专题03 轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

**基本信息** 江苏多地期中真题汇编，聚焦轴对称、等腰三角形等5大考点，基础题与综合题梯度分布，注重几何直观与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择20+填空15+解答25|轴对称性质（汉字/标志判断）、线段垂直平分线应用（供奶站选址）、等腰三角形多解（80°角分类）|现实情境（物理元件符号、禁毒标志）；从基础判断到动态探究（动点与等腰三角形存在性）；几何作图与证明结合（垂直平分线尺规作图）|

专题03 轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．【答案】证明：是线段的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据是线段的垂直平分线，推出，，再证即可． 【详解】 略 10．【答案】10 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵是边的中垂线， ∴， ∵的周长为18cm， ∴(cm)， ∵cm， ∴(cm)， ∴的周长(cm)， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 11．【答案】（1）      （2） 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质、轴对称的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要在直线上找一点，使得，找到线段的垂直平分线与直线的交点即可； （2）利用轴对称的性质，找到点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：在网格中构造以为对角线的矩形，两条对角线的交点为点，即直线的中点为点，利用网格线垂直的性质，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求的点， 证明：在和中， ； (2) 小问详解： 解：作点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点， 证明：点与点关于直线的对称, ． 12．【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长为． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 13．【答案】（1） 证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴；      （2）8      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 14．【答案】14 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】 解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 15．【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略 16．【答案】即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图---作垂线，线段的垂直平分线，以及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤以及线段的垂直平分线的性质． 先截取，然后过点作直线的垂线，在垂线上截取，连接，作线段垂直平分线交直线于点B，则即为所求，由垂直平分线可得，则，即． 【详解】 略 17．【答案】（1） ① 如图，直线即为所求； ② 如图，点P即为所求；      （2），如上图，点Q即为所求作的点．      【分析】 （1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．【答案】证明：在和中， ， ∴； ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定. 根据证明，可得，，即可得证垂直平分． 【详解】 略 19．【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD， ∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF， 在RT△BDE和RT△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF． 【详解】 试题分析：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF． 试题解析：略． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）y轴，；     （3）      【分析】 此题考查了轴对称的作图和性质、网格中求三角形面积等知识，数形结合和准确作图是关键． （1）找到点A、B、C关于x轴对称的点、、，顺次连接即可； （2）根据题意得到与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：若与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴． 关于直线y轴的对称点的坐标为， 故答案为∶y轴，； (3) 小问详解： 解：的面积为 ． 3．【答案】 【分析】 根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 4．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （ 2）； （3）如图所示，点Q即为所求． 【分析】 （1）根据轴对称的性质先找出△ABC关于直线DE对称的对称点，再依次连接即可得到△A1B1C1； （2）根据据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积； （3）根据“两点之间，线段最短”，连接A1B，与DE的交点Q即为所求． 【详解】 解：（1）略 （2）S△ABC＝2×3−×1×3−×1×2−×1×2＝． 故答案为：．    （3）略 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 5．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接交直线l于点E，则点E即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接交直线l于点E，连接，则点E即为所求． 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小． 6．【答案】（1）4； （2）如图点P即为所找的点； （3）如图△A1B1C1和△A2B2C2即为所画的三角形． 【分析】 （1）利用割补法求解可得； （2）作∠ABC的平分线，与直线的交点即为所求； （3）先作出△ABC关于直线的对称三角形，再向下平移4个单位即可． 【详解】 （1）△ABC的面积为4×3-×1×2-×2×3-×2×4=4， 故答案为：4； （2） 略 （3） 略 【点睛】 本题主要考查了作图-轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 7．【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2）     （3）如图，       【分析】 本题考查了作图——轴对称作图，坐标与图形，轴对称的性质，一次函数的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小，求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图形可知，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得： ， 则直线的解析式为， 令，则，解得：， 即点P的坐标为． 考点04 等腰三角形 1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．C 11．C 12．C 13．D 14．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】 解：①是等腰三角形的底角， ② 当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 15．【答案】8 【分析】 此题考查了含角的直角三角形的性质：所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质直接得到答案． 【详解】 解：在中，， ， 故答案为：8． 16．【答案】48 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是利用等边对等角求解． 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，由此可解． 【详解】 解：∵顶角为， 根据三角形内角和定理，得底角为． 故答案为：48． 17．【答案】证明：， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】 略 18．【答案】(度 【分析】 根据等腰三角形的性质，钝角必为顶角，因此角A是顶角，角B和角C是底角且相等．利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】 在等腰中，， ∴为顶角， ∴． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴等腰三角形的顶角等于， ∴底角的度数为． 故答案为：． 20．【答案】见解析 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可． 【详解】 证明：， ，， ∵是的平分线， ， ， ． 21．【答案】55 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 利用等腰三角形的性质“等边对等角”得出底角相等，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：在等腰中， ∵， ∴（等边对等角）， 又∵，且（三角形内角和定理）， ∴， 解得， 故答案为：55． 22．【答案】�度 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 23．【答案】7 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】 解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接，     ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 24．【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 25．【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理求角度是解题的关键． 由等边对等角可得，根据，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：80°． 26．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，再由计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【详解】 27．【答案】（1） 证明：∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质和等量代换可得，进而可得结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，得到，结合（1）的结论可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，D为的中点， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查含角的直角三角形的性质．过B点作，交的延长线于点D，可得，从而，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：过B点作，交的延长线于点D， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为： ． 故答案为：． 29．【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，结合的周长得到，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴； (2) 小问详解： 解：∵垂直平分，， ∴, ， ∴， ∵的周长为13， ∴ ∴， ∴， ∴． 30．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 根据角平分线定义、平行线的性质可得，进而求解． 【详解】 解∶平分， 同理可得∶， 故答案为：． 31．【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 32．【答案】度 【分析】 运用等腰三角形的性质求解。 此题考查了垂直平分线和等腰三角形的性质．值得注意，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质。 【详解】 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于D，E两点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 33．【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论正确． 【详解】 解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论正确； 如图，过点作于，作于，连接，    在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论正确； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 34．【答案】的大小为． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，设的大小为，则，根据题意求出，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：设的大小为， ， ， 是的外角， ， 由作图可得：， ， ， ， 解得：， ， ， ∴的大小为． 35．【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∴． 36．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，灵活运用以上知识点是解题的关键．连接，过点C作，根据等腰三角形的性质可得，即，由垂线段最短，可知当点C、M、N三点共线，且时，最小，再根据面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点C作于点，交于点， ∵，点D是边上的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点C、M、N三点共线，且时，取得最小值，最小值为， ∵，，，， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 37．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 小问详解： 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．【答案】（1）1，3；（2）； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 此题考查三角形内角和定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， （1）根据三角形内角和定理求出，再利用直角三角形30度角的性质求出即可； （2）在上截取，连接，得到，根据，推出，根据等边对等角得到，利用外角性质推出，根据三角形内角和求出的度数； （3）在上截取，连接，证明，得到，，由，，得到，推出，进而得到结论． 【详解】 解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 39．【答案】45 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据格点，得到，推出，由是等腰直角三角形，知，由此求出答案． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为45． 40．【答案】7度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用同圆半径相等得出等腰三角形，逐步推导相关角的度数． 先根据三角形内角和求出的度数；由同圆半径相等得，利用等腰 三角形性质求出、及的度数；结合共线点的角度关系求出，进而算出的度数． 【详解】 解：∵在中， ∴ ∵以点B为圆心，为半径画弧， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵点A、D、C共线， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 利用等边对等角，以及外角的性质，得到，即可得解． 【详解】 解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判断和性质，外角的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 42．【答案】（1） 解：如图，点D即为所求；      （2）      【分析】 此题考查线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理， （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）根据等边对等角推出，，，再根据三角形内角和定理求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 43．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）14      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，利用三角形周长公式可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴的周长. 44．【答案】3cm 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠MBO=∠MOB、∠NOC=∠OCN，根据等腰三角形的判定方法可得BM=MO，ON=CN，由MN=MO+ON=BM+CN即可求得BM的长. 【详解】∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O， ∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB， ∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN， ∴BM=MO，ON=CN， ∴MN=MO+ON，即 MN=BM+CN， ∵MN=5cm，CN=2cm， ∴BM=5﹣2=3cm. 故答案为 3cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质等知识点，证明△BMO，△CNO 是等腰三角形是解决本题的关键． 45．【答案】6 【分析】 此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 46．【答案】12 【分析】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 47．【答案】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠1＝∠2． 【分析】 根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键． 48．【答案】2 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三线合一、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．连接，根据作图可得，再根据等腰三角形的判定和性质可得，进而根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：连接，如图： 以为圆心，为半径画弧，交于点． ， ∴是等腰三角形， 是的中点， ， 是的中点，， ． 故答案为：． 49．【答案】（1） 证明：是线段AB的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后利用等边对等角即可； （2）根据等边对等角以及三角形的内角和定理求出，然后借助（1）的结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由（1）可知：， ． 50．【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， ， ， ∴为等腰三角形， ， ；     （2）      【分析】 （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出相关角的度数，证明为等腰三角形，利用三线合一即可得出结论； （2）过点作交于点，利用含角的直角三角形的性质，得出，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作交于点， ， ， ， 中，， ， 由勾股定理得，， 平分，且，， ． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 51．【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 52．【答案】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等边对等角、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，再利用等量代换以及三角形外角的性质即可证明． 【详解】 略 53．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求． 【详解】 解：如下图所示，连接， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， 又和为两个全等的等腰直角三角形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 54．【答案】45°或72° 【分析】 分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 【详解】 解：设，则， 当是顶角时，， 即：， 解得：， 此时； 当是底角时，， 即， 解得：， 此时， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解题关键，难度不大． 55．【答案】或或或 【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用和分类思想的运用．因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 【详解】 解：如图① ，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图② ，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③ ，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④ ，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 56．【答案】（1）证明：∵点B关于直线CD的对称点为E ∴CD垂直平分BE， ∴， 在和中 ∴ ∴，∠BCD＝∠ECD 又∵AC＝BC ∴AC＝EC ∴∠CAE＝∠CEA； （2）45°； （3）AE＝CD，证明： 连接BF        ∵AC＝AD，AC＝BC         ∴AD＝BC ∵CD垂直平分BE， ∴FE＝FB      ∴∠AFD＝∠BFD 由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45° ∴∠BCD＝∠FAD＝α    在△ADF和△CBF中 ∴△ADF≌△CBF ∴AF＝CF，DF＝BF＝EF      ∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD． 【分析】 （1）根据轴对称的性质，得，，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）设∠BCD＝α，结合题意，得；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案； （3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α ∵∠ACB＝90° ∴ ∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α ∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α， ∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°； （3）略 【点睛】 本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解． 57．【答案】或或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分四种情况：① 当点、都在线段上时，② 当点在线段上、点在延长线上时，③ 当点在线段上、点在延长线上时，④ 当点、都在延长线上时，分别画图求解． 【详解】 解：① 当点、都在线段上时，如图： ， ， ， ， ， ． ② 当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ③ 当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ④ 当点、都在延长线上时，如图： ， ， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 58．【答案】（1）     （2）的长为或     （3）      【分析】 （1）根据旋转可得，，则通过角的转换可得，即可证明，则，进而即可得解； （2）先根据题意求出，再过点A作于点G，当是直角三角形时，可分为两种情况求解，分别为：当时和当时，进行列方程求解即可； （3）如图，取中点G，连接，由“”可证，可得，则当时，有最小值，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：∵线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 过点A作于点G， 由题意可知，当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴； 当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 综上所述，的长为或； (3) 小问详解： 解：如图，取中点G，连接， ，点是中点，点是中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 有最小值时，也有最小值， 当时，有最小值． ，， ，，， ，， 线段长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的性质和一元一次方程的应用，熟知以上知识点并熟练的运用是解决本题的关键． 59．【答案】或 【分析】 题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：① 当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；② 当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③ 当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④ 当时，同③ 理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ① 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ② 当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③ 当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④ 当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③ 理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 60．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；过点作交的延长线于点，则，连接，证明是等边三角形，是等腰直角三角形，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，则，连接， ∵ ∴， ∵为的中线， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 62．【答案】（1） 解：， 理由：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 综上，，；     （2） 证明：延长至点，使，连接，     由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ；     （3） 证明：取中点E，连接，延长至点F，使，连接， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴，， 延长至点H，使，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明； （3）取中点E，连接，延长至点F，使，连接，证明，得出，，延长至点H，使，连接，则，证明，得出，，则，根据平行线的性质以及补角的性质可得出，证明，得出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 63．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） （3）不变， 【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）四边形的内角和为360度，求出，进而求出的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数； （3）延长至点，使，连接并延长于点，连接，先证明，推出，，进而推出，再证明，得到，求出，得到为等腰直角三角形，求出，即可． 【详解】 （1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长至点，使，连接并延长于点，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴在点G从点C运动到点B的过程中，的大小不发生改变，始终为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．A 2．A 3．C 4．C 5．【答案】24 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【详解】 解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 6．【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【详解】 分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 7．【答案】（1） 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）由题意可以得到，从而得到； （2）分别过作、的垂线、，由（1）及勾股定理可以求得、的值，然后根据三角形面积计算方法及可以得到四边形的面积 ． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ， ， ， 过点作于，过作，交延长线于， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键． 8．【答案】（1）5     （2）当是直角三角形时，的值为或；     （3） 解：和的面积相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， ∴， 由运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即和的面积相等． 【分析】 （1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可； （2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可； （3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系． (1) 小问详解： 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 若是直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，或， 若，则， ∴， ∴， 解得， 此时，点和点重合，点为的中点， 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴当是直角三角形时，的值为或． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质． 9．【答案】（1）     （2） 解：如图所示． 的垂直平分线分别交，于点，， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由的垂直平分线分别交，于点，，可得，已知，，，利用勾股求得，设，则，利用勾股定理求得即可． （2）由的垂直平分线分别交，于点，，可得，由，可得，根据等角的余角相等，可得，进一步证得，所以，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示． 在中，，，， ． 的垂直平分线分别交，于点，， ． 设，则， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1）     （2）     （3） 解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． (1) 小问详解： 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． (3) 小问详解： 略 11．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】 解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 12．【答案】（1）见图，即为所求     （2）4     （3）见图，点Q即为所求      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格，作线段的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：由图可知，，，，满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． (3) 小问详解： 如图，点Q即为所求． 13．【答案】度 【分析】 先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数． 【详解】 ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°， ∵AD＝BE， ∴BD＝CE， ∵在△ACE和△CBD中 ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）， ∴∠CAE＝∠BCD， ∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF， ∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°， ∵AG⊥CD， ∴∠AGF＝90°， ∴∠FAG＝90°−60°＝30°． 故答案为30°． 【点睛】 本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14．【答案】110 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等边和角的度数，证明，得出相等的角，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 15．【答案】（1）是；（2）① ② ③ ；（3）不变， 【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定① 成立，，又，可得是等边三角形，可判定③ 成立；，则，可得，可判定② 成立；由于点O不一定是的中点，可判定④ 不是恒成立； （3）交于，由（1）知：，又，，则，即可求得． 【详解】 解：（1）是．理由： ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 故答案为：是． （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故① 成立； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③ 成立； ∵， ∴， ∴， 故② 成立； 由于点O不一定是的中点， 故④ 不是恒成立； 故答案为：① ② ③ ． （3）设交于，如图， 和均为等边三角形， ，，    ， ． 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，有，即；作P点关于的对称点，作交于N点，交于点，连接，得出，得出此时的最小值为的长，求出的长即为解答． 【详解】 解：如图：关于的对称点，作交于N点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，此时的最小值为的长， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠变换、勾股定理、含30°角的直角三角形、轴对称−路线最短问题等知识点，正确作出辅助线构造轴对称−路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键． 17．【答案】（1）     （2）或；②      【分析】 先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案： (2) ① 先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案； ② 先判断出点在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可. (1) 小问详解： 解：如图，作等边， 点的坐标分别为, 在中，, 点, 同理可得：, 当点在线段上时，点是“近轴点”， 和是”近轴点”， 故答案为：; (2) 小问详解： 解：① 如图2-1， 以为边作等边， 设,则, 在中，, 解得(舍负)， 在等边中， 点的坐标为, 同理可得, 若为线段的“远轴点”， 点的横坐标的取值范围为或. 故答案为：或. ② 如图2-2，由题意点在线段的垂直平分线上.连接. 点在的垂直平分线上， 根据垂线段最短可知：当共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点就是的垂直平分线与轴的交点, 在的垂直平分线上， , 点的坐标为, 当点的坐标为时，的值最小， 故答案为：. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，30°的特殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 18．【答案】（1），；见解析     （2）或5      【分析】 （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据可得出；根据得，由三角形内角和定理得，进而得，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出线段和的数量关系；过点F作交延长线于M，连接，则，由等腰三角形性质得，，由（1）可知，则，由此依据“”判定得，由此可判定，然后再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据，设，，则，再分两种情况讨论如下：① 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，设，则，同（1）证明，得，，再根据得，由此解出解得得，据此可得；② 当点E在的延长线时，过点F作交于点H，则，进而得，再证明，则可依据“”判定得，，继而得，然后证明得，则，据此可得，综上所述即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图1所示： 是等边三角形， ，． ． ，且点F在直线的上方，的度数为，， ． ． 线段和的数量关系是：，理由如下： ， ． 在中，，的度数为， ． ． 在和中， ． ． 故答案为：；； 证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示： 是等边三角形，点E为边上的中点时，，， 即． 由可知：． ． 在和中， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 即； (2) 小问详解： 解：， ∴设，， ， ∵点E在射线上运动， ∴有以下两种情况： 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3① 所示： 设，则， 同（1）证明：，， ，． ， ． 解得：， ． ． ② 当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3② 所示： ． ． ， ． ，， ． 在中，， ． 在和中， ． ，． ． 在和中， ． ． ． ． 综上所述：的值为或5． 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 试卷第1页，共3页 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·江苏南通·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(     ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）下列图形不一定是轴对称图形的是（       ） A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 2．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）能将三角形的面积平分的是三角形的（       ） A. 高 B. 角平分线 C. 某一边的垂直平分线 D. 中线 3．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（             ） A. △ABC三边的垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 4．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则的长等于（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（       ） A. 10.5 B. 12 C. 15 D. 18 6．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  7．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，平分，，，E、F为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，求证：． 10．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，中，边的中垂线分别交于点D、E，cm，的周长为18cm，则的周长是　　　　　cm． 11．（25-26学年八上·江苏南京·期中）仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图． （1）如图1，点、在格点上，在直线上找一点，使得； （2）如图2，点、在格点上，在直线上找一点，使得． 12．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D，，则的周长为　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）直接写出的长             ． 14．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 16．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，已知线段m，n．用直尺和圆规作一个，满足，，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 17．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图所示，等腰中，，． （1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． （2）点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于         ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 19．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）（多选）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是                 ，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为                 ； （3）求的面积． 3．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）一个汽车牌在水中的倒影为    ，则该车牌照号码　　　　　　． 4．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（请用直尺保留作图痕迹）． （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）△ABC的面积是　     　； （3）在DE上画出点Q，使△QAB的周长最小． 5．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形． （1）画出，使得和关于直线l对称； （2）在直线l上求作点E，使最短． 6．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）△ABC的面积为                  ； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等； （3）画出△ABC关于直线对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2． 7．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：       ； （3）在x轴上求作一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为            ． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 2．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）在中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A. 80°，20° B. 50°，50° C. 80°，20°或50°，50° D. 30°，70°或10°，90° 4．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 10．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 13．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为　　　　　． 15．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）在中，，，，则　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）等腰三角形的顶角是，则它的底角度数为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，，相交于点，，． 求证：． 18．（25-26学年八上·江苏常州·期中）等腰中，，的大小为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·江苏南通·期中）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，是的外角的平分线，；求证：． 21．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）在等腰中，，，则　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　． 24．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，中，，，则的度数是　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是　　　　　　． 27．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，D为的中点，过点D作的平行线交于点E， （1）求证：； （2）已知，求的长． 28．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，则的面积为　　　　　　． 29．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为13，求的长． 30．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为　　　　　　． 31．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    （1）求证： （2）连接， 求证： 32．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．则等于　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是　　　　　　（只填写序号） 34．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，，求的度数． 35．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，，与相交于点O．求证： （1）； （2）． 36．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　． 37．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 38．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 39．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点为格点），则=　　　　　　°． 40．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，分别交于点D,E，连接，则的度数为　　　　　　°． 41．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为　　　　　　°． 42．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 43．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 44．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM=　　　　　　　　cm． 45．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，，交于点，，则　　　　　． 46．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为　　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）（多选）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2 48．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 50．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，，，平分，于点D． （1）求证：． （2）若，求的长． 51．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 52．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，是的角平分线，E是延长线上的一点，．求证：． 53．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为　　　　　　　　°． 54．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）在等腰三角形ABC中，，则的度数为　　　　　　． 55．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为　　　　　　． 56．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F． （1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA （2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小； （3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明． 57．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，在中，，，若点、都在直线上，且，，则的度数为　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图1，中，，，点D是边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 59．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 61．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）中，，，为的中线，则　　　　　　． 62．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）小明学习了八年级上册“第1章三角形”后，进行了如下问题探究，请你完成“小明的探究题”： （1）【模型探索】如图1，在中，D为的中点，连接并延长至点G，使得，连接．判断与的关系，并证明你的结论． （2）【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． （3）【模型拓展】如图3，在中，点D在边上，且，连接并延长至点G，使得，连接．求证：． 63．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）（1）如图1，，，，．求证：； （2）如图2，中，点P为三角形内一点，交于点Q，过点P的直线交，于点D，E，若，，求； （3）如图3，在（1）的条件下，点G为边上的动点，连接，，点N为中点，以为斜边，在上方作等腰直角，在点G从点C运动到点B的过程中，的大小是否发生改变，如不改变，求出的大小，如发生改变，请说明理由． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，已知与均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是　　　　　　． 6．（25-26学年八上·江苏南京·期中）（多选）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 7．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，是等边三角形，点在的延长线上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 8．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． （1）如图1，当______时，是直角三角形； （2）如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； （3）如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 9．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，，求的长； （2）延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 10．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 11．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为　　　　　　　　　 12．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求点A与，点B与，点C与分别对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； （3）在直线l上找到一点Q，使的值最小（保留作图痕迹）． 13．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）【课本再现】苏科版教材八年级上册第50页第6题：如图①，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上．判断和是否相等． 结论：___________．（填“是”或“否”） 【初步探究】如图②，若与交于点，与交于点，与交于点，连接． 以下结论： ①；②；③是等边三角形；④． 恒成立的结论有___________．（填序号） 【深入探究】如图③，若，，不在一条直线上．其他条件不变，是否变化？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由． 16．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为　　　　　． 17．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：若点P满足，则称P为线段的“轴点”，其中，当时，称P为线段的“远轴点”；当时，称P为线段的“近轴点”． （1）如图1，点A，B的坐标分别为，则在中，线段的“近轴点”是． （2）如图2，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，． ①若P为线段的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围； ②点C为y轴上的动点（不与点B重合且），若Q为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点Q的坐标． 18．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知，是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． （1）当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为            °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系：                     ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； （2）当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·江苏南通·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】 A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 2．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】 解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称定义，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的概念可知： A没有对称轴，不是轴对称图形，故选项错误； B没有对称轴，不是轴对称图形，故选项错误； C没有对称轴，不是轴对称图形，故选项错误； D有对称轴，是轴对称图形，故选项正确； 故选：D． 5．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可． 【详解】 A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：B 【点睛】 本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键． 6．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）下列图形不一定是轴对称图形的是（       ） A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称的含义是解题的关键．根据轴对称图形的定义，判断各选项是否一定具有对称轴． 【详解】 解：A.线段是轴对称图形，其垂直平分线为对称轴，此选项不符合题意； B. 角是轴对称图形，其角平分线所在直线为对称轴，此选项不符合题意； C. 等腰三角形是轴对称图形，其底边上的高所在直线为对称轴，此选项不符合题意； D. 直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【详解】 ∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 2．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）能将三角形的面积平分的是三角形的（       ） A. 高 B. 角平分线 C. 某一边的垂直平分线 D. 中线 【答案】D 【分析】 根据等底同高的两个三角形的面积相等，结合三角形的中线的性质可得答案． 【详解】 解：能将三角形的面积平分的是三角形的中线， 故选D． 【点睛】 本题考查的是三角形的中线的性质，掌握“三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分”是解本题的关键． 3．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（             ） A. △ABC三边的垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置． 【详解】 解：∵点P到点A，B，C的距离相等， ∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形的外心：外心到三个顶点的距离相等． 也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的外心及线段垂直平分线的性质是解题关键． 4．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则的长等于（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质．由题意得，又由的周长等于，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长等于， ∴． ∵中，， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（       ） A. 10.5 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【分析】 本题重点考查了线段垂直平分线性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是问题求解的关键． 先利用垂直平分线的性质，可得到，再利用等量代换即可计算得到的周长． 【详解】 解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及角平分线，对选项依次判断即可． 【详解】 垂直平分， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项D正确； ， 平分， 故选项C正确； 由题目的条件无法判断出， 故选项B不成立． 故选：B． 7．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，平分，，，E、F为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，先利用角平分线的性质可判定① ，证明可判断② ，利用线段的垂直平分线的判定可判定③ ④ ，从而可得答案． 【详解】 解：∵平分为垂足， ∴， 故① 正确，符合题意； ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故② 正确，符合题意； ∵， ∴垂直平分， 故③ 正确，符合题意； 与，与不一定相等， ∴不一定垂直平分， 故④ 错误，不符合题意， 综上所述，正确的是① ② ③ ，共3个， 故选：B． 8．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】 解：，，的周长为7， ∴， ， A、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； D、记两弧交点为， 由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，求证：． 【答案】证明：是线段的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据是线段的垂直平分线，推出，，再证即可． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，中，边的中垂线分别交于点D、E，cm，的周长为18cm，则的周长是　　　　　cm． 【答案】10 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵是边的中垂线， ∴， ∵的周长为18cm， ∴(cm)， ∵cm， ∴(cm)， ∴的周长(cm)， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 11．（25-26学年八上·江苏南京·期中）仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图． （1）如图1，点、在格点上，在直线上找一点，使得； （2）如图2，点、在格点上，在直线上找一点，使得． 【答案】（1）      （2） 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质、轴对称的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要在直线上找一点，使得，找到线段的垂直平分线与直线的交点即可； （2）利用轴对称的性质，找到点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：在网格中构造以为对角线的矩形，两条对角线的交点为点，即直线的中点为点，利用网格线垂直的性质，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求的点， 证明：在和中， ； (2) 小问详解： 解：作点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点， 证明：点与点关于直线的对称, ． 12．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D，，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长为． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 13．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）直接写出的长             ． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴；      （2）8      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 14．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为　　　　　　． 【答案】14 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】 解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 15．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略 16．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，已知线段m，n．用直尺和圆规作一个，满足，，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图---作垂线，线段的垂直平分线，以及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤以及线段的垂直平分线的性质． 先截取，然后过点作直线的垂线，在垂线上截取，连接，作线段垂直平分线交直线于点B，则即为所求，由垂直平分线可得，则，即． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图所示，等腰中，，． （1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． （2）点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于         ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） ① 如图，直线即为所求； ② 如图，点P即为所求；      （2），如上图，点Q即为所求作的点．      【分析】 （1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 【答案】证明：在和中， ， ∴； ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定. 根据证明，可得，，即可得证垂直平分． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）（多选）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD， ∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF， 在RT△BDE和RT△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF． 【详解】 试题分析：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF． 试题解析：略． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于x轴对称的点的坐标． 【详解】 ∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的横坐标为3，纵坐标为， ∴点B的坐标为， 故选：A． 2．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是                 ，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为                 ； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）y轴，；     （3）      【分析】 此题考查了轴对称的作图和性质、网格中求三角形面积等知识，数形结合和准确作图是关键． （1）找到点A、B、C关于x轴对称的点、、，顺次连接即可； （2）根据题意得到与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：若与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴． 关于直线y轴的对称点的坐标为， 故答案为∶y轴，； (3) 小问详解： 解：的面积为 ． 3．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）一个汽车牌在水中的倒影为    ，则该车牌照号码　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】 本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 4．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（请用直尺保留作图痕迹）． （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）△ABC的面积是　     　； （3）在DE上画出点Q，使△QAB的周长最小． 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （ 2）； （3）如图所示，点Q即为所求． 【分析】 （1）根据轴对称的性质先找出△ABC关于直线DE对称的对称点，再依次连接即可得到△A1B1C1； （2）根据据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积； （3）根据“两点之间，线段最短”，连接A1B，与DE的交点Q即为所求． 【详解】 解：（1）略 （2）S△ABC＝2×3−×1×3−×1×2−×1×2＝． 故答案为：．    （3）略 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 5．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形． （1）画出，使得和关于直线l对称； （2）在直线l上求作点E，使最短． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接交直线l于点E，则点E即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接交直线l于点E，连接，则点E即为所求． 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小． 6．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）△ABC的面积为                  ； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等； （3）画出△ABC关于直线对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2． 【答案】（1）4； （2）如图点P即为所找的点； （3）如图△A1B1C1和△A2B2C2即为所画的三角形． 【分析】 （1）利用割补法求解可得； （2）作∠ABC的平分线，与直线的交点即为所求； （3）先作出△ABC关于直线的对称三角形，再向下平移4个单位即可． 【详解】 （1）△ABC的面积为4×3-×1×2-×2×3-×2×4=4， 故答案为：4； （2） 略 （3） 略 【点睛】 本题主要考查了作图-轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 7．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：       ； （3）在x轴上求作一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为            ． 【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2）     （3）如图，       【分析】 本题考查了作图——轴对称作图，坐标与图形，轴对称的性质，一次函数的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小，求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图形可知，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，此时，即与轴的交点即为点，此时周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得： ， 则直线的解析式为， 令，则，解得：， 即点P的坐标为． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 【答案】A 【分析】 根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】 解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=6， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 2．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）在中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算顶角． 由可知为等腰三角形，与为底角且相等；先确定的度数，再根据三角形内角和定理求出，即可． 【详解】 解：， 是等腰三角形，， 已知，则， 根据三角形内角和为，得． 故选：D． 3．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A. 80°，20° B. 50°，50° C. 80°，20°或50°，50° D. 30°，70°或10°，90° 【答案】C 【分析】 分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】 解：①80°角是顶角时，底角=（180°-80°）=50°， 所以，其余两个角是50°、50°； ②80°角是底角时，顶角=180°-80°×2=20°， 所以，其余两个角是80°、20°； 综上所述，其余两个角是50°、50°或80°、20°． 故选C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论． 4．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键． 先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】 解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短求出AD的取值范围是解题关键． 过点作，求出的取值范围即可解答． 【详解】 解：过点作，如图： ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵线段长为正整数， ∴为或或或，共4个数； 当为时，点D与重合，只有一条线段； 当为时，可在点的左右两边，有两条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； ∴一共有条线段； 故选：C． 7．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 连接，证明，得出相等的边和角，再利用三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，且为， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积与四边形的面积相等， ∴， 即， 解得，（负值已舍） 故选：B． 8．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（     ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】 解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．过点A作，且，连接，证明，推出，得出，可知当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，推出，，得出，进而可求出答案． 【详解】 解：如图：过点A作，且，连接， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据角平分线的定义得到，根据“”即可证明；根据，得到，证明，结合，即可证明；根据，证明，得到，进而证明，根据得到，从而证明，即可证明；根据为的角平分线，，而不垂直于，即可得到，问题得解﹒ 【详解】 解：∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 故B选项正确； ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D选项正确； ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故C选项错误﹒ 故选：C 12．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共2个． 13．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】 解：， ． 由折叠的性质得， ， ． 分三种情况： 当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ， ， ， 解得； 当时，则， 不存在， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 14．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】 解：①是等腰三角形的底角， ② 当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 15．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）在中，，，，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 此题考查了含角的直角三角形的性质：所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质直接得到答案． 【详解】 解：在中，， ， 故答案为：8． 16．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）等腰三角形的顶角是，则它的底角度数为　　　　　　． 【答案】48 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是利用等边对等角求解． 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，由此可解． 【详解】 解：∵顶角为， 根据三角形内角和定理，得底角为． 故答案为：48． 17．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，，相交于点，，． 求证：． 【答案】证明：， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】 略 18．（25-26学年八上·江苏常州·期中）等腰中，，的大小为　　　　　　　　　　　． 【答案】(度 【分析】 根据等腰三角形的性质，钝角必为顶角，因此角A是顶角，角B和角C是底角且相等．利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】 在等腰中，， ∴为顶角， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·江苏南通·期中）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴等腰三角形的顶角等于， ∴底角的度数为． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，是的外角的平分线，；求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可． 【详解】 证明：， ，， ∵是的平分线， ， ， ． 21．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）在等腰中，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】55 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 利用等腰三角形的性质“等边对等角”得出底角相等，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：在等腰中， ∵， ∴（等边对等角）， 又∵，且（三角形内角和定理）， ∴， 解得， 故答案为：55． 22．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】 解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接，     ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 24．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 25．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，中，，，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理求角度是解题的关键． 由等边对等角可得，根据，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：80°． 26．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，再由计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【详解】 27．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，D为的中点，过点D作的平行线交于点E， （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质和等量代换可得，进而可得结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，得到，结合（1）的结论可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，D为的中点， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 28．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，则的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查含角的直角三角形的性质．过B点作，交的延长线于点D，可得，从而，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：过B点作，交的延长线于点D， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为： ． 故答案为：． 29．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为13，求的长． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，结合的周长得到，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴； (2) 小问详解： 解：∵垂直平分，， ∴, ， ∴， ∵的周长为13， ∴ ∴， ∴， ∴． 30．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 根据角平分线定义、平行线的性质可得，进而求解． 【详解】 解∶平分， 同理可得∶， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O．    （1）求证： （2）连接， 求证： 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 32．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．则等于　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 运用等腰三角形的性质求解。 此题考查了垂直平分线和等腰三角形的性质．值得注意，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质。 【详解】 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于D，E两点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 33．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是　　　　　　（只填写序号） 【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论正确． 【详解】 解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论正确； 如图，过点作于，作于，连接，    在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论正确； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 34．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，，求的度数． 【答案】的大小为． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，设的大小为，则，根据题意求出，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：设的大小为， ， ， 是的外角， ， 由作图可得：， ， ， ， 解得：， ， ， ∴的大小为． 35．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，，与相交于点O．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∴． 36．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，灵活运用以上知识点是解题的关键．连接，过点C作，根据等腰三角形的性质可得，即，由垂线段最短，可知当点C、M、N三点共线，且时，最小，再根据面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点C作于点，交于点， ∵，点D是边上的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点C、M、N三点共线，且时，取得最小值，最小值为， ∵，，，， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 小问详解： 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 【答案】（1）1，3；（2）； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 此题考查三角形内角和定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， （1）根据三角形内角和定理求出，再利用直角三角形30度角的性质求出即可； （2）在上截取，连接，得到，根据，推出，根据等边对等角得到，利用外角性质推出，根据三角形内角和求出的度数； （3）在上截取，连接，证明，得到，，由，，得到，推出，进而得到结论． 【详解】 解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 39．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点为格点），则=　　　　　　°． 【答案】45 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据格点，得到，推出，由是等腰直角三角形，知，由此求出答案． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为45． 40．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，分别交于点D,E，连接，则的度数为　　　　　　°． 【答案】7度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用同圆半径相等得出等腰三角形，逐步推导相关角的度数． 先根据三角形内角和求出的度数；由同圆半径相等得，利用等腰 三角形性质求出、及的度数；结合共线点的角度关系求出，进而算出的度数． 【详解】 解：∵在中， ∴ ∵以点B为圆心，为半径画弧， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵点A、D、C共线， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 41．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为　　　　　　°． 【答案】 【分析】 利用等边对等角，以及外角的性质，得到，即可得解． 【详解】 解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判断和性质，外角的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 42．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求；      （2）      【分析】 此题考查线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理， （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）根据等边对等角推出，，，再根据三角形内角和定理求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 43．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）14      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，利用三角形周长公式可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴的周长. 44．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM=　　　　　　　　cm． 【答案】3cm 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠MBO=∠MOB、∠NOC=∠OCN，根据等腰三角形的判定方法可得BM=MO，ON=CN，由MN=MO+ON=BM+CN即可求得BM的长. 【详解】∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O， ∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB， ∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN， ∴BM=MO，ON=CN， ∴MN=MO+ON，即 MN=BM+CN， ∵MN=5cm，CN=2cm， ∴BM=5﹣2=3cm. 故答案为 3cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质等知识点，证明△BMO，△CNO 是等腰三角形是解决本题的关键． 45．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，，交于点，，则　　　　　． 【答案】6 【分析】 此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 46．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 47．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）（多选）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2 【答案】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠1＝∠2． 【分析】 根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键． 48．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三线合一、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．连接，根据作图可得，再根据等腰三角形的判定和性质可得，进而根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：连接，如图： 以为圆心，为半径画弧，交于点． ， ∴是等腰三角形， 是的中点， ， 是的中点，， ． 故答案为：． 49．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是线段AB的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后利用等边对等角即可； （2）根据等边对等角以及三角形的内角和定理求出，然后借助（1）的结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由（1）可知：， ． 50．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，，，平分，于点D． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， ， ， ∴为等腰三角形， ， ；     （2）      【分析】 （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出相关角的度数，证明为等腰三角形，利用三线合一即可得出结论； （2）过点作交于点，利用含角的直角三角形的性质，得出，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作交于点， ， ， ， 中，， ， 由勾股定理得，， 平分，且，， ． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 51．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 52．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，是的角平分线，E是延长线上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等边对等角、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，再利用等量代换以及三角形外角的性质即可证明． 【详解】 略 53．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求． 【详解】 解：如下图所示，连接， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， 又和为两个全等的等腰直角三角形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 54．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）在等腰三角形ABC中，，则的度数为　　　　　　． 【答案】45°或72° 【分析】 分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 【详解】 解：设，则， 当是顶角时，， 即：， 解得：， 此时； 当是底角时，， 即， 解得：， 此时， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解题关键，难度不大． 55．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为　　　　　　． 【答案】或或或 【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用和分类思想的运用．因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 【详解】 解：如图① ，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图② ，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③ ，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④ ，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 56．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F． （1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA （2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小； （3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵点B关于直线CD的对称点为E ∴CD垂直平分BE， ∴， 在和中 ∴ ∴，∠BCD＝∠ECD 又∵AC＝BC ∴AC＝EC ∴∠CAE＝∠CEA； （2）45°； （3）AE＝CD，证明： 连接BF        ∵AC＝AD，AC＝BC         ∴AD＝BC ∵CD垂直平分BE， ∴FE＝FB      ∴∠AFD＝∠BFD 由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45° ∴∠BCD＝∠FAD＝α    在△ADF和△CBF中 ∴△ADF≌△CBF ∴AF＝CF，DF＝BF＝EF      ∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD． 【分析】 （1）根据轴对称的性质，得，，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）设∠BCD＝α，结合题意，得；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案； （3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α ∵∠ACB＝90° ∴ ∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α ∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α， ∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°； （3）略 【点睛】 本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解． 57．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，在中，，，若点、都在直线上，且，，则的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分四种情况：① 当点、都在线段上时，② 当点在线段上、点在延长线上时，③ 当点在线段上、点在延长线上时，④ 当点、都在延长线上时，分别画图求解． 【详解】 解：① 当点、都在线段上时，如图： ， ， ， ， ， ． ② 当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ③ 当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ④ 当点、都在延长线上时，如图： ， ， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 58．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图1，中，，，点D是边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 【答案】（1）     （2）的长为或     （3）      【分析】 （1）根据旋转可得，，则通过角的转换可得，即可证明，则，进而即可得解； （2）先根据题意求出，再过点A作于点G，当是直角三角形时，可分为两种情况求解，分别为：当时和当时，进行列方程求解即可； （3）如图，取中点G，连接，由“”可证，可得，则当时，有最小值，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：∵线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 过点A作于点G， 由题意可知，当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴； 当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 综上所述，的长为或； (3) 小问详解： 解：如图，取中点G，连接， ，点是中点，点是中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 有最小值时，也有最小值， 当时，有最小值． ，， ，，， ，， 线段长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的性质和一元一次方程的应用，熟知以上知识点并熟练的运用是解决本题的关键． 59．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：① 当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；② 当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③ 当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④ 当时，同③ 理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ① 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ② 当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③ 当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④ 当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③ 理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 60．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）中，，，为的中线，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；过点作交的延长线于点，则，连接，证明是等边三角形，是等腰直角三角形，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，则，连接， ∵ ∴， ∵为的中线， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 62．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）小明学习了八年级上册“第1章三角形”后，进行了如下问题探究，请你完成“小明的探究题”： （1）【模型探索】如图1，在中，D为的中点，连接并延长至点G，使得，连接．判断与的关系，并证明你的结论． （2）【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． （3）【模型拓展】如图3，在中，点D在边上，且，连接并延长至点G，使得，连接．求证：． 【答案】（1） 解：， 理由：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 综上，，；     （2） 证明：延长至点，使，连接，     由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ；     （3） 证明：取中点E，连接，延长至点F，使，连接， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴，， 延长至点H，使，连接，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明； （3）取中点E，连接，延长至点F，使，连接，证明，得出，，延长至点H，使，连接，则，证明，得出，，则，根据平行线的性质以及补角的性质可得出，证明，得出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 63．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）（1）如图1，，，，．求证：； （2）如图2，中，点P为三角形内一点，交于点Q，过点P的直线交，于点D，E，若，，求； （3）如图3，在（1）的条件下，点G为边上的动点，连接，，点N为中点，以为斜边，在上方作等腰直角，在点G从点C运动到点B的过程中，的大小是否发生改变，如不改变，求出的大小，如发生改变，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） （3）不变， 【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）四边形的内角和为360度，求出，进而求出的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数； （3）延长至点，使，连接并延长于点，连接，先证明，推出，，进而推出，再证明，得到，求出，得到为等腰直角三角形，求出，即可． 【详解】 （1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长至点，使，连接并延长于点，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴在点G从点C运动到点B的过程中，的大小不发生改变，始终为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质证得，结合全等的性质求解即可． 【详解】 解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，已知与均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等，得到，根据，证得，即可得到① 正确，同理证得，得到是等边三角形，易得③ 正确，根据三角形外角性质即可得出② 正确，利用全等三角形的性质判定得出④ 不正确． 【详解】 解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴③ 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴② 正确． ∵，而、不是对应边， ∴O到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故结论④ 不正确． 故选：C． 4．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，由直角三角形的性质得到，则可证明：，据此可判断①； ②设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②； ③可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③； ④ 连接并延长交于，则点为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】 解：① 如图，连接， 是的中点， 点在的垂直平分线上， 的垂直平分线一定与相交于点，故①正确，符合题意； ② 设 ，故②正确，符合题意； ③为的中点， ，是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形，故③正确，符合题意； ④ 如图 2，连接并延长交于点， 为的中点，为的中点， 点为的中点， 由③知：当为中点时，是等边三角形， ， 在中， ， 为的中点， ，故④ 不正确，不符合题意． 综上，正确的选项是① ② ③ ，共3个， 故选：C． 5．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是　　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【详解】 解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·江苏南京·期中）（多选）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【详解】 分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 7．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，是等边三角形，点在的延长线上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）由题意可以得到，从而得到； （2）分别过作、的垂线、，由（1）及勾股定理可以求得、的值，然后根据三角形面积计算方法及可以得到四边形的面积 ． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ， ， ， 过点作于，过作，交延长线于， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键． 8．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． （1）如图1，当______时，是直角三角形； （2）如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； （3）如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】（1）5     （2）当是直角三角形时，的值为或；     （3） 解：和的面积相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， ∴， 由运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即和的面积相等． 【分析】 （1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可； （2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可； （3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系． (1) 小问详解： 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 若是直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，或， 若，则， ∴， ∴， 解得， 此时，点和点重合，点为的中点， 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴当是直角三角形时，的值为或． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质． 9．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，，求的长； （2）延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 【答案】（1）     （2） 解：如图所示． 的垂直平分线分别交，于点，， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由的垂直平分线分别交，于点，，可得，已知，，，利用勾股求得，设，则，利用勾股定理求得即可． （2）由的垂直平分线分别交，于点，，可得，由，可得，根据等角的余角相等，可得，进一步证得，所以，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示． 在中，，，， ． 的垂直平分线分别交，于点，， ． 设，则， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． (1) 小问详解： 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． (3) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】 解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 12．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求点A与，点B与，点C与分别对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； （3）在直线l上找到一点Q，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见图，即为所求     （2）4     （3）见图，点Q即为所求      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格，作线段的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：由图可知，，，，满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． (3) 小问详解： 如图，点Q即为所求． 13．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数． 【详解】 ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°， ∵AD＝BE， ∴BD＝CE， ∵在△ACE和△CBD中 ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）， ∴∠CAE＝∠BCD， ∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF， ∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°， ∵AG⊥CD， ∴∠AGF＝90°， ∴∠FAG＝90°−60°＝30°． 故答案为30°． 【点睛】 本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】110 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等边和角的度数，证明，得出相等的角，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 15．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）【课本再现】苏科版教材八年级上册第50页第6题：如图①，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上．判断和是否相等． 结论：___________．（填“是”或“否”） 【初步探究】如图②，若与交于点，与交于点，与交于点，连接． 以下结论： ①；②；③是等边三角形；④． 恒成立的结论有___________．（填序号） 【深入探究】如图③，若，，不在一条直线上．其他条件不变，是否变化？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由． 【答案】（1）是；（2）① ② ③ ；（3）不变， 【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定① 成立，，又，可得是等边三角形，可判定③ 成立；，则，可得，可判定② 成立；由于点O不一定是的中点，可判定④ 不是恒成立； （3）交于，由（1）知：，又，，则，即可求得． 【详解】 解：（1）是．理由： ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 故答案为：是． （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故① 成立； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③ 成立； ∵， ∴， ∴， 故② 成立； 由于点O不一定是的中点， 故④ 不是恒成立； 故答案为：① ② ③ ． （3）设交于，如图， 和均为等边三角形， ，，    ， ． 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 16．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，有，即；作P点关于的对称点，作交于N点，交于点，连接，得出，得出此时的最小值为的长，求出的长即为解答． 【详解】 解：如图：关于的对称点，作交于N点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，此时的最小值为的长， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠变换、勾股定理、含30°角的直角三角形、轴对称−路线最短问题等知识点，正确作出辅助线构造轴对称−路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键． 17．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：若点P满足，则称P为线段的“轴点”，其中，当时，称P为线段的“远轴点”；当时，称P为线段的“近轴点”． （1）如图1，点A，B的坐标分别为，则在中，线段的“近轴点”是． （2）如图2，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，． ①若P为线段的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围； ②点C为y轴上的动点（不与点B重合且），若Q为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点Q的坐标． 【答案】（1）     （2）或；②      【分析】 先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案： (2) ① 先画出等边,再求出点的坐标，进而可得答案； ② 先判断出点在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可. (1) 小问详解： 解：如图，作等边， 点的坐标分别为, 在中，, 点, 同理可得：, 当点在线段上时，点是“近轴点”， 和是”近轴点”， 故答案为：; (2) 小问详解： 解：① 如图2-1， 以为边作等边， 设,则, 在中，, 解得(舍负)， 在等边中， 点的坐标为, 同理可得, 若为线段的“远轴点”， 点的横坐标的取值范围为或. 故答案为：或. ② 如图2-2，由题意点在线段的垂直平分线上.连接. 点在的垂直平分线上， 根据垂线段最短可知：当共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点就是的垂直平分线与轴的交点, 在的垂直平分线上， , 点的坐标为, 当点的坐标为时，的值最小， 故答案为：. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，30°的特殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 18．（25-26学年八上·江苏南通·期中）已知，是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． （1）当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为            °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系：                     ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； （2）当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 【答案】（1），；见解析     （2）或5      【分析】 （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据可得出；根据得，由三角形内角和定理得，进而得，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出线段和的数量关系；过点F作交延长线于M，连接，则，由等腰三角形性质得，，由（1）可知，则，由此依据“”判定得，由此可判定，然后再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据，设，，则，再分两种情况讨论如下：① 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，设，则，同（1）证明，得，，再根据得，由此解出解得得，据此可得；② 当点E在的延长线时，过点F作交于点H，则，进而得，再证明，则可依据“”判定得，，继而得，然后证明得，则，据此可得，综上所述即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图1所示： 是等边三角形， ，． ． ，且点F在直线的上方，的度数为，， ． ． 线段和的数量关系是：，理由如下： ， ． 在中，，的度数为， ． ． 在和中， ． ． 故答案为：；； 证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示： 是等边三角形，点E为边上的中点时，，， 即． 由可知：． ． 在和中， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 即； (2) 小问详解： 解：， ∴设，， ， ∵点E在射线上运动， ∴有以下两种情况： 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3① 所示： 设，则， 同（1）证明：，， ，． ， ． 解得：， ． ． ② 当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3② 所示： ． ． ， ． ，， ． 在中，， ． 在和中， ． ，． ． 在和中， ． ． ． ． 综上所述：的值为或5． 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $