精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ） A. 42 B. 22 C. 20 D. 15 4. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 6. 一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 10. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 13. 已知，则__________. 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 16. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1． （1）若点M是PD的中点，证明：平面； （2）若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值． 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：是等差数列； （2）记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由得，则 ，则，充分性成立； 由，若，，则，得不到，必要性不成立， 故 p是 q的充分不必要条件． 故选：A． 3. 电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ） A. 42 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答. 【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种， 电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种， 由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为. 故选：B 4. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 6. 一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先直接求出，然后利用条件概率公式求出，进而得解. 【详解】，， ． 故选：A. 7. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据液体体积不变列方程求解可得. 【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为， 由题可知，，则， 所以，则梯形的面积为， 所以直棱柱的体积为， 又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得. 故选：D. 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴，求出的长，设圆心为，，根据圆的性质可得，求出进而得到，根据列式，求解即可求出答案. 【详解】因为轴，则点的横坐标为， 代入双曲线方程， 解得点的纵坐标为（由题意舍去），即， 圆的圆心坐标为，半径为，则圆与轴相切， 如图，设圆心为，， 根据圆的性质可得， 在中，， 则， 在中，，所以， 又，则， 等式两边同时除以得，即， 解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 10. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】对A、B：令，则，设， 则，故当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，时，， 且，故，且，故A、B正确； 对C、D：由题意可得，所以， 由于成等差数列，则，故， 则，所以，故成等比数列，故C正确； 则，化简有，则， 解得或， 又，则，故，则， 又，故舍去， 故，又， 所以，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再利用圆的性质求出值. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得， 所以. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出,两边平方即可求解. 【详解】由已知，所以， 即. 故答案为： 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】计算出的表达式，再根据均值公式和错位相减法即可得到，从而得到答案. 【详解】抛掷总次数 ，其中， . 所以 相减得 . 所以，所以正整数的最小值为3． 故答案为：3. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行化简，即可求得； （2）由求，结合余弦定理由求，得出为等腰三角形，设BC边的中点为，结合勾股定理可求AD. 【小问1详解】 由条件及正弦定理有， 又由余弦定理， 所以有，所以. 【小问2详解】 由（1）有，， 由，，得 ，解得（负值舍去）， 所以为等腰三角形，设BC边的中点为，则. 16. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1． （1）若点M是PD的中点，证明：平面； （2）若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接， 由点O为底面正方形的中心，得过点O，且点O为的中点， 由点M是PD的中点，得，又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由四边形是边长为的正方形，得， 由点P在底面上的射影为底面的中心O，得平面， 平面，则，由的面积为1，得，则， 又，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 由，得，则，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线PA与平面所成夹角为，则， 所以直线PA与平面所成夹角的正弦值为. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：是等差数列； （2）记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 【答案】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，即可求证； （2）通过分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出抛物线标准方程，再结合导数的几何意义求出在P点的切线斜率，从而得出切线方程. （2）将直线与抛物线方程联立，由题意因为直线与倾斜角互补，则直线与斜率互为相反数，即，结合韦达定理可求出k的值. （3）先分别表示出线段AB的长度以及顶点P到线段AB的距离，从而得出的面积表达式，再求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. 【小问2详解】 如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 【点睛】思路点睛：本题首先考查了抛物线切线方程的问题，这类题型需要将抛物线方程看作函数，通过函数导数的几何意义对方程求导，得出切线斜率，进而求出切线方程；在第（2）小问中直线PA与PB倾斜角互补的条件正确转化为斜率和为0的条件是解题的关键；第（3）小问中使用了底边和高表示出三角形面积，以及最后求面积最大值使用到了基本不等式，要明确基本不等式等号的成立条件. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【小问1详解】 由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． 【小问2详解】 由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 【小问3详解】 令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $