第一章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试，以古埃及画直角、赵爽弦图等文化素材及蚂蚁爬圆柱、楼梯铺地毯等生活情境为载体，覆盖定理应用与实际问题解决，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|勾股定理逆定理（第2题古埃及画直角）、勾股数判断（第3题）、最短路径（第7题圆柱爬行）|结合文化传承与空间观念| |填空题|8|定理验证（第13题等面积法）、规律探索（第18题勾股数公式）|体现抽象能力与创新意识| |解答题|5|实际应用（第21题门框通过、第22题台风影响）|突出模型观念与应用意识|

第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（    ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 3．下列四个说法：①若，，是勾股数，且最大，则一定有；②以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③0.3，0.4，0.5不是勾股数，以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，其中正确的是（   ） A．③④ B．②③ C．①② D．①④ 4．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于180° C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 6．以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 7．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 9．如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（   ） A． B．3 C．5 D． 10．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 12．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 二、填空题 13．勾股定理的验证：测量法、数格子法、割补法（拼图法）、面积法如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法．．．．．．（通过_____的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）． 14．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 15．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____． 16．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 17．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为______． 18．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 19．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    20．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 三、解答题 21．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：） （2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明． 22．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 24．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 25．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．    试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D D D D B C B B C A 1．【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 2．【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 3．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足两个较小的数的平方和等于较大数的平方的三个正整数，叫做勾股数，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，，是勾股数，且最大，则一定有；故①正确； 以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是正整数，不是勾股数；故②错误； 0.3，0.4，0.5不是勾股数，但以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，故③错误； 若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④正确； 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理逆定理解题． 【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵ ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是验证每组数中两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方． 判断每组数能否组成直角三角形时，先确定每组中的最长边，再分别计算两较短边的平方和与最长边的平方，若两者相等则能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、本组数中最长边为5，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、本组数中最长边为1，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、本组数中最长边为13，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； D、本组数中最长边为9，计算两较短边平方和：，最长边平方：，，不能组成直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 8．【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，图形类规律探究，分别求出的长，得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：，， ， ∴， ∴； 故选B． 10．【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 11．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 12．【答案】A 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 13．【答案】面积 【知识点】勾股定理的证明方法 【解析】略 14．【答案】40 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 15．【答案】45° 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解． 【详解】由图可知：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 16．【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 17．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 故答案为：． 18．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 19．【答案】 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为 s． 故答案为：． 20．【答案】16 【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 21．【答案】 （1）能，理由是： 如下图，连接，则与、构成直角三角形， 根据勾股定理得，． ∵ ， ∴该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着斜着进去）；. （2）能，理由是： 过点作，则△是等腰直角三角形，即， ， ，即, ∴ ， ∴这个立柜能通过过道． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． （1）连接，则与、构成直角三角形，由勾股定理得到，进行比较即可求解； （2）过点作，则△是等腰直角三角形，即，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 22．【答案】(1) 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)持续小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 23．【答案】千米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，设AC=CD=x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可得：AB=3，AD=5 ∴在Rt△ABD中， 设AC=CD=x，则BC=4-x 在Rt△ABC中，，解得：x= ∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 24．【答案】海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】解：在，，，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得， （海里/小时） 答：该船的行驶速度为海里/小时． 25．【答案】点到的距离约为 【知识点】点到直线的距离、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离，    在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $