第二章 实数 单元练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第二章实数单元复习卷，精选多地区期中期末真题，覆盖实数概念、运算及应用，融合实际情境与新定义题型，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|实数分类（第1题）、二次根式运算（第2题）、勾股定理（第3题）|结合数轴（第4题）、正方体展开图（第3题）考查空间观念| |填空题|5|立方根性质（第6题）、长方体体积计算（第12题）|引入排箫频率与长度关系（第15题），体现跨学科应用| |解答题|5|实数混合运算（第16题）、河宽测量（第18题）、新定义“连分数近似”（第20题）|设计数值转换器（第19题）、“好运数”（第10题），培养创新意识与推理能力|

第二章实数 单元练习 一、单选题 1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）下列实数中，属于有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 6．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）若，则和的关系是（     ） A． B．、互为相反数 C． D． 7．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 8．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 10．（2026·湖北武汉·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数，，是“好运数”；四位数，，不是“好运数”．若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则这个“好运数”的最小值（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级下·广东湛江·期末）________． 12．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一个长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为________． 13．（25-26七年级上·陕西商洛·开学考试）规定：．已知，那么______． 14．（2022·贵州黔西南·模拟预测）2022年5月，黔西南州爆发地区性流感，1名感染者每天传染2人，某校九年级（3）班某天有2名学生感染流感，经过2天的传播一共有______ 名学生被感染． 15．（2026·广东深圳·二模）排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为，其中c为常数．已知自然大调各音阶的频率与半音数n之间的关系如下表所示，其中，则音阶对应的音管长度是音阶对应的音管长度的______倍． 音阶 la xi do′ 半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12 频率 f0·q9 f0·q11 f0·q12 三、解答题 16．（25-26八年级下·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)． 17．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ，． ． ．请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算； (2)化简． 18．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 19．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 20．（25-26七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二章实数 单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D C B B A D C 1．A 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，是无理数． 2．D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除的运算法则逐项计算，即可作答． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 3．D 【分析】分三种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①如图所示，将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ②如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ③如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ∵， ∴最短路线长是． 4．D 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 5．C 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 6．B 【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据可得．所以与互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴、互为相反数． 7．B 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 8．A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 9．D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 10．C 【分析】本题为新定义题型，根据“好运数”定义推导得到，根据已知条件得到结合能被9整除的数的性质，从小到大枚举千位数字，得到符合条件的最小“好运数”． 【详解】∵ 四位“好运数”满足，各数位数字互不相同且均不为， ∴ ， 整理得 ①， ∵ 能被整除， ， 将①代入得：， ∵ 能被整除，因此能被整除， ∵ 是的整数，，因此， 要得到最小的“好运数”，需让千位尽可能小，从小到大枚举： 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，无符合条件的； 当时，，代入①得，得， 此时四个数位为，互不相同且均不为，符合条件，因此最小“好运数”为． 11．3 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ． 12． 【分析】已知长方体体积和高，底面为正方形，先利用长方体体积公式求出底面积，再根据正方形面积公式求边长. 【详解】解：由题意，长方体的底面积为， ∵长方体的底面是正方形， ∴正方形的边长为. 13． 【分析】按照新运算规则，先计算括号内的结果，再求出的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解： ， ， ， 解得， 将x的值代入所求算式得． 14． 【分析】初始有2名感染者，1人每天传染2人，每天总感染数为前一天总感染数乘以传染人数，依次计算得到两天后的总感染数. 【详解】解：∵初始有名已感染的学生，人天可以传染人， ∴第一天传播结束后，总感染人数为 ， ∵第二天由所有已感染的学生继续传播， ∴第二天传播结束后，总感染人数为 . 15． 【分析】根据已知公式变形得到音管长度表达式，分别确定与对应的半音数和频率，计算两者长度的比值，结合已知条件化简得到最终结果. 【详解】 由 得 16．(1) (2) 【详解】解：（1） ． （2） ． 17．(1) (2) 【分析】(1)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子进行分母有理化即可； (2)根据小明的做题思路运用平方差公式将式子中每个部分进行分母有理化，再化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 18．这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 19．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 20．(1)；0.86， (2)① ；② 【分析】(1)根据表示不超过的最大整数，进行计算。 (2) 本题考查连分数近似的新定义运算。按照给定的递推规则，依次计算，再代入连分数近似公式求值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即． （2）① 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ． (2) ② 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $