第二章 实数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第二章实数单元基础通关卷，覆盖无理数、二次根式等核心知识，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习，培养数学抽象与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、二次根式意义、实数与数轴|结合数轴图形考查几何直观| |填空题|6/18|同类二次根式、算术平方根、新运算定义|融入杨辉幻圆体现文化传承| |解答题|9/72|实数运算、海伦-秦九韶公式应用、新定义“美好数”|阅读材料题培养推理意识，综合题提升应用能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 8．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 9．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 13．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 14．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 16．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2)． 19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 20．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 23．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 24．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 25．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B A C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15．0 16．5或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或；.............3分 （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：．.............6分 18． 【详解】（1）解： ；.............3分 （2）解： ．.............6分 19． 属于整数的有：；.............2分 属于有理数的有：；.............4分 属于无理数的有：．.............6分 20． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ；.............3分 （2），，， ， 的平方根为．.............6分 21． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴；.............4分 （2）解：， 令， ∵，，， ∴．.............8分 22． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出；.............2分 （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是；.............5分 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4．.............8分 23． 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ．.............4分 （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ．.............8分 24． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积；.............4分 （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ；.............8分 （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴..............12分 25． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是；.............4分 （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴．.............8分 （3）解： ．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，只需根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断. 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数. ∵ 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 2．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解：， ， 二次根式没有意义的是． 3．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 4．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得点表示的数大于3且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设点所代表的数为， 由数轴可知：，即，故B、C错误， ∵， ∴数轴上点表示的数可能是． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 6．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ． 7．如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 8．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 9．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据及的长求出的长，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可．　 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 13．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 16．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为_____． 【答案】5或 【分析】先利用非负性求出的值，再分为直角边和为斜边两种情况，结合勾股定理求解第三边长即可． 【详解】解： ， ， 解得， 当为直角边时，第三边为斜边，第三边长为； 当为斜边时，第三边为直角边，第三边长为； 综上可知，第三边长为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 18．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 20．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后利用无理数的估算求得c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ； （2），，， ， 的平方根为． 21．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 23．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 24．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 25．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 8．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 9．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 13．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 14．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 16．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2)． 19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 20．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 23．阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 24．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 25．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $