第五章 分式与分式方程基础过关自测卷-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

**基本信息** 《分式与分式方程基础过关自测卷》适配单元复习，覆盖分式定义、运算、方程及应用，通过真实情境与创新题型，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式定义、有意义条件、约分|基础概念辨析，如分式识别、取值范围| |填空题|4/12|分式值、最简公分母、方程应用|结合实际情境，如行程问题列方程| |解答题|7/58|分式运算、方程求解、实际应用（骑行/机器人/充电桩）、阅读创新（假分式化带分式）|分层设计，综合题融入绿道骑行、智能充电桩等时代素材，阅读题体现创新意识|

第五章 分式与分式方程基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．分式约分的结果为（    ） A．4 B． C． D． 4．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 5．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 6．某农场红心柚质量是白心柚的倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少元．设白心柚价格为元斤，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若将分式中，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 8．若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 10．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．已知，则的值为______． 12．计算：_____． 13．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 14．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1) (2) 16． （8分）解分式方程： (1) ； (2) ． 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 19．（8分）随着技术越来越成熟，工业生产逐步智能化，某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为120万元，购买B型机器人的总费用为90万元．B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择12台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备4台，且购买这12台机器人的总费用不超过126万元，求出所有配备方案． 20．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 21．（10分）为推动绿色循环低碳发展，鼓励低碳出行，甲停车场安装了A类和B类两种智能充电桩，已知两类充电桩的数量相同，每个A类充电柱的功率比每个B类充电桩的功率低15千瓦．若所有充电桩同时工作，A类充电桩的总功率是720千瓦，B类充电桩的总功率是1080千瓦． (1)求A，B两种充电桩每个的功率分别是多少千瓦． (2)若A类充电桩单个造价为4万元，B类充电桩单个造价为6万元，乙停车场计划建造32个充电桩，在总投资不超过150万元的情况下，怎么设置两类充电桩的数量以达到最大充电总功率？并求出最大充电总功率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，，都是单项式，都属于整式，的分母是含字母的整式，所以它是分式． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，求解分母不等于零的不等式即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴， 解得． 3．分式约分的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】找出分子分母的公因式，约去公因式得到最简结果即可． 【详解】解：∵ 分式中，分子和分母的公因式为， ∴ ． 4．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 5．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 6．某农场红心柚质量是白心柚的倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少元．设白心柚价格为元斤，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据“质量=销售收入÷单价”的数量关系，结合“红心柚质量是白心柚质量的2倍”这一条件建立方程． 【详解】解：设白心柚价格为元/斤， ∵白心柚比红心柚价格每斤少3元， ∴红心柚价格为元/斤； 根据“质量=销售收入÷单价”， 可得白心柚的质量为斤，红心柚的质量为斤； 又∵红心柚质量是白心柚质量的2倍， ∴可列方程：； 故选：A． 7．若将分式中，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，将、替换为扩大后的、，代入分式后化简，再与原分式比较． 【详解】解：将、同时扩大为原来的2倍，代入原分式得： ， 化简后的分式与原分式相等，故分式的值不变； 故选：A． 8．若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解． 【详解】解：是分式方程的根， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得． 9．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 10．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，将所求分式变形后，整体代入已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：. 12．计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 13．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 14．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分母不变，分子相减即可； （2）利用乘法法则进行计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 16． （8分）解分式方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 经检验时，， 故分式方程的解为. （2）解： ， 经检验时，， 故分式方程的解为. 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18．（8分）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【答案】(1)250米 (2)275米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． （1）设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 19．（8分）随着技术越来越成熟，工业生产逐步智能化，某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为120万元，购买B型机器人的总费用为90万元．B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择12台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备4台，且购买这12台机器人的总费用不超过126万元，求出所有配备方案． 【答案】(1)A型机器人单价为12万元，B型机器人单价为9万元 (2)方案一：A型机器人4台，B型机器人8台；方案二：A型机器人5台，B型机器人7台；方案三：A型机器人6台，B型机器人6台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出分式方程和不等式组，是解题的关键： （1）设A型机器人单价为万元，则B型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买B型机器人的总费用为90万元，购买A型机器人的总费用为120万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备A型机器人台，则配备B型机器人台，根据购买这12台机器人的总费用不超过126万元，A、B两种型号的机器人各至少配备4台，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人单价为万元，则B型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以． 答：A型机器人单价为12万元，B型机器人单价为9万元． （2）解：设配备A型机器人台，则配备B型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备4台，且y为正整数， ∴y的取值为4，5，6，共有3种方案： 方案一：A型机器人4台，B型机器人8台； 方案二：A型机器人5台，B型机器人7台； 方案三：A型机器人6台，B型机器人6台． 20．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 21．（10分）为推动绿色循环低碳发展，鼓励低碳出行，甲停车场安装了A类和B类两种智能充电桩，已知两类充电桩的数量相同，每个A类充电柱的功率比每个B类充电桩的功率低15千瓦．若所有充电桩同时工作，A类充电桩的总功率是720千瓦，B类充电桩的总功率是1080千瓦． (1)求A，B两种充电桩每个的功率分别是多少千瓦． (2)若A类充电桩单个造价为4万元，B类充电桩单个造价为6万元，乙停车场计划建造32个充电桩，在总投资不超过150万元的情况下，怎么设置两类充电桩的数量以达到最大充电总功率？并求出最大充电总功率． 【答案】(1)每个A类充电桩的功率为30千瓦，每个B类充电桩的功率为45千瓦 (2)建造A类充电桩21个，B类充电桩11个时充电总功率最大，最大为1125千瓦 【分析】（1）设每个B类充电桩的功率为x千瓦，则每个A类充电桩的功率为千瓦，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设建造A类充电桩a个，则建造B类充电桩个，总功率为y千瓦，求出与的函数关系式，然后再求出与的函数关系式，并结合约束条件，利用一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个B类充电桩的功率为x千瓦，则每个A类充电桩的功率为千瓦， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个A类充电桩的功率为30千瓦，每个B类充电桩的功率为45千瓦． （2）解：设建造A类充电桩a个，则建造B类充电桩个，总功率为y千瓦， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴y随着a的增大而减小， 当时，y有最大值，为 此时B类充电桩的数量为（个）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $