第四章 因式分解能力提升自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

第四章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列各式从左到右是因式分解的是（    ） A．; B．; C．; D．． 2.多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 5.已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 6．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 7.若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8.数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数。现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．爱数学 C．爱信阳 D．我爱信阳 9.在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．-5 B．7 C．9 D．21 10.密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码。例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）。 A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．分解因式：_____。 12.如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成。观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________。 13．若，则_________。 14.若二次三项式可分解为（，则m的值为_________。 15.计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积。若，则________ ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.（8分）分解因式： (1); (2); (3)． 17.（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①;②;③． （1）请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________;⑤__________; （2）用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； （3）试证明（2）中的规律的正确性。 18.（8分）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差。为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差。所以结论正确。 （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差。 19.（8分）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成。根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和。 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________。 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和。（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 20.（8分）对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”。 （1）2与1的“2次幂差数”为_____； （2）若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值。 21.（10分）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列各式从左到右是因式分解的是（    ） A．; B．; C．; D．． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式”逐项判断即可得。 【详解】解：A、等式的右边不是乘积的形式，是整式的乘法，则此项不是因式分解，该选项不符合题意； B.，原式因式分解不彻底，该选项不符合题意； C.等式的右边不是乘积的形式，则此项不是因式分解，该选项不符合题意； D.满足因式分解的定义，则此项是因式分解，该选项符合题意。 2.多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解。 【详解】解： ． 3．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值。 【详解】∵， 已知 ，， ∴, ∴． 4．已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用 利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果。 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 5.已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答。 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意。 6．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果。 【详解】解：∵，， ∴ ． 7.若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键。先将因式分解后的式子（展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值。 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件， ∴, 故选：D． 8.数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数。现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．爱数学 C．爱信阳 D．我爱信阳 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用。先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息。 【详解】解：∵， 对应密码字： 我， 爱， 数， 学， 因式相乘的顺序可交换，调整为有意义的词组即可， ∴密码信息为“我爱数学”， 故选：A． 9.在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．-5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式。 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为（，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为（，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 10.密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码。例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）。 A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值。给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．分解因式：_____。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果。 【详解】解：原式． 12.如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成。观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________。 【答案】 【分析】本题考查了因式分解。利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解。 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 13．若，则_________。 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握好相关知识是关键。 将原式利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解后，再代入已知条件计算。 【详解】解：． ∵, ∴原式． 故答案为：． 14.若二次三项式可分解为（，则m的值为_________。 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系。通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可。 【详解】解：（， , , 解得， 故答案为． 15.计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积。若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵, ∴, ∴． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.（8分）分解因式： (1); (2); (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等。 （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可。 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 17.（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①;②;③． （1）请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________;⑤__________; （2）用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； （3）试证明（2）中的规律的正确性。 【答案】(1) (2) （3）证明见解析 【分析】（1）由已知式子得到规律； （2）将规律进行总结即可； （3）由平方差公式因式分解即可证明。 【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤； （2）解：由已知式子可得规律为； （3）证明： ． 18.（8分）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差。为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差。所以结论正确。 （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差。 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可。 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差。 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 19.（8分）综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成。根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和。 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________。 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和。（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式。 （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可。 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 20.（8分）对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”。 （1）2与1的“2次幂差数”为_____； （2）若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值。 【答案】(1)3 (2) （3）的最小值为8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，理解新定义。 （1）根据“2次幂差数”的定义进行求解即可； （2）根据“2次幂差数”的定义列出算式进行求解即可； （3）根据“2次幂差数”的定义结合题意得出，求出， 根据非负数的性质，求出最小值即可。 【详解】（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，． 2与1的“2次幂差数”为3， 故答案为：3． （2）解：依题 ; （3）解：已知，， 代入得：， 即， , 由，及为整数，可得的取值范围为， ∵在该范围内， ∴当时，取得最小值64，则的最小值为8． 21.（10分）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值。 【答案】（1）； (2); (3)14; （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， , 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， , 故答案为：； （3）由（2）知， ， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法。 1 学科网（北京）股份有限公司 $