第一章 勾股定理基础过关自测卷-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 勾股定理基础过关自测卷，60分钟100分，含选择、填空、解答题型，以文化传承与生活应用为情境，适配单元复习，强化基础巩固与实际问题解决，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|直角三角形判定、实际距离计算、赵爽弦图|结合《周髀算经》“捷径”问题（题4）、自动感应水龙头（题3）等生活与文化情境| |填空题|4/12|勾股定理直接应用、方向角、台阶最短路径|激光测距（题12）、蚂蚁爬台阶（题14）体现空间观念| |解答题|7/58|《九章算术》“葭生池中”（题17）、勾股数组规律（题19）、赵爽弦图“双求法”（题21）|分层设计，从基础计算到规律探究，如题21用“双求法”培养推理能力与创新意识|

第一章 勾股定理基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系和勾股定理的逆定理判断，即验证两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项中，不能构成三角形，故该选项不符合题意； B选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项中，，，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 2．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 3．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置．已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在 中利用勾股定理求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，即是直角三角形 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 5．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ∵竹子原高一丈，一丈尺， ∴未折断部分高度为尺，折断部分的长度为尺， ∵抵地处到竹子底部的水平距离为尺，三者构成直角三角形，折断部分为斜边， ∴根据勾股定理可得． 7．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 【答案】A 【分析】观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，则，利用勾股定理求出弦的长度即可． 【详解】解：观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，即， 则， 弦的长度是． 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 10．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 12．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 13．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 【答案】/60度 【分析】由题意得，，根据勾股定理逆定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴ ∴， ∴ ∴， 故公园在医院的北偏东的方向． 14．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，； （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，． 16．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 17．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 18．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1) 解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 19．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 20．如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】(1) 是直角三角形． 理由如下：因为， 所以，所以是直角三角形； (2)方案一所铺设的管道总长较短，理由如下： 因为的， 所以（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： （千米）， 因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)①5；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①直接利用勾股定理求解即可；②根据等面积法求解即可； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②，， ， 解得， 边上的高的长为． （2）解：设，则． 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置．已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（     ） A． B． C． D． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 5．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 12．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 13．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 14．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 16．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 17．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 18．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 19．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 20．如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 21．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $