25.7 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形在实际测量中的应用，通过空心圆柱形零件内径测量、河宽测量、旗杆高度测量等实际问题导入，引导学生将实际情境抽象为数学问题，构建“实际问题—相似三角形判定—性质应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以真实情境问题驱动教学，通过“问题描述—分析转化—相似判定—比例计算”流程，培养学生数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理相似关系）、数学语言（表达数量关系）。例如测量旗杆高度时，引导学生利用同一时刻物高与影长比例或构造相似三角形推导公式，帮助学生提升应用意识和推理能力，为教师提供情境化教学案例。

课时1 测量距离问题 如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量，若 CD=b，则这个零件的内径为多少，零件的壁厚x又是多少？（用含a，b，m的代数式表示） (1)通过阅读题目，将实际问题可以转化为什么数学问题? 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得. (3)根据三角形相似，能得到和内径AB有关的比例式吗? (2)由已知 能得到两个三角形相似吗？ 在△OAB和△OCD中， CD=b，求AB和x. A B C D O a x (4)根据以上比例式，能否求出内径AB的长？根据图形能否求出壁厚x的值？ 解：∵ ∠COD=∠AOB ， ∴△CDO∽△ABO， ∵ 又∵CD = b，AB = a-2x， ∴AB = mb， 答：这个零件的内径为mb，壁厚为 如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量，若 CD=b，则这个零件的内径为多少，零件的壁厚x又是多少？（用含a，b，m的代数式表示） A B C D O a x 如图，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.如何求古塔和观景台之间的距离呢？ 小明的测量方案和测量数据 从点C(观景台)沿正西方向走到点B，使点B恰好位于点A(古塔)的正南方向上，然后向南走到点E，再从点E向东走到点D，使得D，C，A 三点恰在一条直线上，量得BE=40 m，ED= 100 m，DC=48 m，由此可计算 AC 的长. 1.如图，这是小明设计的测量方案示意图，这个方案可行吗？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果. B E D F 解：过点C 作CF⊥DE于点F. ∵BC∥DE ∠E=90°， B E D F ∴DF==， ∴CF=BE=40， ∴EF=BC=100-8. ∵BC∥DE，∴△ABC∽△AED， ∴AC= . ∴ = ，即 = ， 方案一： 如图，在河南岸取点B，使AB⊥BC，再取点E，使ED⊥BD，BD和AE的交点为C. 2.提出你的设计方案，并与同学交流. B D E 方案二： 在河南岸取点B，D，使AB∥CD，BD与AC相交于点E. B D E 求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.为了测量一条小河的宽度，小明所在小组同学决定选取河对岸岸边某处为A点，在同侧岸边选取B，C，E三点，使B，C，E在同一直线上，且AB与BE垂直．再过点E作DE⊥BE交AC的延长线于点D，并测得BC=15m，CE=3m，DE=5.4m，则河的宽度AB约为（　　） A．21m B．24m C．27m D．8.6m C 2.如图所示，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离:先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是(　　) A.AB=24 m B.MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2 D 3.如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米． 22.5m 4.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°. ∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴. 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴，∴AB＝17，即河宽为17米． 求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 关键是构造相似三角形 课时2 测量高度问题 如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高度呢？ 大刚设计的方案 在阳光下的某一时刻，将一根标杆CD竖立在旗杆的影子上，使标杆的影子BD落在旗杆的影子BO上，且它们影子的顶端重合.这时，量一量CD，BD，BO的长，可得旗杆AO的长为 为了求学校操场上旗杆的高度，大刚设计了如下测量方案. 大刚设计的方案是否可行.如果可行，请说明理由. 由图可知：∠CBD=∠ABO，CD⊥BO，AO⊥BO， ∴△CBD∽△ABO， ∴ 即 可行. 若标杆CD=2 m，标杆的影子长BD=3 m，旗杆的影子长BO=24 m，求旗杆的高. ∵CD=2 m，BD=3 m，BO=24 m， 得AO=16 m，即旗杆的高为16 m. 注意： (1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化．因此，测量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性． (2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光线近似地看成平行光线． (3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 思考：小明的方案对天气有要求，有阳光才能实施，有局限性，你还有其他方案吗？ 方案：让小明站在点B处，在小明和旗杆之间竖立一根长2米的标杆CD，让小明的眼睛E、标杆的顶端C、旗杆的顶端A在同一条直线上，测量BE（小明的眼睛E与地面的距离），BD和BO的长，再利用相似的知识可求出旗杆AO的高. B O A D C E 思考：图中没有三角形，如果想用相似三角形的知识解决问题，我们需要怎么做？ 添加合适的辅助线 F M 如：过点E作EF⊥AO于点F，EF交CD于点M. 或延长AE、OB相交于点N. N 构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度 有的物体的高度，没有办法直接测量，则可利用已有的或构造的相似三角形，根据“相似三角形的对应边成比例”，求出物体的高度. 如图所示，△ABC为一块铁板余料，已知BC=120 cm，高AD=80 cm，要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少厘米? 思考：已知中的正方形给我们提供什么信息？ ①相等的边 ②直角 ③平行 相似 结合图形和已知，你想到解题思路了吗？ 解：设裁出的正方形为EFGH，△ABC的高AD与HG交于点K，则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF，∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角，∴△AHG∽△ABC. ∴ ∵四边形EFGH为正方形，∴AK=AD-HG. ∴ 设HG=x cm，则 解得x=48. 答:这个正方形的边长为48 cm. 相似三角形的对应高的比等于相似比 1. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　） A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m C 2.如图，这是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B 3. 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上． 　　∵　AB⊥l， CD⊥l， 　　∴　AB∥CD， 　　∴　△AEH∽△CEK， 　∴　 = ， 即　== ． 解得EH=8 m． 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C． 有的物体的高度，没有办法直接测量，则可利用已有的或构造的相似三角形，根据“相似三角形的对应边成比例”，求出物体的高度 本节课我们学习了哪些知识？ $