题】 【例5】某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【变式5-1】乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【变式5-2】三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 【变式5-3】周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【题型6 喷水问题】 【例6】牡丹花主题公园内有一直径为的圆形花坛，它的中心A处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A点水平距离为处达到最高，最高为，水柱落地点为点B，花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)若上有一株牡丹花高，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？ (3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘处时，水柱的喷头A需上升多少米？ 【变式6-1】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【变式6-2】2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【变式6-3】某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【题型7 跳跃问题】 【例7】某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上的点起跳，落在水平地面上的点，以点为原点，所在的直线为轴，过点且与水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人经过障碍物的点，则视为恰好越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面．若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． (1)当时，求机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式． (2)当机器人跳跃一次恰好越过障碍物，求此时的值． (3)当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，，，直接写出的取值范围． 【变式7-1】野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【变式7-2】海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； (2)在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； (3)第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 【变式7-3】交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） (1)求抛物线的函数表达式． (2)同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 【题型8 实物问题】 【例8】学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度h(单位：m) 满足关系式，其中t (单位：)是物体运动的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将一个小球以初速度从地面竖直向上抛． (1)小球从抛出到落回地面需要______ s (2)小球的高度能否达到?若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由； (3)小豫在实验楼连续两次看到这个小球经过观察点，当观察点离小球发射点的竖直高度为4.2m 时，求这两次间隔的时间差． 【变式8-1】某公园修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口为A，喷出水流的轨迹是抛物线．水流落地点距离喷水枪底部的距离为，水流最高点到喷水枪所在的直线的距离到为，到所在直线的距离为．    (1)求喷水口A到地面的距离； (2)在线段上到喷水枪所在直线的距离为处放置一高度为的物体，请判断物体是否会被水流淋到，并说明理由． 【变式8-2】项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图像分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图像中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比___________； 【联系实际】 （2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】 （3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈（从桥头至桥尾的桥拱上，皆可悬挂），如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． 【变式8-3】首钢滑雪大跳台是北京冬奥会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台比赛场地，其结构如图所示．已知起跳点距离地面高度为18米，且起跳点的斜坡恰好能保证运动员初始速度与水平方向夹角为45°． 小墩同学对运动员在起跳点的初始速度与飞行的最大竖直高度（相对于起跳点的高度）、飞行的最远水平距离的关系非常感兴趣．通过翻阅资料，得知：在忽略空气阻力且只考虑重力的情况下，若物体以一定初速度（米/秒）斜向射出去，该物体的运动轨迹是抛物线．特别地，若抛出方向与水平方向夹角为45°时，物体所能达到的竖直飞行最大高度（米）与初速度的平方成正比，具体关系为，而运动轨迹与抛物线形状相同．假设在一次训练中，运动员飞行的最大竖直高度为5米．请你根据上述信息思考： (1)该运动员在起跳点的初速度为___________米/秒；（保留根号） (2)如图所示，以水平方向为x轴，起跳点所在竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系xOy，请你直接写出该运动员的运动轨迹解析式； (3)在（2）的条件下，若着陆坡所在线段解析式为．通过计算，请你说明该运动员飞行的最远水平距离能否超过24米？ 【题型9 情境问题】 【例9】如图①，篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分．将此情景抽象为平面图形，建立如图②所示的平面直角坐标系，点在该抛物线上．若线段与轴平行，点与篮球框的边缘点所在直线垂直轴于点，运动员身高，当球运动到最高处时，离该运动员站立点的水平距离为． (1)求图中抛物线的顶点坐标及函数表达式； (2)若线段，，求的长； (3)如图③，在（）的条件下，有一个横截面为矩形的盒子，长，高（不考虑盒子的宽度，将篮球看成一个点），若篮球可落入盒子内（不考虑篮球碰到盒子的端点），直接写出盒子的边到点的水平距离的取值范围． 【变式9-1】综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 【变式 9-2】综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 【变式9-3】学科实践 问题情景：2024年12月4日，中国春节申遗成功，进一步提升了中华文化的国际地位．“放烟花”作为春节的一项习俗，象征着辞旧迎新，庆贺新年的到来． 驱动任务：烟花升空燃烧后形成五彩缤纷的图案．某数学研习小组对某款烟花燃放时的相关问题展开研究． 研究步骤：一枚高的烟花，垂直放置在地面上，烟花升空燃放到燃烧物下落过程可以近似看作若干条抛物线．如图，抛物线、抛物线是两条燃烧物落地点距离烟花底部最远的两条抛物线． 烟花燃烧时，抛物线最高点距离地面，点与烟花的水平距离为． 问题解决：请根据以上研究步骤，完成下列任务． (1)以水平地面所在直线为轴，以烟花所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式； (2)求烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离； (3)为了安全考虑，工作人员设置了一圈警戒线标识，要求观赏者距离燃烧物落地点至少，计算至少需要多长的警戒线．（不考虑接口处所需警戒线，结果精确到） 随堂检测c 1．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 4．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 5．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 6．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 7．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 8．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 9．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，销售单价不低于进价，市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元/盒）之间满足函数关系． (1)直接写出该超市日销售利润（元）与销售单价（元/盒）之间的函数关系式； (2)超市决定每销售一盒糖果就捐赠元给“爱心助学”机构．主管部门要求该种糖果的销售单价不超过26元/盒，当时，超市仍希望日销售利润随销售单价的增大而增大，求的取值范围． 10．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5二次函数的应用（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 2 【题型2 拱门问题】 5 【题型3 投球问题】 11 【题型4 拱桥问题】 16 【题型5 隧道问题】 22 【题型6 喷水问题】 26 【题型7 跳跃问题】 31 【题型8 实物问题】 37 【题型9 情境问题】 42 【随堂练习】................................................................................................................................................................50 知识点 利用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 【题型1 销售问题】 【例1】某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 【变式1-1】某商店购进一批进价为20元/件的商品，售价为元/件（），每天可售出件，设每天的利润为元． (1)求与之间的函数关系式（化为顶点式）； (2)当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当售价定为60元时，每天利润最大，最大利润1600元 【分析】（1）由利润（售价进价）销售量可列函数关系式； （2）利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解： ；        （2）解：由（1）得， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，         最大利润（元），         答：当售价定为60元时，每天利润最大，最大利润1600元． 【变式1-2】某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该枇杷的日销售量y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元 【分析】（1）将点与点代入函数解析式求解即可； （2）先表示出日销售利润与售价x之间的函数关系式，再由二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， ∵点与点在函数图象上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：设该枇杷的售价为a元/千克时，日销售利润为w元， 根据题意得， ∵，函数图象开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1800元， 答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1800元． 【变式1-3】辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) (1)求出与之间的函数关系式： (2)为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设总利润为元，根据题意列出列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入， 得 解得 与之间的函数关系式为≤80)； （2）设总利润为元， ， 整理，得， ∵，， 当时，取得最大值，最大值为， 当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元． 【题型2 拱门问题】 【例2】某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)可以安全通过拱门，理由见解析 (3)每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门 【分析】（1）求出点，，利用待定系数法求出函数解析式，进一步即可求出答案； （2）求出当的自变量的值，进行解答和比较即可； （3）求出每两人的间距d的范围即可求出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 由题意得米， ∴米，， ∵米， ∴． 将点，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式是．   当时，． 答：拱门最高点距地面的高度为米． （2）可以安全通过拱门． 理由如下：由题意得，当时，， 解得，． ∵（米），（米）， ， ∴可以安全通过拱门． （3）解：由题意得（米）， ∴每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门． 【变式2-1】如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)该拱门的高度为，跨度为， (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由表格得当时，，当时，，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解； （2）先把代入中，求出h的值，则可求出，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当，， ∴该拱门的高度为， ∵， ∴跨度为； 设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：把代入中得，解得或（舍去）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）根据的横坐标即可求出纵坐标的表达式，再由题意,列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：设的横坐标为，则纵坐标， 为矩形， , ， ， ，（舍）， ， ， ． 【变式2-3】游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中门框高度，门框宽度，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点（拱门顶部最高点），以点为原点，所在直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点，如图2， (1)求抛物线的解析式； (2)如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块，，若，求两个正方形装饰块的间距的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出、、点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，则，得方程，即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线的解析式为，利用光线与抛物线只有一个交点，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长，进而可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，垂直平分， ∴， ，，，， 设抛物线表达式为， 将、、三点坐标代入表达式，得，解得． 抛物线表达式为； （2）解：设，则， ， 解得（负值舍去）， ； （3）解：设最右侧光线与抛物线的交点为，如图4，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， 整理得， 与抛物线有且只有一个交点， ， 解得， 直线的解析式为， 令，得, 解得， ． ． 【题型3 投球问题】 【例3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 【变式3-1】2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 【变式3-2】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查了待定系数法进行求解二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出顶点坐标为．设抛物线为，然后把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，结合球门高为米，则算出当时，，即可作答． 【详解】（1）解：小明从球门正前方8米的处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米， 则， 顶点坐标为． 可设抛物线为， ∵小明从球门正前方8米的处射门， ∴抛物线过， ． ． ． （2）解：由（1）得， 由题意，当时，， 球不能射进球门． 【变式3-3】某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可； （2）设垫高后的抛物线解析式为，分别把和把代入式子，进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵米， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设垫高后的抛物线为， ∵在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱， ∴把代入，可得 解得， 把代入，可得， 解得， ∴， 【题型4 拱桥问题】 【例4】阅读与理解 阅读下列材料，完成后面任务： 汽车能通过隧道吗？如图1，在通过隧道时，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度至少为米，那么怎样确定通过隧道车辆的限制高度（在最边缘能通过的最大高度）？小明所在的数学兴趣小组对此进行了如下研究： 【测量数据】首先测量哪些数据？如何进行测量． 如图2，这是隧道的横截面，已知该隧道内设双行线公路，它是由抛物线和矩形组成的，测得隧道宽米，矩形的边长米，隧道最高处距路面米． 【建立坐标系】老师根据所给的数据，以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【计算限制高度】老师让同学们根据老师所建立的坐标系及所给的数据确定通过隧道车辆的限制高度． 任务： (1)根据老师所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式． (2)若行车道总宽度为7米，请计算可以通过该隧道的车辆的限制高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)该隧道通过车辆的限制高度为米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题及二次函数的性质，采用数形结合法是解题的关键． （1）结合图象设出函数表达式，再用待定系数法求解即可． （2）由图可知，当时，求得函数值，再结合题意进行计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，由题图可知点， 将点代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ， ． 答：该隧道通过车辆的限制高度为米． 【变式4-1】某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）    (1)直接写出c＝　 　； (2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？ (3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由. 【答案】(1)5； (2)10米； (3)能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解； （2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得； （3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点C（0，5） ∴c＝5， 故答案为：5． （2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5， 解得：x1＝5，x2＝﹣5， 故AB＝2×5＝10米． （3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4， 故能安全通过． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、解一元二次方程、二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，能结合图形与实际列式求解． 【变式4-2】如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，把解析式设为顶点式，根据利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意得到点A到对称轴的距离，即可得到点A的横坐标，再求出点A的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为． （2）解：点，在同一高度， 点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为． 【变式4-3】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【答案】(1) (2)3米 (3)8米 【分析】（1）以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把原点的坐标代入可得a的值； （2）易得点B处的横坐标，代入抛物线解析式，求得对应的抛物线上的点的纵坐标，设限高为h米，减去限高h，根据空隙不少于0.5米列出不等式即可求得隧道的限高； （3）取，求得对应的x的值，相减即为两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． 【题型5 隧道问题】 【例5】某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】(1) (2)这辆货运汽车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， （2）解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． （3）解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 【变式5-1】乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 【变式5-2】三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，得， 解得，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度， ∴ 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为， （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴． 即此时大孔的水面宽度的值为． 【变式5-3】周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【答案】(1) (2)米或米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将代入解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得，， 当时，（米）， 当时，（米）， ∴吊床上该处离右边树的距离为米或米． 【题型6 喷水问题】 【例6】牡丹花主题公园内有一直径为的圆形花坛，它的中心A处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A点水平距离为处达到最高，最高为，水柱落地点为点B，花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)若上有一株牡丹花高，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？ (3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘处时，水柱的喷头A需上升多少米？ 【答案】(1) (2)长在与点A的距离大于且小于的范围内才不会被水柱直接喷射到 (3)米 【分析】（1）根据题意可以确定抛物线的顶点坐标，然后利用顶点坐标式即可求解； （2）首先确定牡丹花不会被水柱直接喷射时，所生长范围内水柱距地面的高度需满足什么条件，然后利用抛物线的表达式求解即可； （3）首先根据调整后水柱的落地距离确定落地点B的坐标，然后求出调整后抛物线的表达式，继而求解． 【详解】（1）解：由题意得，此抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 把代入抛物线的表达式，得 ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：∵牡丹花高， ∴要保证不会被水柱直接喷射，应长在水柱距地面的高度大于的范围内． 把代入，得 ， 解得或． ∴牡丹花长在与点A的距离大于且小于的范围内才不会被水柱直接喷射到； （3）解：设调整后抛物线的表达式为， 根据题意，把水柱落地点调整到花坛内距花坛边缘处，此时, ∴点B的坐标为． 把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为， 把代入，得 ，即， ∴，水柱的喷头A需上升米． 【变式6-1】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 【变式6-2】2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 【变式6-3】某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【题型7 跳跃问题】 【例7】某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上的点起跳，落在水平地面上的点，以点为原点，所在的直线为轴，过点且与水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人经过障碍物的点，则视为恰好越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面．若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． (1)当时，求机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式． (2)当机器人跳跃一次恰好越过障碍物，求此时的值． (3)当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知，机器人运动路线的最高点为，设出函数表达式的顶点式，再将点代入函数表达式求解即可． （2）先表示出机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式，再将，代入求解即可． （3）将点，的坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵从点处起跳，且， 将点代入可得，，解得， ∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为． （2）解：机器人从点处起跳， 此时机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为， ∵机器人跳跃一次恰好越过障碍物， 此时，代入表达式，解得． （3）解：由（2）可知，机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为， 且机器人跳跃一次恰好越过障碍物，需满足， 由题意可知，，， 当机器人落在E点时，将代入可得，， 解得， 当机器人落在F点时，将代入可得，， 解得， 综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平面上的区域内（不含点）时，的取值范围为． 【变式7-1】野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)； (2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）代入计算出函数值，比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知，当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【变式7-2】海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； (2)在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； (3)第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质可得函数的顶点坐标为，再将代入即可解答； （2）根据题意得到竖直高度，再代入函数解析式即可求得水平高度； （3）将分别代入两个函数解析式即可求得，，即可解答． 【详解】（1）解：根据表中数据可得函数的顶点坐标为，则可得， 把代入函数解析式可得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 把代入可得， 故答案为：；； （2）解：由题意，把代入函数解析式可得， ， 解得， 所以呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米或米， 故答案为：或； （3）解：把代入， 可得， 解得， ， 把代入， 可得， 解得， ， ， 故答案为：． 【变式7-3】交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） (1)求抛物线的函数表达式． (2)同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 【答案】(1) (2)在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃 【分析】（1）根据题意得出，最低点即顶点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出点F的纵坐标为，得出，确定，然后利用无理数估算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，的最低点C接触地面时距离x轴为． ∴，最低点即顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点A代入得：， 解得：， ∴ （2）如图所示： 设上有轴，轴，且， ∴点F和点的纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵每两人之间的空隙也至少为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃． 【题型8 实物问题】 【例8】学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度h(单位：m) 满足关系式，其中t (单位：)是物体运动的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将一个小球以初速度从地面竖直向上抛． (1)小球从抛出到落回地面需要______ s (2)小球的高度能否达到?若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由； (3)小豫在实验楼连续两次看到这个小球经过观察点，当观察点离小球发射点的竖直高度为4.2m 时，求这两次间隔的时间差． 【答案】(1)2 (2)小球的高度不能达到 ，理由见解析 (3)这两次间隔的时间差为 【分析】（1）把代入所给关系式求出二次函数解析式，再把代入解析式求t的值即可得到答案； （2）将二次函数解析式写成顶点式，求出最大值，再与比较即可得出结论； （3）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求． 【详解】（1）解：把代入得， ， 当时，即， 解得，， ， 答：小球从抛出到落回地面需要； （2）解：小球的高度不能达到 ，理由如下： ∵ ∴当时 ，h有最大值5， ∴小球的高度不能达到； （3）解：由题意得：， ∴， 解得：，， ∴， 答：这两次间隔的时间差为． 【变式8-1】某公园修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口为A，喷出水流的轨迹是抛物线．水流落地点距离喷水枪底部的距离为，水流最高点到喷水枪所在的直线的距离到为，到所在直线的距离为．    (1)求喷水口A到地面的距离； (2)在线段上到喷水枪所在直线的距离为处放置一高度为的物体，请判断物体是否会被水流淋到，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会，见解析 【分析】（1）根据题意，得出点C、P的坐标和抛物线的对称轴，再根据待定系数法，求出二次函数解析式，然后求出点A的坐标，即可得出答案； （2）把代入抛物线解析式，得出y的值，然后与物体的高度进行比较判断即可． 【详解】（1）根据题意，可得：点C的坐标为，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴， 当时，， ∴喷水口A到地面的距离； （2）该物体不会被水流淋到，理由如下： 当时，可得：， ∵， ∴该物体不会被水流淋到． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想，正确找出相关点的坐标，并正确求出二次函数解析式． 【变式8-2】项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图像分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图像中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比___________； 【联系实际】 （2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】 （3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈（从桥头至桥尾的桥拱上，皆可悬挂），如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． 【答案】（1） （2） （3），最左侧点 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、用待定系数法求函数解析式、目标矩形与纵横比的概念理解，读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． （1）圆的目标矩形是外接正方形，长和宽都是圆的直径，可得纵横比； （2）到的距离为米，且抛物线关于轴对称，得抛物线顶点，结合纵横比得出，即可得点、点坐标，设抛物线的表达式为，把，代入求解即可得出； （3）由，，横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，由得桥面可挂个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标． 【详解】解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比； 故答案为：； （2）最高点到的距离为米，且抛物线关于轴对称， ∴抛物线顶点， ∵抛物线目标矩形的纵横比为， ∴， ∴， ∵抛物线关于轴对称， ∴，， 设抛物线的表达式为，把，代入得 ， 解得， ∴； （3）如图， 相邻两个救生圈悬挂点的水平距离为，且关于轴对称， ∴， ∴左侧挂个，右侧挂个，中间挂个，共个， ∵最左侧位于拱桥上方处， ∴最左侧一个救生圈悬挂点的坐标． 【变式8-3】首钢滑雪大跳台是北京冬奥会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台比赛场地，其结构如图所示．已知起跳点距离地面高度为18米，且起跳点的斜坡恰好能保证运动员初始速度与水平方向夹角为45°． 小墩同学对运动员在起跳点的初始速度与飞行的最大竖直高度（相对于起跳点的高度）、飞行的最远水平距离的关系非常感兴趣．通过翻阅资料，得知：在忽略空气阻力且只考虑重力的情况下，若物体以一定初速度（米/秒）斜向射出去，该物体的运动轨迹是抛物线．特别地，若抛出方向与水平方向夹角为45°时，物体所能达到的竖直飞行最大高度（米）与初速度的平方成正比，具体关系为，而运动轨迹与抛物线形状相同．假设在一次训练中，运动员飞行的最大竖直高度为5米．请你根据上述信息思考： (1)该运动员在起跳点的初速度为___________米/秒；（保留根号） (2)如图所示，以水平方向为x轴，起跳点所在竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系xOy，请你直接写出该运动员的运动轨迹解析式； (3)在（2）的条件下，若着陆坡所在线段解析式为．通过计算，请你说明该运动员飞行的最远水平距离能否超过24米？ 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】（1）由计算即可； （2）运动轨迹与抛物线形状相同，最高点为23，则设运动轨迹为，且过点，代入即可求得运动员的运动轨迹解析式； （3）运动员着陆时，抛物线与线段相交，此时，据此即可求得运动员着陆时的值，即可判断运动员飞行的最远水平距离能否超过24米． 【详解】（1）解：已知，，即， 解得，或（舍）； （2）解：运动员的运动轨迹与抛物线形状相同，，最高点为23，则设运动轨迹解析式为，由图可得抛物线过点，代入可得，整理得，或（舍）， 答：运动员的运动轨迹解析式为； （3）解：着陆坡所在线段解析式为，若运动员着陆，即，整理得，解得或（舍）， 即， 答：运动员飞行的最远水平距离能超过24米． 【点睛】本题考查二次函数应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 【题型9 情境问题】 【例9】如图①，篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分．将此情景抽象为平面图形，建立如图②所示的平面直角坐标系，点在该抛物线上．若线段与轴平行，点与篮球框的边缘点所在直线垂直轴于点，运动员身高，当球运动到最高处时，离该运动员站立点的水平距离为． (1)求图中抛物线的顶点坐标及函数表达式； (2)若线段，，求的长； (3)如图③，在（）的条件下，有一个横截面为矩形的盒子，长，高（不考虑盒子的宽度，将篮球看成一个点），若篮球可落入盒子内（不考虑篮球碰到盒子的端点），直接写出盒子的边到点的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得点的横坐标为，把代入代入函数解析式求出的长，进而即可求解； （）把代入函数解析式可得，，即得当点在抛物线上时，；当点在抛物线上时,，进而即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ， ∴， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵轴， ∴点的纵坐标相同， ∴点关于对称轴直线对称， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ∴， ， ； （3）解：把代入，得， 解得，， ∴当点在抛物线上时，；当点在抛物线上时,， ∴要使篮球可落入盒子内，盒子的边到点的水平距离的取值范围是． 【变式9-1】综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 【答案】(1)； (2)； (3)不能；理由如下： ∵， ∴当时，； ∵直径为的圆柱形容器， ∴当时，； ∴明明此次投壶不能投中容器， ∵不改变投掷力度， ∴设新的抛物线的解析式为 ， 当新的抛物线过点时，则， 解得； 当新的抛物线过点时，则， 解得， ； 故出手点的高度应该在. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值，即可得出结果； （3）求出和时的函数值，进行判断，设新的抛物线的解析式为，分别求出抛物线过点和点时的函数值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点， 设抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得或（舍去）， 故箭头的落地点与点之间的距离为； （3）解：略 【变式 9-2】综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）该石头能飞越水鸭；（3） 【分析】本题考查了二次函数图象和性质及应用，抛物线与轴的交点，已知自变量求函数值，待定系数法求二次函数的解析式，通过代入法求解未知参数，比较抛物线上某一点的高度与障碍物的高度，判断能否飞越是解题的关键． （1）根据点在x轴上，将代入求出点坐标，接着把点代入求出即可求解； （2）先求出当时上点的坐标为，通过比较的大小判断石头能否飞起鸭子； （3）将代入得，然后将，代入得，解不等式确定的取值范围． 【详解】解：（1）点在x轴上，且在抛物线的图象上， ∴当时，在抛物线，得， 整理得，， 解得 ，， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）该石头能飞越水鸭，理由如下： 当时，在抛物线中， ， ∴水鸭所在点的坐标为， ∵， ∴该石头能飞越水鸭； （3）将代入得， 整理，得 将代入，得， 把代入上式，得， 由时，得，， ． 【变式9-3】学科实践 问题情景：2024年12月4日，中国春节申遗成功，进一步提升了中华文化的国际地位．“放烟花”作为春节的一项习俗，象征着辞旧迎新，庆贺新年的到来． 驱动任务：烟花升空燃烧后形成五彩缤纷的图案．某数学研习小组对某款烟花燃放时的相关问题展开研究． 研究步骤：一枚高的烟花，垂直放置在地面上，烟花升空燃放到燃烧物下落过程可以近似看作若干条抛物线．如图，抛物线、抛物线是两条燃烧物落地点距离烟花底部最远的两条抛物线． 烟花燃烧时，抛物线最高点距离地面，点与烟花的水平距离为． 问题解决：请根据以上研究步骤，完成下列任务． (1)以水平地面所在直线为轴，以烟花所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式； (2)求烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离； (3)为了安全考虑，工作人员设置了一圈警戒线标识，要求观赏者距离燃烧物落地点至少，计算至少需要多长的警戒线．（不考虑接口处所需警戒线，结果精确到） 【答案】(1)坐标系见解析， (2) (3) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意以水平地面所在直线为x轴，以烟花所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，即可求解； （3）根据题意得为了安全考虑，观赏者到烟花底部的距离为，再根据圆周长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的表达式为， 根据题意可得，， 点的坐标为，点的坐标为，，． 抛物线的表达式为． 将点代入中，得， 解得． 抛物线的表达式为． （2）解：当烟花燃尽时，燃烧物落地点的纵坐标为0，即， ． 解得，（不合题意，舍去）． 答：当烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离为． （3）解：为了安全考虑，观赏者到烟花底部的距离为． ． 答：所需警戒线的长度约为． 随堂检测c 1．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），或， 所以行驶需要的时间为． 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 4．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为，根据题意得，抛物线过点，由此可得的值，即可求解． 【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，   ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 根据题意得，抛物线过点． ∴， 解得∶， ∴抛物线的表达式为． 故选∶ B． 5．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 6．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 7．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 【答案】4 【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令时，则， 解得， 则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 8．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 9．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，销售单价不低于进价，市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元/盒）之间满足函数关系． (1)直接写出该超市日销售利润（元）与销售单价（元/盒）之间的函数关系式； (2)超市决定每销售一盒糖果就捐赠元给“爱心助学”机构．主管部门要求该种糖果的销售单价不超过26元/盒，当时，超市仍希望日销售利润随销售单价的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）利用销售利润单件的利润乘以销售量，即可列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意，得：． 销售单价不超过26元/盒， ， ， 二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，日销售利润随销售单价的增大而增大， ， 解得， 的取值范围． 10．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $