专题02 全等三角形、角平分线（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

**基本信息** 专题聚焦全等三角形及角平分线三大高频考点，汇编江苏多地期中真题，覆盖性质、判定及应用，基础题与综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|32|全等性质（对应边/角）、判定（SSS/SAS/ASA）、角平分线性质|结合尺规作图（如作角等于已知角）考查全等判定依据| |填空|19|全等性质计算、角平分线应用|通过图形变换（如翻折）强化性质理解| |解答|30|全等证明、实际测量（如池塘距离）、作图探究|联系生活情境（如测量河宽）体现应用价值，综合考查推理与作图能力|

专题02 全等三角形、角平分线 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，已知两个三角形全等，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，，，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，，若，，则CD的长度为（       ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 4．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，，，，则为（     ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 5．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，，点A与D，B与E分别是对应顶点，且，，则BE长为（　　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 7．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）下列命题中，假命题是（     ） A. 全等三角形的面积相等 B. 等角的余角相等 C. 两锐角之和一定是钝角 D. 两直线平行，同旁内角互补 8．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）若，，则　　　　　　　　　　　　°． 10．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，已知与全等，那么　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）已知：，若，，则　　　　　　　　　　°． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江苏常州·期中）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 5．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，要测量河两岸相对的A、B两点间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使，从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点E与A、C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长，判定最直接的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）根据下列已知条件，能画出唯一 的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 10．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（       ） A. 甲、乙全等，丙、丁全等 B. 甲、乙全等，丙、丁不全等 C. 甲、乙不全等，丙、丁全等 D. 甲、乙不全等，丙、丁不全等 12．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）根据下列已知条件，能唯一画出的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 14．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（     ） A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 15．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（       ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 边上的高 18．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是　　　　　　． 19．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，点、、、在同一直线上，，，． 求证：． 20．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，与交于点O，若，，证明：． 21．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图所示，已知E是上的一点，，请再添加一个条件：　　　　　　　　，使得． 22．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 23．（25-26学年八上·江苏南通·期中）我们知道，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．请对此判定方法加以证明． 已知：如图，在中，． 求证：． 24．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图， 点A， F， C， D在同一直线上， 点B和点E分别在直线的两侧， 且．求证： 26．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD．求证：AD是△ABC的中线． 27．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是　　　　　　． 28．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 29．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件　　　　　　，使得．（只添一种情况即可） 30．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，，，，求证：． 31．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且，，，求证：． 32．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）（多选）如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为　　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 35．（25-26学年八上·江苏南通·期中）方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为　　　　　． 36．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为　　　　　　． 37．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）已知直线外一点，请用三种不同方法过点作已知直线的平行线． (要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．) 38．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）已知：如图，，，．求证：， 39．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，点，在上，， ，． （1）求证：； （2）若，，试比较与的大小关系，并说明理由． 40．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 41．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，，，．求证：． 42．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 43．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，、相交于点O，，．求证：． 44．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在四边形中，． （1）若为的中点，，求证：平分； （2）若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 45．（25-26学年八上·江苏南京·期中）探究等腰三角形全等的条件． （1）下列命题中，是真命题的有___________（填序号）、 ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等两个等腰三角形全等． （2）如图，已知，展示的线段为； ①底角为，腰上的高为； ②底角为，底角的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法） （3）证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，与是的高，与是的高，且．求证：． 【知识补充】如图，若点和分别为的中点，则，． 46．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，已知直线，和点． 作线段，使点、分别在直线，上，且为的中点． （要求：用直尺和圆规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 47．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 48．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，连接，，相交于点，求证：； （2）如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 49．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．    （1）求与的数量关系，并写出理由． （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由． （3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系                       ． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 2．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（       ） A. 线段、的交点 B. 、角平分线的交点 C. 线段、垂直平分线的交点 D. 线段、垂直平分线的交点 3．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 10 4．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 5．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，已知，点为上一点，，，，则的值为（     ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点，再分别以点为圆心，取大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，点在上，连接，且，若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 9．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 11．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与点A重合，D、E分别在边上，沿画射线交于P，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于Q，若，，则             ． 12．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，若，，则点D到的距离为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若的面积为，，求的长． 16．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 17．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）（多选）如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F． （1）求∠DFE的度数； （2）求证：EF＝DF． 18．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，已知，请按要求用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图1中，求作线段，点D在边上，使得将分成面积相等的两部分； （2）在图2中，在边上确定一点P，使得点P到边、的距离相等． 20．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）操作与思考： （1）已知，在的平分线上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等． ①在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点D； ②在①的基础上，作，，垂足分别为E、F，求证：．利用图2作分析． （2）已知，若点D在下方，连接，若，，，点D到的距离为3，直接写出四边形的面积． 21．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 22．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）【教材原题】 （1）如图①，是的角平分线，点 是 延长线上一点，．求证：． 【原题再探】 （2）若，，则，； 【迁移应用】 （3）如图②，已知点 是 的边 延长线上一点，仅用无刻度直尺和圆规，在边 上找出一点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法） （4）规定：若某个三角形的两个内角和，满足，则称该三角形为“半角余量三角形”． 如图③，点 是直线 上一点，点 在直线 外，在直线上是否存在一点 ，使为“半角余量三角形”？如果存在请直接写出的度数，如果不存在请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形、角平分线 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，已知两个三角形全等，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【详解】 解：两个三角形全等， ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，，，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据性质直接得到． 【详解】 ∵，， ∴， 故选B． 3．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，，若，，则CD的长度为（       ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【分析】 由全等的性质可得，，则由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】 ， ，， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，掌握对应边相等的性质是关键． 4．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，，，，则为（     ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，找到对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等可得，然后根据，代入数据计算即可得解． 【详解】 解：， ， ． 故选：D． 5．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】 解：， ， ∵， ． 故选：A． 6．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，，点A与D，B与E分别是对应顶点，且，，则BE长为（　　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【分析】 由全等三角形的性质可知，然后问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 7．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）下列命题中，假命题是（     ） A. 全等三角形的面积相等 B. 等角的余角相等 C. 两锐角之和一定是钝角 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【分析】 本题主要考查了真假命题的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理是解题的关键． 【详解】 解：A. 全等三角形的面积相等，此命题为真命题，不合题意；        B. 等角的余角相等，此命题为真命题，不合题意；        C. 两锐角之和不一定是钝角，故原命题是假命题，符合题意；        D. 两直线平行，同旁内角互补，此命题为真命题，不合题意； 故选：C 8．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质得，，进而根据三角形的内角和定理得，从而即可得解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）若，，则　　　　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应角相等，由可知与是对应角，因此． 【详解】 解：， （全等三角形的对应角相等）． ， ． 故答案为：50． 10．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，已知与全等，那么　　　　　　　． 【答案】45 【分析】 本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵，与全等， ∴边长为10的两个夹角分别是和， ∴， 故答案为：45． 11．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）已知：，若，，则　　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】 解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 2．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】 解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 3．（25-26学年八上·江苏常州·期中）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等． 【详解】 解：利用基本作图和作图痕迹可知两个三角形中有三条边对应相等， 则证明全等的方法是． 故选：B． 4．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】 解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】 本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 5．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定综合，根据，得，再根据以及选项添加的条件进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、∵，∴，即，∵，，∴不能判定，故该选项符合题意； B、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 6．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． ，由于对顶角相等得到，然后根据“”添加条件即可． 【详解】 解：，， A、当添加时，不能证明；        B、当添加时，，不能用证明； C、当添加时，，不能用证明； D、当添加时，能证明． 故选：D． 7．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，要测量河两岸相对的A、B两点间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使，从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点E与A、C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长，判定最直接的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意有，，，从而通过“”证明． 【详解】 解：∵，， ∴， 在和中 ∴． 故选：A 8．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，即可判断B、C，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断A，只有当时，，即可判断D． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ∴，故C正确，不符合题意， ，， ， ，故B正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故A正确，不符合题意； 只有当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）根据下列已知条件，能画出唯一 的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：A、∵， ∴，，这三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、，，，根据不能判断三角形全等，不能画出唯一的三角形，不符合题意； C、，，，可以根据证明三角形全等，可以画出唯一的三角形，符合题意； D、，，不能根据全等三角形的判定定理证明三角形全等，不能画出唯一的三角形，不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】 解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（       ） A. 甲、乙全等，丙、丁全等 B. 甲、乙全等，丙、丁不全等 C. 甲、乙不全等，丙、丁全等 D. 甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【分析】 根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答． 【详解】 解：，，为公共边， ，即甲、乙全等； 中，，即， 虽，， 不全等于，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键． 12．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）根据下列已知条件，能唯一画出的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查三角形的三边关系和三角形全等判定的应用．根据全等三角形的判定方法可知只有D能画出三角形． 【详解】 解：A、∵，∴不能画出，该选项不符合题意； B、已知和的对角，不能画出，该选项不符合题意； C、直角边大于斜边，不能画出，该选项不符合题意； D、已知两角和夹边，能画出，该选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【详解】 A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 14．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（     ） A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】 解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 15．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 16．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，，，要使，只需要添加一个条件，这个条件不能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， A．，，添加时，根据判定，故不符合题意； B．，，添加时，根据判定，故不符合题意； C．，，添加时，不能由判定，故符合题意； D．，，添加时，根据判定，故不符合题意； 故选：C． 17．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（       ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 边上的高 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，作，交的延长线于点，证明，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】 解：过点作，交的延长线于点，    则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故只需知道的长度即可得到的面积； 故选C． 18．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 19．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，点、、、在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明：， ，        ， ，即，        在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，进而可证明，则由全等三角形的性质即可证明． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，与交于点O，若，，证明：． 【答案】证明：在和中， ∵，，， ∴． 【分析】 本题主要查了全等三角形的判定．利用边角边证明，即可． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图所示，已知E是上的一点，，请再添加一个条件：　　　　　　　　，使得． 【答案】 【分析】 根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可。 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。 【详解】 解：添加， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）。 22．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·江苏南通·期中）我们知道，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．请对此判定方法加以证明． 已知：如图，在中，． 求证：． 【答案】证明：作，交于点， 在和中，， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先写好已知条件，再作，交于点，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】 解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图， 点A， F， C， D在同一直线上， 点B和点E分别在直线的两侧， 且．求证： 【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定；根据直角三角形中进行判定即可． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD．求证：AD是△ABC的中线． 【答案】证明：∵AF∥BC， ∴∠F=∠DCE， ∵E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=DC， 即AD是△ABC的中线． 【分析】 由题意易得∠F=∠DCE，AE=DE，然后可证△AFE≌△DCE，则有AF=DC，进而问题可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中线，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形的中线是解题的关键． 27．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 【详解】 解：依据得到，添加，理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】证明： ， ， ， 在与中， ． 【分析】 由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 29．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件　　　　　　，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 30．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角的判定，由，可证，再利用“”证明即可． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是解题的关键； 根据线段的和差可得，根据平行线的性质可得，进而可证，推出，即可得到结论． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）（多选）如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是　　　　　　　　　． 【答案】BD=CD 【详解】 BD=CD， 理由是：， ∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为BD=CD． 33．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】70 【分析】 本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点、、在同一直线上，且时，的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】 解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， ∴， ， ， ， ， 故答案为：70． 34．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可证，根据可证； （2）根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等两直线平行，可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·江苏南通·期中）方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故答案为：6． 36．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为　　　　　　． 【答案】28 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，延长和交于点F，证明，推出，由此得到，，进而可得结论． 【详解】 解：如图，延长和交于点F， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， 故答案为：28． 37．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）已知直线外一点，请用三种不同方法过点作已知直线的平行线． (要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．) 【答案】解：如图，直线即为所求． 方法一：作，可以推出； 方法二：在直线上任取点A，连接的垂直平分线，直线于点B，交于点O，截取，连接，则； 证明：直线是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， 内错角相等两直线平行． 方法三：过直线外任意一点作直线的垂线，再过点P作该垂线的垂线， 作根据垂直于同一条直线的两条直线平行，可以推出； 【分析】 本题考查了作一个角等于已知角，垂直平分线，全等三角形的性质与判定，构造同位角相等，内错角相等，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，即可求解． 【详解】 略 38．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）已知：如图，，，．求证：， 【答案】证明：， ， 在和中 ， ∴， ． 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．首先得出，进而利用全等三角形的判定方法得出即可． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，点，在上，， ，． （1）求证：； （2）若，，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由，得； 在和中， ， ， ．     （2） ，理由如下： 由（1）知， ，，， ， 大角对大边，在中， ， ．      【分析】 本题考查了考查平行线性质、全等三角形判定（）、三角形内角和与大角对大边．解题关键是结合已知条件证全等；易错点是混淆全等判定条件，或忽略“大角对大边”的应用条件． （1）由得，结合、，用证，得； （2）先由全等得对应角相等，再用三角形内角和求，通过“大角对大边”比较边长，得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ． 41．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】 本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】 略 43．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，、相交于点O，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． 先证明得到，进而证出，即可证明． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在四边形中，． （1）若为的中点，，求证：平分； （2）若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：证明：延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 平分；     （2） 是等边三角形．理由如下： 点是中点， ， ，， ，， ， ，且， ， ， ，且， ， ，且， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年八上·江苏南京·期中）探究等腰三角形全等的条件． （1）下列命题中，是真命题的有___________（填序号）、 ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等两个等腰三角形全等． （2）如图，已知，展示的线段为； ①底角为，腰上的高为； ②底角为，底角的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法） （3）证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，与是的高，与是的高，且．求证：． 【知识补充】如图，若点和分别为的中点，则，． 【答案】（1）③ ④     （2） 解：① 如图，即为所求． ② 如图，即为所求． ； ③ 如图，即为所求． ；     （3） 证明：取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点， ∵与是等腰三角形，是的高，，，是的高， ∴，，，， ∴，，，， ∵是的高，是的高， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据三角形全等的判定定理即可判断哪个选项是正确的； （2）① 作，在上取点，作并在上截取，作交于点，作交于点，此时，作交于点C，即为所求； ② 作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求； ③ 作，以为圆心，长为半径作弧交的两边为和，在上取点，作交于点，以为圆心，长为半径作弧与以为圆心，长为半径的弧交于点，连接分别交和于点和，再作并交于点，延长交于点C，即为所求； （3）取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点，先后证明，得到，，得到，再利用即可证明． (1) 小问详解： 解：① 两腰分别相等的两个等腰三角形，因为顶角不一定相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ② 两个底角分别相等的两个等腰三角形全等，也就是说两个三角形三个角对应相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ③ 一腰与底边分别相等的两个等腰三角形，则利用能判定两个三角形全等，是真命题； ④ 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，则两个三角形中三个角对应相等，并且底边对应相等，那么可以利用SAS或者AAS来证明两个三角形全等，是真命题． 故答案为：③ ④ ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长线段构造全等三角形是本题的解题关键． 46．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，已知直线，和点． 作线段，使点、分别在直线，上，且为的中点． （要求：用直尺和圆规作图：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】如图，线段即为所求： 方法：过点作直线交直线于点，作直线，以为圆心，为半径作弧交直线于点，在上截取，过点作直线，直线交直线于点，连接，延长交直线于点，线段即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 构造平行线，构造全等三角形解决问题图形即可． 【详解】 解：理由如下： 此时， ∴，，， ∴， ∴， ∴为的中点． 47．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 【答案】（1）等边三角形； （2）如图，在边上截取，连接． 是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ∴， 即， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ， 是等边三角形； （3）如下图，在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作； 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，较复杂的尺规作图，熟知相关性质及正确作出辅助线是关键． （1）根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）在边上截取，连接，根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明是等边三角形，然后得出相等边和角，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作． 【详解】 解：（1）根据以上数据，猜想：是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2） 略 （3）理由： 由作法可知：，， ∴是等边三角形三角形， 由前面的过程可知：、是等边三角形， ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即， 同理可证， ∵，， ∴不合题意， ∴即为求作． 48．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，连接，，相交于点，求证：； （2）如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：交于I， 和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （2） ，理由如下： 连接，， ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴，， 由(1)可知， ∴， ∵ G是的中点， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴． 【分析】 考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定（）、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一．解题关键是通过角的和差证角相等，结合已知条件证全等；利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，再用三线合一证垂直．易错点是忽略角的和差转化，或混淆直角三角形斜边中线的应用条件． （1）由等腰直角三角形得，结合、，用证，得；通过对顶角相等，将转化为，证． （2）连接、，由等腰直角三角形斜边中线性质得，由得，故；结合H是中点，用等腰三角形三线合一证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．    （1）求与的数量关系，并写出理由． （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，请猜想、、三条线段间的数量关系，并写出理由． （3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是直线、上的点，且，请直接写出、、三条线段间的数量关系                       ． 【答案】（1） 解：，理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：、、三条线段间的数量关系为：， 如图2，延长至点，使，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，再利用证明，从而可得出，进而可得，从而可得； （2）先分别证明，，结合全等三角形的性质可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得出，，再证明，根据全等三角形的性质可得出，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下： 如图3，在上截取，连接，    同理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】 解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】 此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 2．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（       ） A. 线段、的交点 B. 、角平分线的交点 C. 线段、垂直平分线的交点 D. 线段、垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】 由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D． 【详解】 解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等； 故选：B 【点睛】 本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 3．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 10 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解． 【详解】 解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 4．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【分析】 根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】 解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 5．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，已知，点为上一点，，，，则的值为（     ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质． 过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，由已知可得，根据角平分线的性质可得，由三角形的面积公式可得，从而可得的值． 【详解】 解：过点作，交延长线于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设点到的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 7．（25-26学年八上·江苏苏州四·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点，再分别以点为圆心，取大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，点在上，连接，且，若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，由角平分线的性质可得，进而证明，得，设，则，得到，再证明，得到，即得，解方程即可求解，掌握角平分线的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， 故选：． 8．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 9．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】 解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 10．（25-26学年八上·江苏南通·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 11．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与点A重合，D、E分别在边上，沿画射线交于P，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于Q，若，，则             ． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∴是的平分线；     （2）1      【分析】 要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理， 对于（1），根据“边边边”证明，则此题可解； 对于（2），作，根据角平分线性质定理得，再根据面积相等得，然后代入数值可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点P作，交于点F， ∵是的平分线，， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 12．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】 解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 13．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，若，，则点D到的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离为． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为　　　　　　　　　． 【答案】130° 【分析】 根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】 解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°． 故答案为：130°． 【点睛】 本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 15．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若的面积为，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟悉掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，于点，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】 解：过点作，于点，如图所示： ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 16．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示：      （2）28      【分析】 考查角平分线作图、角平分线性质、三角形面积．关键是用角平分线性质转化高，易错点是忽略点D到的距离等于． （1）作平分线，作，交点为D； （2）拆分四边形面积为：用算面积，利用角平分线性质算面积，相加得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． ， ； 又是的平分线，点D到、的距离相等且，故 ； 因此，四边形的面积． 故答案为：28． 17．（25-26学年八上·江苏苏州吴中区·期中）（多选）如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F． （1）求∠DFE的度数； （2）求证：EF＝DF． 【答案】（1）120°； （2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q， ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴FP＝FG＝FQ， ∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°， ∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°， ∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°， ∴∠FEP＝∠FDQ， 在△FEP与△FDQ中， ， ∴△FEP≌△FDQ（AAS）， ∴EF＝DF． 【分析】 （1）由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°； （2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论． 【详解】 （1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°， ∴∠DFE＝∠BFC＝120°； （2） 略 【点睛】 此题主要考查全等三角形与角平分线的性质综合，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边距离相等． 18．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作的延长线于，则，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图，作的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，已知，请按要求用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图1中，求作线段，点D在边上，使得将分成面积相等的两部分； （2）在图2中，在边上确定一点P，使得点P到边、的距离相等． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求：      （2） 如图所示，点P即为所求： 【分析】 本题考查了尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线和角平分线的方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线交边于点D，连接，则线段即为所求； （2）作的角平分线交边于点P，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）操作与思考： （1）已知，在的平分线上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等． ①在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点D； ②在①的基础上，作，，垂足分别为E、F，求证：．利用图2作分析． （2）已知，若点D在下方，连接，若，，，点D到的距离为3，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） ① 点D即为所作； ② 证明：如图，连接，， ∵是的平分线，且，， ∴， 由作图知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 （1）① 利用尺规作图作出的垂直平分线交的平分线于一点，即可得解； ② 利用线段垂直平分线的性质得到，利用平分线的性质得到，再利用证明即可推出； （2）如图，作，，垂足分别为E、F，证明，推出，再利用三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图，作，，垂足分别为E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D到的距离为3， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】 本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线是解题的关键． 21．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 【答案】（1） 解：如图，是的角平分线；      （2）2.5     （3）或或8      【分析】 （1）直接运用角平分线的画法作图即可； （2）如图，过点P作于点M，先利用勾股定理求出，证明得到：，则，设则，由勾股定理得，然后解方程以及并计算时间即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点P作于点M， ，，， ， ， ， 点P在的角平分线上，， ， 又， ， ， ， ，则， 在中，， ， 解得：， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； (3) 小问详解： 解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得：， 当作为腰时，如图所示： ，此时， 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或． 【点睛】 本题主要考查了基本作图——角平分线的画法、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 22．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）【教材原题】 （1）如图①，是的角平分线，点 是 延长线上一点，．求证：． 【原题再探】 （2）若，，则，； 【迁移应用】 （3）如图②，已知点 是 的边 延长线上一点，仅用无刻度直尺和圆规，在边 上找出一点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法） （4）规定：若某个三角形的两个内角和，满足，则称该三角形为“半角余量三角形”． 如图③，点 是直线 上一点，点 在直线 外，在直线上是否存在一点 ，使为“半角余量三角形”？如果存在请直接写出的度数，如果不存在请说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）108；72 （3）如图，点D即为所求； （4）或或或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，外角性质，角平分线的定义，新定义“半角余量三角形”，尺规作图-作一个角的平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义可得：，再由三角形外角的性质和等量代换可得结论； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解答； （3）作平分，交于D，则点D即为所求； （4）分两种情况讨论，点P在左侧和右侧，设，则，再根据为半角余量三角形列方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：108，72； （3）设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）存在，理由如下: 当点P在右侧时，是“半角余量三角形”，， 设，则 ①，即，解得； ②，即，解得； ③，即，解得； ④，即，解得； ⑤，即，解得； ⑥，即，解得； 当点P在左侧时，是“半角余量三角形”，， ∴， 设，则 ①，，解得； ②，，解得（舍）； ③，，解得； ④，，解得（舍）； ⑤，，解得（舍）； ⑥，，解得（舍） 综上所述，的度数分别是或或或． 试卷第1页，共3页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形、角平分线 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．D 9．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应角相等，由可知与是对应角，因此． 【详解】 解：， （全等三角形的对应角相等）． ， ． 故答案为：50． 10．【答案】45 【分析】 本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵，与全等， ∴边长为10的两个夹角分别是和， ∴， 故答案为：45． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D 13．D 14．D 15．C 16．C 17．C 18．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 19．【答案】证明：， ，        ， ，即，        在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，进而可证明，则由全等三角形的性质即可证明． 【详解】 略 20．【答案】证明：在和中， ∵，，， ∴． 【分析】 本题主要查了全等三角形的判定．利用边角边证明，即可． 【详解】 略 21．【答案】 【分析】 根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可。 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。 【详解】 解：添加， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）。 22．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 23．【答案】证明：作，交于点， 在和中，， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先写好已知条件，再作，交于点，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】 略 24．【答案】 【分析】 本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】 解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 25．【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定；根据直角三角形中进行判定即可． 【详解】 略 26．【答案】证明：∵AF∥BC， ∴∠F=∠DCE， ∵E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=DC， 即AD是△ABC的中线． 【分析】 由题意易得∠F=∠DCE，AE=DE，然后可证△AFE≌△DCE，则有AF=DC，进而问题可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中线，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形的中线是解题的关键． 27．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 【详解】 解：依据得到，添加，理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 28．【答案】证明： ， ， ， 在与中， ． 【分析】 由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 29．【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 30．【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角的判定，由，可证，再利用“”证明即可． 【详解】 略 31．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是解题的关键； 根据线段的和差可得，根据平行线的性质可得，进而可证，推出，即可得到结论． 【详解】 略 32．【答案】BD=CD 【详解】 BD=CD， 理由是：， ∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为BD=CD． 33．【答案】70 【分析】 本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点、、在同一直线上，且时，的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】 解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， ∴， ， ， ， ， 故答案为：70． 34．【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可证，根据可证； （2）根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等两直线平行，可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．【答案】6 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故答案为：6． 36．【答案】28 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，延长和交于点F，证明，推出，由此得到，，进而可得结论． 【详解】 解：如图，延长和交于点F， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， 故答案为：28． 37．【答案】解：如图，直线即为所求． 方法一：作，可以推出； 方法二：在直线上任取点A，连接的垂直平分线，直线于点B，交于点O，截取，连接，则； 证明：直线是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， 内错角相等两直线平行． 方法三：过直线外任意一点作直线的垂线，再过点P作该垂线的垂线， 作根据垂直于同一条直线的两条直线平行，可以推出； 【分析】 本题考查了作一个角等于已知角，垂直平分线，全等三角形的性质与判定，构造同位角相等，内错角相等，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，即可求解． 【详解】 略 38．【答案】证明：， ， 在和中 ， ∴， ． 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．首先得出，进而利用全等三角形的判定方法得出即可． 【详解】 略 39．【答案】（1） 证明：由，得； 在和中， ， ， ．     （2） ，理由如下： 由（1）知， ，，， ， 大角对大边，在中， ， ．      【分析】 本题考查了考查平行线性质、全等三角形判定（）、三角形内角和与大角对大边．解题关键是结合已知条件证全等；易错点是混淆全等判定条件，或忽略“大角对大边”的应用条件． （1）由得，结合、，用证，得； （2）先由全等得对应角相等，再用三角形内角和求，通过“大角对大边”比较边长，得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ． 41．【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】 略 42．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】 本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】 略 43．【答案】证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． 先证明得到，进而证出，即可证明． 【详解】 略 44．【答案】（1） 解：证明：延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 平分；     （2） 是等边三角形．理由如下： 点是中点， ， ，， ，， ， ，且， ， ， ，且， ， ，且， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．【答案】（1）③ ④     （2） 解：① 如图，即为所求． ② 如图，即为所求． ； ③ 如图，即为所求． ；     （3） 证明：取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点， ∵与是等腰三角形，是的高，，，是的高， ∴，，，， ∴，，，， ∵是的高，是的高， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据三角形全等的判定定理即可判断哪个选项是正确的； （2）① 作，在上取点，作并在上截取，作交于点，作交于点，此时，作交于点C，即为所求； ② 作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求； ③ 作，以为圆心，长为半径作弧交的两边为和，在上取点，作交于点，以为圆心，长为半径作弧与以为圆心，长为半径的弧交于点，连接分别交和于点和，再作并交于点，延长交于点C，即为所求； （3）取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点，先后证明，得到，，得到，再利用即可证明． (1) 小问详解： 解：① 两腰分别相等的两个等腰三角形，因为顶角不一定相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ② 两个底角分别相等的两个等腰三角形全等，也就是说两个三角形三个角对应相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ③ 一腰与底边分别相等的两个等腰三角形，则利用能判定两个三角形全等，是真命题； ④ 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，则两个三角形中三个角对应相等，并且底边对应相等，那么可以利用SAS或者AAS来证明两个三角形全等，是真命题． 故答案为：③ ④ ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长线段构造全等三角形是本题的解题关键． 46．【答案】如图，线段即为所求： 方法：过点作直线交直线于点，作直线，以为圆心，为半径作弧交直线于点，在上截取，过点作直线，直线交直线于点，连接，延长交直线于点，线段即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 构造平行线，构造全等三角形解决问题图形即可． 【详解】 解：理由如下： 此时， ∴，，， ∴， ∴， ∴为的中点． 47．【答案】（1）等边三角形； （2）如图，在边上截取，连接． 是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ∴， 即， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ， 是等边三角形； （3）如下图，在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作； 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，较复杂的尺规作图，熟知相关性质及正确作出辅助线是关键． （1）根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）在边上截取，连接，根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明是等边三角形，然后得出相等边和角，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作． 【详解】 解：（1）根据以上数据，猜想：是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2） 略 （3）理由： 由作法可知：，， ∴是等边三角形三角形， 由前面的过程可知：、是等边三角形， ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即， 同理可证， ∵，， ∴不合题意， ∴即为求作． 48．【答案】（1） 证明：交于I， 和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （2） ，理由如下： 连接，， ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴，， 由(1)可知， ∴， ∵ G是的中点， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴． 【分析】 考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定（）、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一．解题关键是通过角的和差证角相等，结合已知条件证全等；利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，再用三线合一证垂直．易错点是忽略角的和差转化，或混淆直角三角形斜边中线的应用条件． （1）由等腰直角三角形得，结合、，用证，得；通过对顶角相等，将转化为，证． （2）连接、，由等腰直角三角形斜边中线性质得，由得，故；结合H是中点，用等腰三角形三线合一证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．【答案】（1） 解：，理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：、、三条线段间的数量关系为：， 如图2，延长至点，使，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，再利用证明，从而可得出，进而可得，从而可得； （2）先分别证明，，结合全等三角形的性质可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得出，，再证明，根据全等三角形的性质可得出，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下： 如图3，在上截取，连接，    同理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 9．【答案】10 【分析】 此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】 解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 10．【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 11．【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∴是的平分线；     （2）1      【分析】 要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理， 对于（1），根据“边边边”证明，则此题可解； 对于（2），作，根据角平分线性质定理得，再根据面积相等得，然后代入数值可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点P作，交于点F， ∵是的平分线，， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 12．【答案】4 【分析】 过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】 解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 13．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离为． 故答案为：． 14．【答案】130° 【分析】 根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】 解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°． 故答案为：130°． 【点睛】 本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 15．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟悉掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，于点，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】 解：过点作，于点，如图所示： ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 16．【答案】（1） 如图所示：      （2）28      【分析】 考查角平分线作图、角平分线性质、三角形面积．关键是用角平分线性质转化高，易错点是忽略点D到的距离等于． （1）作平分线，作，交点为D； （2）拆分四边形面积为：用算面积，利用角平分线性质算面积，相加得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． ， ； 又是的平分线，点D到、的距离相等且，故 ； 因此，四边形的面积． 故答案为：28． 17．【答案】（1）120°； （2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q， ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴FP＝FG＝FQ， ∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°， ∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°， ∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°， ∴∠FEP＝∠FDQ， 在△FEP与△FDQ中， ， ∴△FEP≌△FDQ（AAS）， ∴EF＝DF． 【分析】 （1）由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°； （2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论． 【详解】 （1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°， ∴∠DFE＝∠BFC＝120°； （2） 略 【点睛】 此题主要考查全等三角形与角平分线的性质综合，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边距离相等． 18．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作的延长线于，则，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图，作的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】（1） 如图所示，线段即为所求：      （2） 如图所示，点P即为所求： 【分析】 本题考查了尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线和角平分线的方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线交边于点D，连接，则线段即为所求； （2）作的角平分线交边于点P，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1） ① 点D即为所作； ② 证明：如图，连接，， ∵是的平分线，且，， ∴， 由作图知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 （1）① 利用尺规作图作出的垂直平分线交的平分线于一点，即可得解； ② 利用线段垂直平分线的性质得到，利用平分线的性质得到，再利用证明即可推出； （2）如图，作，，垂足分别为E、F，证明，推出，再利用三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图，作，，垂足分别为E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D到的距离为3， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】 本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线是解题的关键． 21．【答案】（1） 解：如图，是的角平分线；      （2）2.5     （3）或或8      【分析】 （1）直接运用角平分线的画法作图即可； （2）如图，过点P作于点M，先利用勾股定理求出，证明得到：，则，设则，由勾股定理得，然后解方程以及并计算时间即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点P作于点M， ，，， ， ， ， 点P在的角平分线上，， ， 又， ， ， ， ，则， 在中，， ， 解得：， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； (3) 小问详解： 解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得：， 当作为腰时，如图所示： ，此时， 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或． 【点睛】 本题主要考查了基本作图——角平分线的画法、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 22．【答案】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）108；72 （3）如图，点D即为所求； （4）或或或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，外角性质，角平分线的定义，新定义“半角余量三角形”，尺规作图-作一个角的平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义可得：，再由三角形外角的性质和等量代换可得结论； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解答； （3）作平分，交于D，则点D即为所求； （4）分两种情况讨论，点P在左侧和右侧，设，则，再根据为半角余量三角形列方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：108，72； （3）设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）存在，理由如下: 当点P在右侧时，是“半角余量三角形”，， 设，则 ①，即，解得； ②，即，解得； ③，即，解得； ④，即，解得； ⑤，即，解得； ⑥，即，解得； 当点P在左侧时，是“半角余量三角形”，， ∴， 设，则 ①，，解得； ②，，解得（舍）； ③，，解得； ④，，解得（舍）； ⑤，，解得（舍）； ⑥，，解得（舍） 综上所述，的度数分别是或或或． 试卷第1页，共3页 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $