第二章 实数能力提升自测卷-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 聚焦实数单元核心知识，融合数学文化与创新应用，通过基础巩固、能力提升、综合探究三级梯度设计，适配初中数学单元复习的素养培育需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|勾股定理（题1）、二次根式运算（题3）、无理数估算（题5）|结合数轴几何直观（题4），体现数学眼光| |填空|4/12|无理数小数部分（题12）、二次根式规律（题14）|设计规律探究情境，培养推理意识| |解答题|7/58|海伦-秦九韶公式（题17）、新定义“友好二次根式”（题19）、几何优化（题20）|融合数学文化（题7会徽、题8公式）与实际应用，发展模型意识与创新思维|

第二章 实数能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，求解即可． 【详解】解：A．最长边为，，，得，符合要求； B．最长边为，，，，故，不符合要求； C． 最长边为6，，，，故，不符合要求； D． 最长边为，，，，故，不符合要求． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：∵， ∴，故C正确.； 对于选项D：，故D错误． 4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 5．已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根、立方根的定义列方程求出，的值，再代入计算后求其平方根． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 6．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解： ， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 7．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 8．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中，，为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果． 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 ， 代入海伦公式得： ． 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知算式推导通用规律，再将原式按规律化简后分组计算，即可得到结果． 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 10．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第9个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，再进行估算即可. 【详解】解：由勾股定理得： 第1个直角三角形的斜边长为，‘ 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为， ， 故第9个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由10条长度为1的线段和第9个直角三角形的斜边组成， ， ， ，即， ， 周长的整数部分是13. 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 12．的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 13．计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根、立方根、绝对值，进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的立方根，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 16．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）求得的取值范围可得答案； （2）先求得和的取值范围可得m、n的值，代入所求代数式中求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵，， ∴，， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 17．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积，小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，，， ________． 根据海伦公式可得________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，，，的对边分别为a，b，c，，，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 【答案】(1)9； (2) (3) 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入秦九韶公式求解； （3）先根据题中的海伦公式求出面积，再根据面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：，，， ， ． （2）解：设，，， 则，，， ． （3）解：由，，， ， ． ， ， ， ． 18．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则即可解答； （2）根据二次根式分母有理化法则即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 19．新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 20．如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村庄A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值，并求出最小值． 【答案】(1)如图，点即为所作： (2)当时，的值最小，最小值为． 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）如图所示，过点作，交延长线于点，连接交于，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示，过点作，交延长线于点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 设，则， ∵， ∴， 解得， 答：当时，的值最小，最小值为． 21．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) (3)2026 【分析】（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可； （3）利用（2）的化简方法化简计算即可． 【详解】（1）解：小莉的化简结果正确，理由如下： ∵ （2）解： （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数能力提升自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 6．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 7．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 8．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中，，为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长，，，则的面积为（     ） A． B． C．D． 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 10．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算：_______． 12．的小数部分是，则等于__． 13．计算的结果是______（结果保留）． 14．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 16．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 17．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积，小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，，， ________． 根据海伦公式可得________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，，，的对边分别为a，b，c，，，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 18．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 19．新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 20．如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村庄A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值，并求出最小值． 21．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $