专题08 勾股定理（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期
2026-09-14
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摘要：
**基本信息**
聚焦勾股定理两大核心考点，汇编江苏多地期中真题，融合文化传承（如赵爽弦图、程大位《算法统宗》）与实际应用（梯子问题、航行距离），梯度覆盖基础理解至创新探究。
**题型特征**
|题型|题量|知识覆盖|命题特色|
|----|----|----------|----------|
|选择|约20题|勾股数判断、定理证明（赵爽弦图）、数轴表示无理数|结合“勾股树”生长规律、“倍长三角形”新定义|
|填空|约30题|折叠问题、最短路径、正方形面积关系|融入中国象棋棋盘距离、圆柱登梯长度计算|
|解答|约40题|实际应用（风筝高度、航行距离）、综合证明|设计多步推理（如利用面积法证勾股定理）、动态几何（点P运动与等腰三角形存在性）|
内容正文：
专题08 勾股定理
考点01 勾股定理及其应用
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
考点01 勾股定理及其应用
1．C
2．C
3．D
4．B
5．C
6．D
7．D
8．D
9．B
10．C
11．A
12．B
13．B
14．C
15．A
16．A
17．B
18．D
19．D
20．C
21．B
22．B
23．【答案】2m
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的值．
【详解】
解：在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
∴
答：梯子顶端到地面的距离是．
24．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解．
根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可．
【详解】
解：设折断处与地面的距离的长为米，
∴米，
∵大树高米，米，
由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中，
由勾股定理公式可得：，
即，解得．
故答案为：．
25．【答案】（1）
∵，
； （2）5
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据条件由即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
∵，
26．【答案】
【分析】
本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．
依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数．
【详解】
解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∴点所表示的数是，
故答案为：．
27．【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论．
【详解】
解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，
∴对于第6个勾股数组：
第一个数，
第二个数，
第三个数，
故答案为：．
28．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据网格的特点及勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意得，“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故答案为：．
29．【答案】
【分析】
本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积．
【详解】
解：如图，
由题意得：，，，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
30．【答案】木马上升的高度为1米
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：
米，
则米，
即木马上升的高度为1米．
31．【答案】14
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】
解：根据图象可得，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
故答案为：14．
32．【答案】20m．
【分析】
试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，
∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，
∴x2=（1×8+4）2+162=400，
∴登梯至少=20m
故答案为：20m
【点睛】
本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．
33．【答案】16
【分析】
首先根据勾股定理求得AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积．
【详解】
解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为16．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
34．【答案】或或4
【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】
解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴① 当5是此直角三角形的斜边时，
设另一直角边为，
则；
② 当5是此直角三角形的直角边时，
设斜边为，
则．
综上所述，
故答案为：4或．
35．【答案】
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：设，
∵，．
∴，
在中，
由勾股定理得：，
即，
∴；
36．【答案】（1）米 （2）米
【分析】
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可；
(1) 小问详解：
解：根据题意得：米，米，米，
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
(2) 小问详解：
如图，在上取点，使米，连接，
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），
∴（米），
答：他应该往回收线米．
37．【答案】
【分析】
本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键．
先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】
解：利用勾股定理算得，
，
数轴上点所表示的数为：．
故答案为：．
38．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
39．【答案】�厘米
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．连接，根据题意可知小虫爬行的最短路径长度为的长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
由题意得，，，，
∴，
∴小虫爬行的最短路径长度为．
故答案为：．
40．【答案】9.6
【分析】
本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出斜边长，再通过面积相等求斜边上的高即可．
【详解】
解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，
∴斜边长为，
设斜边上的高为h，
则，
解得．
故答案为：9.6．
41．【答案】（1） （2）
【分析】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理进行求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵，，，
∴；
(2) 小问详解：
解：∵，，，
∴．
42．【答案】2
【分析】根据勾股定理求解即可.
【详解】解：∵，，
（），
故答案为：2.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
43．【答案】4
【分析】
本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：平分，，，
，，
，
．
44．【答案】
【详解】
解：由勾股定理得，斜边长，
则点A对应的数为．
45．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒
【详解】
解：∵，，
∴，
∴
﹒
46．【答案】（1） （2）
是等腰直角三角形，理由如下：
在中，，是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形； （3）
证明：由（2）知，
，
，
在中，，
，
，
．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由已知先证明，得到，然后由三角形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，根据三角形外角的性质得出，从而即可得出结论；
（3）在中，，得出，即可得出结论．
(1) 小问详解：
解：在中，，，
在等腰直角中，，，
，
，
；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
47．【答案】（1）
证明：∵直线于点，直线于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴； （2）6
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的面积得出，然后利用勾股定理求解即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：由（1）得，，
，
即，
由勾股定理得，，
故答案为：6．
48．【答案】
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【详解】
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
49．【答案】解：（1）① 如图所示，线段即为所求，
② 如图所示，即为所求，
（2）① 如图所示，即为所求；
② 如图所示，即为所求．
【分析】
本题考查了网格作图和基本的尺规作图—角平分线和线段的垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握基本的作图步骤．
（1）① 利用勾股定理作图即可；② 利用勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定定理作图即可；
（2）① 根据角平分线的作法作图即可；② 作线段的垂直平分线即可，利用三角形的外角定理和线段垂直平分线的性质得解．
【详解】
解：（1）① 根据勾股定理得；
② ∵，，
∴，
∴等腰直角三角形即为所求；
（2）① 略
② 作线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
50．【答案】
【分析】
本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】
解：由折叠得，，
设，则，
在中，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
．
答：的长为．
51．【答案】绳索的长度是
【分析】
设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】
解：设秋千的绳索长为，则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
52．【答案】（1）证明：连接ME、MD，
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，
∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；
（2）48．
【分析】
（1）连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）根据BC=20，ED=12，求出DM、DN的长，再根据勾股定理求出MN的长，利用三角形的面积公式进行求解即可得.
【详解】
解：（1） 略
（2）∵BC=20，ED=12，∴DM=BC=10，DN=DE=6，
由（1）可知∠MND=90°，∴MN===4，
∴S△MDE=DE×MN=×12×8=48．
53．【答案】（1）
如图所示：
（2）
点即为所求：
（3）如图所示：
【分析】
本题主要考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理是解题的关键．
借助网格作出与对应边相等的三角形即可；
分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点使得；
把点向左平移格，得到，把点向右平移格，得到，即可得到符合要求的三角形．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如下图所示，把点向左平移格，得到，
由图可知、，，
，
的周长是，面积是；
把点向右平移格，得到，
由图可知、，，
，
的周长是，面积是；
点为所求作点．
54．【答案】
【分析】
本题考查垂直平分线，勾股定理，三角形和四边形的内角和，掌握相关知识是解决问题的关键。连接，由垂直平分线的性质，，，由四边形内角和可证，则利用勾股定理可求得的长．
【详解】
解：连接，
∵点 是垂直平分线的交点，
∴，，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
同理，，
∴ ，
∴，
∴ ，
55．【答案】（1）2； （2）
解：如图，点即为满足要求的点，
连接，由图可得：，
，
，
，
，
； （3）角平分线即为所求：
【分析】
本题考查了作图-网格作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出，即可得出答案；
（2）在图中找到格点，连接，得到，，再得到，即可得出结论；
（3）取格点，连接交于点，连接，则即为所求．
(1) 小问详解：
解：由题意可得：，
∴，
故答案为：；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如图，取格点，连接交于点，连接，则即为所求．
由图知，点为中点，
∴，
由知，，
又∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
56．【答案】
【分析】
本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质知：，
设，则，
在，由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为．
故答案为：．
57．【答案】解：小红：在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，即，
∴；
小明：取中点，连接，
∴，，
在中，根据勾股定理，得，
即，
整理得．
【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，完全平方公式的应用．
小红：根据勾股定理结合等积法求得，整理得到，得到；
小明：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线的性质求得，，在中，根据勾股定理，求解即可．
【详解】
略
58．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
∴，
，
．
舍去负值．
故答案为：．
59．【答案】20千米处，等腰直角三角形，
理由：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
∴，
解得：，
即；
∴市场E应建在距A的20千米处；
∵，，
在和中，
，
可得，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形．
【分析】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形．
【详解】
略
60．【答案】
【分析】
本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用平移的性质和等腰三角形的性质证出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵由平移得到，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
61．【答案】或
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
连接，过点作于点，设，则，
利用等边三角形的性质和勾股定理先求出的长，利用角直角三角形的性质求出，即可通过勾股定理求出，继续结合勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
连接，过点作于点，如图所示：
∴和都是直角三角形，
∵是的中点，
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，，，，
∴是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
此时，则或，
故答案为：或．
62．【答案】22
【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线定理得出，证明是的垂直平分线，得出相等的线段，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，求出的面积，然后利用三角形中线的性质即可求解．
【详解】
解： ，
，
点是的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
；
∴，
，
在中，由勾股定理得，；
的面积为
点是的中点，
的面积
的面积为22．
故答案为：22．
63．【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中的应用，设设，，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到和，由勾股定理得，而的长为，利用完全平方公式求解即可．
【详解】
解：设，，
∵在中，，且的面积为，
∴，
∴
∵正方形的面积为13，
∴，
在 中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
如图所示，，
故答案为：．
64．【答案】（1） （2）6 （3）或3或
【分析】
本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；
（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；
（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．
，
∵四边形是长方形，
．
，
，
；
设，则，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；
(2) 小问详解：
解：由（1）得，
∴，
根据翻折的性质得，，
∴的面积为，
故答案为：6；
(3) 小问详解：
解：① 若，
，
；
② 若，作于点，
，，，
，
，
；
③ 若，则，，，
，，
，
；
综上所述，或3或．
65．【答案】
【分析】
本题主要考查了含角的直角三角形性质、勾股定理、三角形面积公式．解题关键是利用角的性质求直角边长度，再通过面积法（同一三角形两种面积表示）求高；易错点是混淆角对的直角边（误将当作短边），或面积公式应用时漏乘．
首先由中、，得；其次用勾股定理求出的长度；最后利用“”的面积等式，代入数值计算．
【详解】
在中，，，故；
由勾股定理得；
，
解得．
故答案为：．
66．【答案】
【分析】
本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
先求出的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题．
【详解】
解：由题意得：，
，
则点P到原点的距离为：，
所以点P表示的数为：，
故答案为：．
67．【答案】
【分析】
本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值．
取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小．
【详解】
取的中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，是的斜边，
∴
∵，
∴．
连接，
∵是中点，
∴．
又因为，，
在中，根据勾股定理
观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有
∵、，得：
∴的最小值为．
68．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
【详解】
解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图，
由勾股定理得：，，，
∴；
∴正方形的面积，
故答案为：．
69．【答案】
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识．
连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键．
【详解】
解：如图所示，连接，作交于点，
则，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
70．【答案】证明：在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴．
【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】
略
71．【答案】（）；（）；（）或．
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，同角的余角相等，垂直定义等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键．
（）证明，可得，，故；
（）证明，可得，，故，再由勾股定理可得的长为；
（）分两种情况画出图形，用三角形面积公式可求得答案
【详解】
解: （）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：；
（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即的长为；
（）当，时，过作于，如图，
同（）可证，
∴，
∴；
当，时，过作于，如图，
同（）可证，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
72．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长．
【详解】
解：如图，连接，
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
73．【答案】
【分析】
本题考查数轴上点的运算及勾股定理，根据勾股定理求出，再根据点P在数轴上的位置，确定点P表示的数即可．
【详解】
解：如图，
根据勾股定理，得，
由作图知：，
∵点A表示的数为1，
∴点P表示的数为，
故答案为：．
74．【答案】
【分析】
本题考查了角平分线的性质、勾股定理.由勾股定理可得，作于，再由角平分线的性质可得，利用三角形的面积进行计算可得，最后由进行计算即可．
【详解】
解：在中，，，，
，
如图，作于，
平分，，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
75．【答案】（1） △BDE是等腰三角形；（2）10
【分析】
（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由ADBC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
【详解】
解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵ADBC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．
【点睛】
本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
76．【答案】（1）10.6米 （2）5米
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上即可；
（2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题．
(1) 小问详解：
由题意可得，
米，米，，米，
∴（米），
∴（米），
即风筝的垂直高度的长为10.6米；
(2) 小问详解：
由题意知，（米），米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该把线再放出5米，
故答案为：5．
77．【答案】（1）
证明：在中，分别是边上的高线，
，
∵F是的中点，
，
是等腰三角形，
∵G是的中点，
； （2）
【分析】
（1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可判定，可得是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证；
（2）由，可求，可判定是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线，利用勾股定理即可得答案．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：分别是边上的高线．
，
∵F是的中点，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
∵G是的中点，
，
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及利用勾股定理解三角形，解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用证明三角形全等．
78．【答案】10
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理.延长到点，使，连接，．先根据得到≌，进而证明是直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
【详解】
解：如图，延长到点，使，连接，．
又因为为的中点，所以≌．
所以，，所以，所以，
故是直角三角形，于是有．
又在直角中，有．
又由和可得，
于是可得，
所以，即．
又，所以，即．
因此，所以．
79．【答案】（1）是 （2）① 如图所示；
②13
③
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，尺规作线段垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
对于（1），根据“底余等腰三角形”的定义得，，再根据四边形内角和定理说明，则答案可证；
对于（2）① ，分别以点B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点K，作射线交于点F，则即为所求作；
② 作，先根据“角角边”证明，可得，再根据勾股定理求出答案；
对于③ ，先由② 得，可得，根据勾股定理得，同理可得，则此题可解．
(1) 小问详解：
解：是．
∵和互为“底余等腰三角形”，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
即，
所以和互为“底余等腰三角形”．
故答案为：是；
(2) 小问详解：
解：① 略
② 过点A作，交于点G，
∴．
∵和互为“底余等腰三角形”，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得；
③．
由② 得，
∴．
在中，，
即．
同理：，
即，
∴，
即．
80．【答案】（1） （2） （3）
纸的长宽比为；理由如下，
设纸的长为，则宽为，
∵两张纸可以拼成一张纸，
∴纸的长为，则宽为，
∵长宽比保持不变，
∴，
∴（负值已舍），
∴，即纸的长宽比为； （4）
【分析】
本题考查折叠的性质，规律探究，勾股定理，二次根式的混合运算．
（1）根据题意计算即可求解；
（2）根据折叠的性质求得四边形是正方形，利用勾股定理求解即可；
（3）设纸的长为，则宽为，则纸的长为，则宽为，根据长宽比保持不变，列式计算即可求解；
（4）由（3）的结论求得纸的长为纸的长的倍，找到规律，根据规律求解即可．
(1) 小问详解：
解：；
故答案为：；
(2) 小问详解：
解：∵长方形的宽为2，
∴，由折叠的性质得，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即长方形的长为，
故答案为：；
(3) 小问详解：
略
(4) 小问详解：
解：设纸的长为，
由（3）得纸的长为，纸的长为，
则纸的长为纸的长的倍，
∴纸的长为，
纸的长，
纸的长，
，
∴纸的长为，
∴．
81．【答案】（1）① 如下图，
②5； （2） （3）
【分析】
（1）① 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可；
② 过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可；
（2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时，
连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可；
（3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键．
(1) 小问详解：
解：① 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，
点P即为所求作；
② 解：过点作，交的延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
(2) 小问详解：
解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，
则取得最小值，此时，
连接，
根据轴对称性质，得，，
故，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
(3) 小问详解：
解：根据，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
故的最小值为，
故答案为：．
82．【答案】（1）为等腰三角形时，的值为5或或8 （2）t的值为或10
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；
（2）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值．
(1) 小问详解：
解：当时，；
当时，
在中，，，，
则，
在中，，即，
解得：，
；
当时，，
，
综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8；
(2) 小问详解：
解：当点在上时，如图2，
，，，
，
在中，，即，
解得：，
；
当点在的延长线上时，如图3，
，，，
，
在中，，即，
解得：，
；
∴为或10时满足条件．
83．【答案】168
【分析】
本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴四边形的面积为168．
故答案为：168．
84．【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，设，则，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度．
【详解】
解：，点是边的中点，
，
设，则，
由折叠可知，
，
，
，
解得：，
．
85．【答案】（1）； （2）； （3）．
【分析】
根据运动速度和运动时间可知，根据等边三角形的性质可知，利用直角三角形的性质可知；
根据等边三角形的性质可知，当时，，可得方程，解方程即可求出的值；
过点作，交于点，则，根据等边三角形的性质可证是等边三角形，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可知，再利用勾股定理求出的长度．
(1) 小问详解：
解：当时，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
(2) 小问详解：
解：如下图所示，
，
，
等边的边长为
，，
，
，
，
，，
，
解得：；
(3) 小问详解：
证明：如下图所示，过点作，交于点，则，，
是等边三角形，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形中的动点问题、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系．
86．【答案】（1） （2）①；② 存在这样的值，使得，的值为或．
【分析】
本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质；
（1）先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论；
（2）① 分别计算两个边界点：由（）知：时，，当最小时，，此时，可得结论；
（2）分两种情况：点在矩形的内部时，先求解， 再过点作于，过点作于，求解，，再建立方程求解即可；当点在矩形的外部，可得，从而可得答案．
(1) 小问详解：
解：如图1，
四边形是长方形，
，
∴，
由轴对称得：，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
(2) 小问详解：
由（1）可知：当时，与重合，此时，
如图，当时，与重合，此时，
，
故答案为：；
② 解：存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时，如图，
∵，
而，由（1）同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点P作于H，过点F作于G，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
，
，
解得：；
当点在长方形的外部时，如图，
，
，
，
，
，（此时与重合），
综上，存在这样的值，使得，的值为或．
87．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键．
过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为，则，
根据拼图可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
88．【答案】（1）
如下图即为所求作；
（2）
如下图即为所求作；
（3）
如下图点F即为所求作；
【分析】
本题考查了三角形中线的性质及其作法、平行线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键．
（1）利用三角形中线的性质，取格点M、N，连接交于点D，再连接即可；
（2）取格点P，使，连接交格点于Q，则，连接交于点E，根据等腰三角形性质得出平分，则点E到和所在直线的距离相等；
（3）先过点A作于点O，延长到点G，使，分别过点A、G作，且，交于点F，根据两平行线间的距离等于两平行线间的距离可得，则点A关于的对称点F．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
89．【答案】（1） （2） （3）2或6秒
【分析】
本题考查三角形中的动点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）勾股定理求出的长，等边对等角，结合等角的余角相等，推出点为线段的中点，根据时间等于路程除以速度，进行计算即可；
（2）求出的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长，再利用三角形的周长公式进行计算即可；
（3）分两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵，，，
，
当是以为底的等腰三角形时，此时点在上，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即点为线段的中点，
由题意，；
(2) 小问详解：
解：如图1，
∵动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，则，
，
，
由（1）可知，，
∴，
的周长为：
(3) 小问详解：
由（1）可知，的周长为，
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
；
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
，
当t为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
90．【答案】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，条件辅助线构造全等三角形是解题的关键：连接，过点作，交于点，证明，得到，，推出，证明，求出，进行求解即可．
【详解】
解：连接，过点作，交于点，
∵等腰直角与等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
91．【答案】（1）
（2）成立，
理由：，．
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，．
．
（3）证明：如图4，过点作，交的延长线于点，过点作，于点，
，，，
是等腰直角三角形，．
，,
是等腰直角三角形，．
，，．
．
，．
．
又，．
，．
设，，，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，即，
，
．
．
（4）
【分析】
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
（1）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论；
（2）在中，，在中，， 在中，，在中，，即可得结论；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作，于点，易证，设，，，，根据，，，，，即可得到结论；
（4）将沿着向上平移，使得与重合，连接，，由结论可求的值，由三角形的三边关系可求解．
【详解】
解：（1），．
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，．
．
故答案为：＝．
（2）略
（3）略
（4）如图6，将沿着向上平移，使得与重合，连接，，
，．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
由结论可得，，
．
．
，
的最大值为，
的最大值为．
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
1．C
2．D
3．B
4．B
5．D
6．D
7．B
8．C
9．B
10．C
11．【答案】7200元
【分析】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案．
【详解】
解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
，
元，
即需要投入7200元．
12．【答案】
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D是的中点可求出的长，由勾股定理的逆定理证明，再由斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长．
【详解】
解：已知点D是的中点，，
∴ ，
∵
∴，
∵，
，
根据勾股定理的逆定理，可得，
即，
∵E是的中点，
∴．
13．【答案】1800元
【分析】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用；连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】
解：连接，
在中，，，
，
在中，，
，
的面积为平方米，
的面积为平方米，
四边形面积平方米，
共需花费元元．
答：共需花费元．
14．【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：在中，，
，
．
在中，，，
，，
，
是直角三角形，即．
．
15．【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米
【分析】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
(1) 小问详解：
解：是，理由如下：
在中，，，，
，，，
，
，
是从村庄到河边的最近路；
(2) 小问详解：
解：设，则，
，
在中，，
，
解得：，
即的长为千米．
16．【答案】四边形的面积为．
【分析】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，由勾股定理得，然后通过勾股定理逆定理可得，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】
解：如图，连接，
由图可知，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
17．【答案】（1）
证明：，，，
，
，
是直角三角形； （2）
证明：设的中点为N，连接，
，
，是直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，
，
在和中， ，
，
，
．
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质．
（1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论；
（2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
18．【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．
(1) 小问详解：
解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
(2) 小问详解：
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
(3) 小问详解：
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
19．【答案】（1）
证明：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴； （2）
【分析】
本题考查了勾股定理的应用．
（1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：四边形的面积的面积的面积
．
20．【答案】45
【分析】
本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线．
连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果．
【详解】
解：如图，连接，
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：45．
21．【答案】（1）
证明：∵E是的中点，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴； （2）
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，连接，
∵，E是的中点，
∴垂直平分，
∴．
∵ ，，
∴，
∴，
∴四边形空地的面积=．
22．【答案】四边形的面积约为2.7
【分析】
本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，连接，先证明是等边三角形，得到，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而得到，即可求出四边形的面积．
【详解】
解：如图，作于点，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积约为2.7．
23．【答案】（1）
是，证明如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴；
∴是直角三角形； （2）
证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，，；
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键：
（1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
24．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）ABCD的面积为10.
【分析】
（1）在Rt△AEB中根据勾股定理求出AB的长，同理，根据勾股定理求出BC、AC的长，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC为直角三角形；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置．根据平行四边形ABCD的面积为△ABC面积的2倍即可得出平行四边形的面积．
【详解】
解：（1）由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×AC＝×2＝10．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，以及利用平行四边形的概念作平行四边形，解题时注意：若三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
25．【答案】2
【分析】
本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答．
【详解】
解：由勾股定理可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：2．
26．【答案】（1）
解：直角三角形ABC中，
，，
，
，
，
，
是直角三角形； （2）24平方米
【分析】
（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC=5，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形；
（2）由，结合三角形面积公式解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
（平方米）．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
27．【答案】36
【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可．
【详解】
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
．
试卷第1页，共3页
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专题08 勾股定理
2大高频考点概览
考点01 勾股定理及其应用
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
考点01 勾股定理及其应用
1．（25-26学年八上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A. 刘徽
B. 祖冲之
C. 赵爽
D. 秦九韶
【答案】C
【分析】
本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可．
【详解】
解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．
故选：C．
2．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理求出的长，根据作图痕迹可知，得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可．
【详解】
解：在直角三角形中，，，，
，
根据作图痕迹可知，，
点在数轴上的处，
点对应的数是．
故选：C ．
3．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A.
B. 2025
C.
D. 2026
【答案】D
【分析】
本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ，
，
∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ．
故选：D．
4．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 5，7，10
B. 5，12，13
C. ，，
D. ，6，
【答案】B
【分析】
本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可．
【详解】
解：A、，故选项A不符合题意；
B、，且都是正整数，故选项B符合题意；
C、都不是正整数，故选项C不符合题意；
D、都不是正整数，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（ ）
A. 25
B. 5
C. 5或
D. 5或7
【答案】C
【分析】
本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解．
【详解】
解：当为斜边时，，
解得，（舍去），
当4为斜边时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值是5或．
故选：C．
6．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】D
【分析】
本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键．
根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解．
【详解】
解：如图所示，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
∵，，，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
综上所述，点有4个，
故选：D ．
7．（25-26学年八上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（ ）
A. 12海里
B. 8海里
C. 10海里
D. 13海里
【答案】D
【分析】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可．
【详解】
解：第一艘船向北航行距离：（海里），
第二艘船向东航行距离：（海里），
且两方向垂直，
则两船距离为直角三角形的斜边：（海里），
故选：D．
8．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A. ，，
B. 0.3，0.4，0.5
C. 4，5，6
D. 9，12，15
【答案】D
【分析】
此题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
解：A、因为，，不是正整数，所以，，不是勾股数，故该选项不符合题意；
B、因为0.3，0.4，0.5不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故该选项不符合题意，
C、因为，所以4，5，6不是勾股数，故该选项不符合题意；
D、因为，所以9，12，15是勾股数，故该选项符合题意，
故选：D．
9．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（ ）
A. 4
B. 5
C. 5．5
D. 6
【答案】B
【分析】
由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
【详解】
解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确求出是解题的关键．
10．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ）
A. 1
B. 1.4
C.
D.
【答案】C
【分析】
本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可．
【详解】
解：由题意可知：，
，
点E表示的数为．
故选：C．
11．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；过点作交的延长线于点，证明得出，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，勾股定理求得，进而根据两点之间线段最短，求得的最值，即可求解．
【详解】
解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∴
取的中点，连接，
又∵
∴
在中，，
∵
∴，
当在上时，取得最小值，最小值为，
故选：A．
12．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ）
A. 6
B. 12
C. 13
D. 25
【答案】B
【分析】
此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设直角三角形直角边的长分别，斜边长为，根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
【详解】
解：设直角三角形直角边的长分别（），斜边长为，
根据题意得：，，即，
则，，
，
，
，
每个直角三角形的周长为，
故选：B．
13．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．
利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
D、利用C中结论，本选项不符合题意．
故选B．
14．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，两步尺），此时踏板升高离地五尺（尺），若绳索始终拉直，则秋千绳索OB的长是（ ）
A. 12尺
B. 13.5尺
C. 14.5尺
D. 15.5尺
【答案】C
【分析】
设绳索长尺，表示出的长，在中，利用勾股定理得到，从而列出关于x的方程，求解方程即可解答．
【详解】
设尺，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
，
∵在中，，
∴，
解得：，
即秋千绳索OB的长是14.5尺．
故选：C
【点睛】
此题考查了勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于点，由直角三角形的性质得，即得，再根据勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】
解：如图，过点作于点，
∵，是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
16．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 6
【答案】A
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用．
观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为．
故选：A．
17．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
【答案】B
【分析】
根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可．
本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键．
【详解】
解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故．
故① ；②;③ 正确；④ 错误；
故选：B．
18．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故选：．
19．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
【答案】D
【分析】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，非负数的性质．利用证明，可判断①；求得，根据勾股定理即可判断②；根据三角形的面积关系即可判断③；设，根据勾股定理就可以得出，得出的最小值为，进而可判断④．
【详解】
解：∵，，是的角平分线，
∴，，，
∴，
∴，，
在和中，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，
∴
，故③正确．
④ 设，则，
∵，
∴，
当时，的最小值为，故④ 正确．
综上：① ② ③ ④ 都正确，
故选：D．
20．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
【答案】C
【分析】
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后根据比值假设，则，利用面积列出方程求解，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵垂直平分，
∴，
假设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得,
故选：C．
21．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】
解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
22．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（ ）
A. 4种
B. 5种
C. 6种
D. 7种
【答案】B
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，
根据“倍长三角形”的定义和直角三角形勾股定理，分三种倍长关系情况讨论，结合一边长为1，求解较长直角边的所有可能取值，共有5种不同值．
【详解】
解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；；
又有一条边长为 1，分别讨论：
当，则，
若，则；
若，则；
若，则，；
较长直角边可能为；
当，则，
若，则；
若，则；
若，则，，
较长直角边可能为；
当时，不符合三角形三边关系，不符合题意，
综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种．
故选：B．
23．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端到墙底端的距离为1.5m．求梯子顶端到地面的距离h．
【答案】2m
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的值．
【详解】
解：在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
∴
答：梯子顶端到地面的距离是．
24．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解．
根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可．
【详解】
解：设折断处与地面的距离的长为米，
∴米，
∵大树高米，米，
由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中，
由勾股定理公式可得：，
即，解得．
故答案为：．
25．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在四边形中，，点在边上，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）
∵，
； （2）5
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据条件由即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
∵，
26．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．
依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数．
【详解】
解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∴点所表示的数是，
故答案为：．
27．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论．
【详解】
解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，
∴对于第6个勾股数组：
第一个数，
第二个数，
第三个数，
故答案为：．
28．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据网格的特点及勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意得，“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故答案为：．
29．（25-26学年八上·江苏常州·期中）以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】
本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积．
【详解】
解：如图，
由题意得：，，，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
30．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．
【答案】木马上升的高度为1米
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：
米，
则米，
即木马上升的高度为1米．
31．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为 ．
【答案】14
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】
解：根据图象可得，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
故答案为：14．
32．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为 长．
【答案】20m．
【分析】
试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，
∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，
∴x2=（1×8+4）2+162=400，
∴登梯至少=20m
故答案为：20m
【点睛】
本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．
33．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
【分析】
首先根据勾股定理求得AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积．
【详解】
解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为16．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
34．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．
【答案】或或4
【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】
解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴① 当5是此直角三角形的斜边时，
设另一直角边为，
则；
② 当5是此直角三角形的直角边时，
设斜边为，
则．
综上所述，
故答案为：4或．
35．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线）．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长．
【答案】
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：设，
∵，．
∴，
在中，
由勾股定理得：，
即，
∴；
36．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米 （2）米
【分析】
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可；
(1) 小问详解：
解：根据题意得：米，米，米，
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
(2) 小问详解：
如图，在上取点，使米，连接，
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），
∴（米），
答：他应该往回收线米．
37．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键．
先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】
解：利用勾股定理算得，
，
数轴上点所表示的数为：．
故答案为：．
38．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
39．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，长方形木板的长为，宽为，在木板的一角顶点A处有一只小虫，另一角顶点B处有食物，小虫沿木板表面向B处爬行觅食，则小虫爬行的最短路径长度为 （木板厚度忽略不计）
【答案】�厘米
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．连接，根据题意可知小虫爬行的最短路径长度为的长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
由题意得，，，，
∴，
∴小虫爬行的最短路径长度为．
故答案为：．
40．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的高为 ．
【答案】9.6
【分析】
本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出斜边长，再通过面积相等求斜边上的高即可．
【详解】
解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，
∴斜边长为，
设斜边上的高为h，
则，
解得．
故答案为：9.6．
41．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c．
（1）已知，，求b；
（2）已知，，求c．
【答案】（1） （2）
【分析】
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理进行求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵，，，
∴；
(2) 小问详解：
解：∵，，，
∴．
42．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端，则梯子的顶端与地面的距离为 .
【答案】2
【分析】根据勾股定理求解即可.
【详解】解：∵，，
（），
故答案为：2.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
43．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长．
【答案】4
【分析】
本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：平分，，，
，，
，
．
44．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【答案】
【详解】
解：由勾股定理得，斜边长，
则点A对应的数为．
45．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留）
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒
【详解】
解：∵，，
∴，
∴
﹒
46．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
（1）若，则__________°；
（2）判断的形状，并说明理由：
（3）求证：
【答案】（1） （2）
是等腰直角三角形，理由如下：
在中，，是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形； （3）
证明：由（2）知，
，
，
在中，，
，
，
．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由已知先证明，得到，然后由三角形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，根据三角形外角的性质得出，从而即可得出结论；
（3）在中，，得出，即可得出结论．
(1) 小问详解：
解：在中，，，
在等腰直角中，，，
，
，
；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
47．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，．点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．
（1）求证：；
（2）若的面积是50，则_________．
【答案】（1）
证明：∵直线于点，直线于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴； （2）6
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的面积得出，然后利用勾股定理求解即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：由（1）得，，
，
即，
由勾股定理得，，
故答案为：6．
48．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为 ．
【答案】
【分析】
由BE⊥AC，D为AB中点，，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【详解】
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．
49．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）（1）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
①在图1中画一条线段，使，线段的端点在格点上：
②在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形，其中，三角形的顶点在格点上；
（2）已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
①作的平分线，交于点；
②在线段上求作一点，使得．
【答案】解：（1）① 如图所示，线段即为所求，
② 如图所示，即为所求，
（2）① 如图所示，即为所求；
② 如图所示，即为所求．
【分析】
本题考查了网格作图和基本的尺规作图—角平分线和线段的垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握基本的作图步骤．
（1）① 利用勾股定理作图即可；② 利用勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定定理作图即可；
（2）① 根据角平分线的作法作图即可；② 作线段的垂直平分线即可，利用三角形的外角定理和线段垂直平分线的性质得解．
【详解】
解：（1）① 根据勾股定理得；
② ∵，，
∴，
∴等腰直角三角形即为所求；
（2）① 略
② 作线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
50．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长．
【答案】
【分析】
本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】
解：由折叠得，，
设，则，
在中，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
．
答：的长为．
51．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．
【答案】绳索的长度是
【分析】
设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】
解：设秋千的绳索长为，则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
52．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．
【答案】（1）证明：连接ME、MD，
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，
∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；
（2）48．
【分析】
（1）连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）根据BC=20，ED=12，求出DM、DN的长，再根据勾股定理求出MN的长，利用三角形的面积公式进行求解即可得.
【详解】
解：（1） 略
（2）∵BC=20，ED=12，∴DM=BC=10，DN=DE=6，
由（1）可知∠MND=90°，∴MN===4，
∴S△MDE=DE×MN=×12×8=48．
53．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹．
（1）图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可）
（2）图2中，在网格内画出点，使得；
（3）图3中，将的某一个顶点沿网格线平移一次得到点，使得点与的另两个顶点围成新的三角形，且该三角形的周长、面积都是有理数．画出平移一个顶点后得到的新三角形．
【答案】（1）
如图所示：
（2）
点即为所求：
（3）如图所示：
【分析】
本题主要考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理是解题的关键．
借助网格作出与对应边相等的三角形即可；
分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点使得；
把点向左平移格，得到，把点向右平移格，得到，即可得到符合要求的三角形．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如下图所示，把点向左平移格，得到，
由图可知、，，
，
的周长是，面积是；
把点向右平移格，得到，
由图可知、，，
，
的周长是，面积是；
点为所求作点．
54．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，边、的垂直平分线交于点，且点与点之间的距离为3，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查垂直平分线，勾股定理，三角形和四边形的内角和，掌握相关知识是解决问题的关键。连接，由垂直平分线的性质，，，由四边形内角和可证，则利用勾股定理可求得的长．
【详解】
解：连接，
∵点 是垂直平分线的交点，
∴，，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
同理，，
∴ ，
∴，
∴ ，
55．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1个单位长度，的顶点在格点上．
（1）___________；
（2）线段上是否存在点，使得，若存在，画出点，并说明理由；若不存在，请说明理由．
（3）只用无刻度的直尺在图中作出的角平分线．（在图中不能再另外补出网格）
【答案】（1）2； （2）
解：如图，点即为满足要求的点，
连接，由图可得：，
，
，
，
，
； （3）角平分线即为所求：
【分析】
本题考查了作图-网格作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出，即可得出答案；
（2）在图中找到格点，连接，得到，，再得到，即可得出结论；
（3）取格点，连接交于点，连接，则即为所求．
(1) 小问详解：
解：由题意可得：，
∴，
故答案为：；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如图，取格点，连接交于点，连接，则即为所求．
由图知，点为中点，
∴，
由知，，
又∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
56．（25-26学年八上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质知：，
设，则，
在，由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为．
故答案为：．
57．（25-26学年八上·江苏南京·期中）在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法．
【课本例题重现】如图，为的斜边上的高，设，，，求证：．
证明：在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
，
．
．
【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同的证明思路
小红：我想由面积的等量关系推理得到；
小明：我想可以取中点，连接，在中，由勾股定理推理得到．
请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程．
【答案】解：小红：在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，即，
∴；
小明：取中点，连接，
∴，，
在中，根据勾股定理，得，
即，
整理得．
【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，完全平方公式的应用．
小红：根据勾股定理结合等积法求得，整理得到，得到；
小明：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线的性质求得，，在中，根据勾股定理，求解即可．
【详解】
略
58．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
∴，
，
．
舍去负值．
故答案为：．
59．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．
【答案】20千米处，等腰直角三角形，
理由：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
∴，
解得：，
即；
∴市场E应建在距A的20千米处；
∵，，
在和中，
，
可得，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形．
【分析】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形．
【详解】
略
60．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，将沿BC平移到，使点与点C重合，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用平移的性质和等腰三角形的性质证出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵由平移得到，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
61．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，，点在上，，点是射线上一个动点，以为边作等边，是的中点，若，则的长为 ．
【答案】或
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
连接，过点作于点，设，则，
利用等边三角形的性质和勾股定理先求出的长，利用角直角三角形的性质求出，即可通过勾股定理求出，继续结合勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
连接，过点作于点，如图所示：
∴和都是直角三角形，
∵是的中点，
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，，，，
∴是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
此时，则或，
故答案为：或．
62．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，．已知，，则的面积为 ．
【答案】22
【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线定理得出，证明是的垂直平分线，得出相等的线段，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，求出的面积，然后利用三角形中线的性质即可求解．
【详解】
解： ，
，
点是的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
；
∴，
，
在中，由勾股定理得，；
的面积为
点是的中点，
的面积
的面积为22．
故答案为：22．
63．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．在中，，以为边分别向外作正方形、正方形、正方形．若的面积为，正方形的面积为13，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中的应用，设设，，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到和，由勾股定理得，而的长为，利用完全平方公式求解即可．
【详解】
解：设，，
∵在中，，且的面积为，
∴，
∴
∵正方形的面积为13，
∴，
在 中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
如图所示，，
故答案为：．
64．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．
（1）求的长；
（2）的面积为__________；
（3）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
【答案】（1） （2）6 （3）或3或
【分析】
本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；
（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；
（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．
，
∵四边形是长方形，
．
，
，
；
设，则，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；
(2) 小问详解：
解：由（1）得，
∴，
根据翻折的性质得，，
∴的面积为，
故答案为：6；
(3) 小问详解：
解：① 若，
，
；
② 若，作于点，
，，，
，
，
；
③ 若，则，，，
，，
，
；
综上所述，或3或．
65．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，在中，，于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了含角的直角三角形性质、勾股定理、三角形面积公式．解题关键是利用角的性质求直角边长度，再通过面积法（同一三角形两种面积表示）求高；易错点是混淆角对的直角边（误将当作短边），或面积公式应用时漏乘．
首先由中、，得；其次用勾股定理求出的长度；最后利用“”的面积等式，代入数值计算．
【详解】
在中，，，故；
由勾股定理得；
，
解得．
故答案为：．
66．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
先求出的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题．
【详解】
解：由题意得：，
，
则点P到原点的距离为：，
所以点P表示的数为：，
故答案为：．
67．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值．
取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小．
【详解】
取的中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，是的斜边，
∴
∵，
∴．
连接，
∵是中点，
∴．
又因为，，
在中，根据勾股定理
观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有
∵、，得：
∴的最小值为．
68．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
【详解】
解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图，
由勾股定理得：，，，
∴；
∴正方形的面积，
故答案为：．
69．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识．
连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键．
【详解】
解：如图所示，连接，作交于点，
则，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
70．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：．
【答案】证明：在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴．
【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】
略
71．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________；
（2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长；
（3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______．
【答案】（）；（）；（）或．
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，同角的余角相等，垂直定义等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键．
（）证明，可得，，故；
（）证明，可得，，故，再由勾股定理可得的长为；
（）分两种情况画出图形，用三角形面积公式可求得答案
【详解】
解: （）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：；
（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即的长为；
（）当，时，过作于，如图，
同（）可证，
∴，
∴；
当，时，过作于，如图，
同（）可证，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
72．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长．
【详解】
解：如图，连接，
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
73．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为 ．
【答案】
【分析】
本题考查数轴上点的运算及勾股定理，根据勾股定理求出，再根据点P在数轴上的位置，确定点P表示的数即可．
【详解】
解：如图，
根据勾股定理，得，
由作图知：，
∵点A表示的数为1，
∴点P表示的数为，
故答案为：．
74．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了角平分线的性质、勾股定理.由勾股定理可得，作于，再由角平分线的性质可得，利用三角形的面积进行计算可得，最后由进行计算即可．
【详解】
解：在中，，，，
，
如图，作于，
平分，，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
75．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）（多选）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
【答案】（1） △BDE是等腰三角形；（2）10
【分析】
（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由ADBC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
【详解】
解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵ADBC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．
【点睛】
本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
76．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米；
③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米．
【答案】（1）10.6米 （2）5米
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上即可；
（2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题．
(1) 小问详解：
由题意可得，
米，米，，米，
∴（米），
∴（米），
即风筝的垂直高度的长为10.6米；
(2) 小问详解：
由题意知，（米），米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该把线再放出5米，
故答案为：5．
77．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点得到，G是中点．
（1）求证：；
（2）如果，求的长度．
【答案】（1）
证明：在中，分别是边上的高线，
，
∵F是的中点，
，
是等腰三角形，
∵G是的中点，
； （2）
【分析】
（1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可判定，可得是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证；
（2）由，可求，可判定是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线，利用勾股定理即可得答案．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：分别是边上的高线．
，
∵F是的中点，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
∵G是的中点，
，
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及利用勾股定理解三角形，解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用证明三角形全等．
78．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）在直角中，为斜边的中点，、分别在、上，，已知，，，求．
【答案】10
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理.延长到点，使，连接，．先根据得到≌，进而证明是直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
【详解】
解：如图，延长到点，使，连接，．
又因为为的中点，所以≌．
所以，，所以，所以，
故是直角三角形，于是有．
又在直角中，有．
又由和可得，
于是可得，
所以，即．
又，所以，即．
因此，所以．
79．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称和互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”．
（1）如图，和互为“底余等腰三角形”．若连接，判断和是否互为“底余等腰三角形”： ；（填“是”或“否”）
（2）如图，和互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是．
①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②若，求的长；
③猜想：四边形的四边存在怎样的相等关系？
【答案】（1）是 （2）① 如图所示；
②13
③
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，尺规作线段垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
对于（1），根据“底余等腰三角形”的定义得，，再根据四边形内角和定理说明，则答案可证；
对于（2）① ，分别以点B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点K，作射线交于点F，则即为所求作；
② 作，先根据“角角边”证明，可得，再根据勾股定理求出答案；
对于③ ，先由② 得，可得，根据勾股定理得，同理可得，则此题可解．
(1) 小问详解：
解：是．
∵和互为“底余等腰三角形”，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
即，
所以和互为“底余等腰三角形”．
故答案为：是；
(2) 小问详解：
解：① 略
② 过点A作，交于点G，
∴．
∵和互为“底余等腰三角形”，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得；
③．
由② 得，
∴．
在中，，
即．
同理：，
即，
∴，
即．
80．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）综合与实践：
小明想知道一张纸的长宽比（长＞宽），他设计了如下方案：
（1）他拿出一张纸，量出长和宽分别为和，用长度除以宽度得出了大致长宽比，则长宽比约等于______；（保留1位小数）
（2）小明受图1启发，将一张纸按图2的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______；
（3）小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由；
（4）小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张……按此规律，请直接写出纸的长与纸的长的关系．
【答案】（1） （2） （3）
纸的长宽比为；理由如下，
设纸的长为，则宽为，
∵两张纸可以拼成一张纸，
∴纸的长为，则宽为，
∵长宽比保持不变，
∴，
∴（负值已舍），
∴，即纸的长宽比为； （4）
【分析】
本题考查折叠的性质，规律探究，勾股定理，二次根式的混合运算．
（1）根据题意计算即可求解；
（2）根据折叠的性质求得四边形是正方形，利用勾股定理求解即可；
（3）设纸的长为，则宽为，则纸的长为，则宽为，根据长宽比保持不变，列式计算即可求解；
（4）由（3）的结论求得纸的长为纸的长的倍，找到规律，根据规律求解即可．
(1) 小问详解：
解：；
故答案为：；
(2) 小问详解：
解：∵长方形的宽为2，
∴，由折叠的性质得，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即长方形的长为，
故答案为：；
(3) 小问详解：
略
(4) 小问详解：
解：设纸的长为，
由（3）得纸的长为，纸的长为，
则纸的长为纸的长的倍，
∴纸的长为，
纸的长，
纸的长，
，
∴纸的长为，
∴．
81．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，．
①请在图1直线上作出点，使得最小；
②的最小值为_____；
（2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值；
（3）代数应用：代数式（）的最小值为_____．
【答案】（1）① 如下图，
②5； （2） （3）
【分析】
（1）① 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可；
② 过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可；
（2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时，
连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可；
（3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键．
(1) 小问详解：
解：① 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，
点P即为所求作；
② 解：过点作，交的延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
(2) 小问详解：
解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，
则取得最小值，此时，
连接，
根据轴对称性质，得，，
故，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
(3) 小问详解：
解：根据，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
故的最小值为，
故答案为：．
82．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．
（1）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上．
【答案】（1）为等腰三角形时，的值为5或或8 （2）t的值为或10
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；
（2）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值．
(1) 小问详解：
解：当时，；
当时，
在中，，，，
则，
在中，，即，
解得：，
；
当时，，
，
综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8；
(2) 小问详解：
解：当点在上时，如图2，
，，，
，
在中，，即，
解得：，
；
当点在的延长线上时，如图3，
，，，
，
在中，，即，
解得：，
；
∴为或10时满足条件．
83．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】168
【分析】
本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴四边形的面积为168．
故答案为：168．
84．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，将翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为 .
【答案】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，设，则，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度．
【详解】
解：，点是边的中点，
，
设，则，
由折叠可知，
，
，
，
解得：，
．
85．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，等边中，，动点由点出发，沿方向以每秒个单位长度向点运动（与点、不重合），点以相同的速度由点沿射线方向运动(点不与点重合)，连接交于点，过点作，垂足为点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，______；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）； （2）； （3）．
【分析】
根据运动速度和运动时间可知，根据等边三角形的性质可知，利用直角三角形的性质可知；
根据等边三角形的性质可知，当时，，可得方程，解方程即可求出的值；
过点作，交于点，则，根据等边三角形的性质可证是等边三角形，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可知，再利用勾股定理求出的长度．
(1) 小问详解：
解：当时，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
(2) 小问详解：
解：如下图所示，
，
，
等边的边长为
，，
，
，
，
，，
，
解得：；
(3) 小问详解：
证明：如下图所示，过点作，交于点，则，，
是等边三角形，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形中的动点问题、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系．
86．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）
（1）如图②，射线恰好经过点，求出此时的值；
（2）当射线与边交于点时，
①请直接写出长的取值范围：__________；
②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）①；② 存在这样的值，使得，的值为或．
【分析】
本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质；
（1）先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论；
（2）① 分别计算两个边界点：由（）知：时，，当最小时，，此时，可得结论；
（2）分两种情况：点在矩形的内部时，先求解， 再过点作于，过点作于，求解，，再建立方程求解即可；当点在矩形的外部，可得，从而可得答案．
(1) 小问详解：
解：如图1，
四边形是长方形，
，
∴，
由轴对称得：，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
(2) 小问详解：
由（1）可知：当时，与重合，此时，
如图，当时，与重合，此时，
，
故答案为：；
② 解：存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时，如图，
∵，
而，由（1）同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点P作于H，过点F作于G，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
，
，
解得：；
当点在长方形的外部时，如图，
，
，
，
，
，（此时与重合），
综上，存在这样的值，使得，的值为或．
87．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键．
过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为，则，
根据拼图可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
故答案为：．
88．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图1中的边上找一点D，连接，使．
（2）在图2中的边上找一点E，连接，使点E到和所在直线的距离相等．
（3）在图3中画出点A关于的对称点F．
【答案】（1）
如下图即为所求作；
（2）
如下图即为所求作；
（3）
如下图点F即为所求作；
【分析】
本题考查了三角形中线的性质及其作法、平行线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键．
（1）利用三角形中线的性质，取格点M、N，连接交于点D，再连接即可；
（2）取格点P，使，连接交格点于Q，则，连接交于点E，根据等腰三角形性质得出平分，则点E到和所在直线的距离相等；
（3）先过点A作于点O，延长到点G，使，分别过点A、G作，且，交于点F，根据两平行线间的距离等于两平行线间的距离可得，则点A关于的对称点F．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
89．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设出发的时间为t秒．
（1）当t为何值时，是以为底的等腰三角形？
（2）出发2秒后，求的周长．
（3）当t为何值时，直线将的周长分成相等的两部分？
【答案】（1） （2） （3）2或6秒
【分析】
本题考查三角形中的动点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）勾股定理求出的长，等边对等角，结合等角的余角相等，推出点为线段的中点，根据时间等于路程除以速度，进行计算即可；
（2）求出的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长，再利用三角形的周长公式进行计算即可；
（3）分两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可．
(1) 小问详解：
解：∵，，，
，
当是以为底的等腰三角形时，此时点在上，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即点为线段的中点，
由题意，；
(2) 小问详解：
解：如图1，
∵动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，则，
，
，
由（1）可知，，
∴，
的周长为：
(3) 小问详解：
由（1）可知，的周长为，
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
；
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
，
当t为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
90．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，等腰直角与等腰直角的斜边，交于点F，若，且，，则的长度 ．
【答案】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，条件辅助线构造全等三角形是解题的关键：连接，过点作，交于点，证明，得到，，推出，证明，求出，进行求解即可．
【详解】
解：连接，过点作，交于点，
∵等腰直角与等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
91．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）【神奇的变换】
（1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【翻折一下】
（2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【旋转一下】
（3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：．
【平移一下】
（4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______．
【答案】（1）
（2）成立，
理由：，．
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，．
．
（3）证明：如图4，过点作，交的延长线于点，过点作，于点，
，，，
是等腰直角三角形，．
，,
是等腰直角三角形，．
，，．
．
，．
．
又，．
，．
设，，，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，即，
，
．
．
（4）
【分析】
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
（1）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论；
（2）在中，，在中，， 在中，，在中，，即可得结论；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作，于点，易证，设，，，，根据，，，，，即可得到结论；
（4）将沿着向上平移，使得与重合，连接，，由结论可求的值，由三角形的三边关系可求解．
【详解】
解：（1），．
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，．
．
故答案为：＝．
（2）略
（3）略
（4）如图6，将沿着向上平移，使得与重合，连接，，
，．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
由结论可得，，
．
．
，
的最大值为，
的最大值为．
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
1．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 2，4，3
B. 2，5，4
C. ，2，
D. 1，，
【答案】C
【分析】
利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】
解：∵，
∴
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
∵，
∴，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）下列为勾股数的是（ ）
A. 2，3，4
B. ，，
C. 6，7，8
D. 5，12，13
【答案】D
【分析】根据勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．
【详解】解：A、不是，因为22+32≠42；
B、不是，因为+≠；
C、不是，因为62+72≠82；
D、是，因为52+122=132．
故选D.
【点睛】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
3．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、，，
，
能判定为直角三角形，不符合题意；
B、，，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，
，符合勾股定理的逆定理，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，，
是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）在中，D是边上的一点．若，则是（ ）
A. 的角平分线
B. 边上的高线
C. 边上的中线
D. 边上的垂直平分线
【答案】B
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理．由等式变形得，根据勾股定理逆定理，可知为直角三角形，且，从而，即是边上的高线．
【详解】
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是边上的高线．
故选：B．
5．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）．
A. ，，
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可．
【详解】
解：A中，∵，
∴为直角三角形，
选项A不符合题意；
B中，∵，
∴设，，，
∵，
∴为直角三角形，
故选项B不符合题意；
C中，∵，，
∴，
∴为直角三角形，
故选项C不符合题意；
D中，∵，
∴设，则，，
故，
解得，
∴，，，
∴是锐角三角形，
故选项D符合题意．
故选：D．
6．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）以下列各组数值为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 7，24，25
B. 1，1，
C. 20，21，29
D. 9，16，25
【答案】D
【分析】
本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足两边平方和等于最大边的平方．
【详解】
解：对于选项A：∵，
∴，
能构成直角三角形；
对于选项B：∵，
∴，
能构成直角三角形；
对于选项C：∵，
∴，
能构成直角三角形；
对于选项D：∵，
∴，
不能构成直角三角形；
故选：D．
7．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、，，
∴最大角为，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设分别为，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、，
，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
8．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（）
A. 3，4，5
B. ，，
C. 4，5，6
D. 7，24，25
【答案】C
【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理判断三角形是否为直角三角形是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方（第三边为最长边），则该三角形为直角三角形，据此逐项判断即可．
【详解】
解：A．最长边为5，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B．最长边为，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C．最长边为6，，即，不能作为直角三角形三边长，符合题意；
D．最长边为25，，即，能作为直角三角形三边长，不符合题意．
故选C．
9．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三边长之比为
B. 三内角之比为
C. 三内角之比为
D. 三边长的平方之比为
【答案】B
【分析】
本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定．根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】
A.三边长之比为时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意；
B. 三内角之比为，根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形，符合题意．
C.三内角之比为，根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，不符合题意；
D.三边长的平方之比为时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
10．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】C
【分析】
本题考查三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用所学知识判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键．
根据直角三角形的定义（有一个角为90°）和勾股定理的逆定理，逐个分析每个条件是否能使为直角三角形即可．
【详解】
解：∵ 在中，，
∴对于①：，即，解得：，故是直角三角形；
对于②：设，则，故是直角三角形；
对于③：，则，即，故是直角三角形；
对于④：，即，故是直角三角形．
对于⑤：设，则，
∴，解得：，
∴最大角，故不是直角三角形．
综上，有4个条件能确定直角三角形．
故选C．
11．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
【答案】7200元
【分析】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案．
【详解】
解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
，
元，
即需要投入7200元．
12．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D是的中点可求出的长，由勾股定理的逆定理证明，再由斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长．
【详解】
解：已知点D是的中点，，
∴ ，
∵
∴，
∵，
，
根据勾股定理的逆定理，可得，
即，
∵E是的中点，
∴．
13．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？
【答案】1800元
【分析】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用；连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】
解：连接，
在中，，，
，
在中，，
，
的面积为平方米，
的面积为平方米，
四边形面积平方米，
共需花费元元．
答：共需花费元．
14．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【分析】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：在中，，
，
．
在中，，，
，，
，
是直角三角形，即．
．
15．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米
【分析】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
(1) 小问详解：
解：是，理由如下：
在中，，，，
，，，
，
，
是从村庄到河边的最近路；
(2) 小问详解：
解：设，则，
，
在中，，
，
解得：，
即的长为千米．
16．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）计算图中四边形的面积．
【答案】四边形的面积为．
【分析】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，由勾股定理得，然后通过勾股定理逆定理可得，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】
解：如图，连接，
由图可知，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
17．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：．
【答案】（1）
证明：，，，
，
，
是直角三角形； （2）
证明：设的中点为N，连接，
，
，是直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，
，
在和中， ，
，
，
．
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质．
（1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论；
（2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
18．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
（1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
（2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
（3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．
(1) 小问详解：
解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
(2) 小问详解：
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
(3) 小问详解：
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
19．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题：
（1）求证：；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
证明：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴； （2）
【分析】
本题考查了勾股定理的应用．
（1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：四边形的面积的面积的面积
．
20．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图在的网格中，
【答案】45
【分析】
本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线．
连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果．
【详解】
解：如图，连接，
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：45．
21．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且．
（1）证明：；
（2）求这块空地的面积．
【答案】（1）
证明：∵E是的中点，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴； （2）
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，连接，
∵，E是的中点，
∴垂直平分，
∴．
∵ ，，
∴，
∴，
∴四边形空地的面积=．
22．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．（结果精确到0.1，参考值：）
【答案】四边形的面积约为2.7
【分析】
本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，连接，先证明是等边三角形，得到，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而得到，即可求出四边形的面积．
【详解】
解：如图，作于点，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积约为2.7．
23．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，，垂足为D．
（1）若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论．
（2）若，设，，．求证：．
【答案】（1）
是，证明如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴；
∴是直角三角形； （2）
证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，，；
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键：
（1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
24．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）（多选）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）ABCD的面积为10.
【分析】
（1）在Rt△AEB中根据勾股定理求出AB的长，同理，根据勾股定理求出BC、AC的长，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC为直角三角形；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置．根据平行四边形ABCD的面积为△ABC面积的2倍即可得出平行四边形的面积．
【详解】
解：（1）由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×AC＝×2＝10．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，以及利用平行四边形的概念作平行四边形，解题时注意：若三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
25．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 ．
【答案】2
【分析】
本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答．
【详解】
解：由勾股定理可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：2．
26．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）（多选）如图，把一块直角三角形ABC（其中）土地划出一个三角形ADC后，测得米，米，米，米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【答案】（1）
解：直角三角形ABC中，
，，
，
，
，
，
是直角三角形； （2）24平方米
【分析】
（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC=5，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形；
（2）由，结合三角形面积公式解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
（平方米）．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
27．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，，，，．
求四边形的面积．
【答案】36
【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可．
【详解】
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
．
试卷第1页，共3页
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专题08 勾股定理
2大高频考点概览
考点01 勾股定理及其应用
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
考点01 勾股定理及其应用
1．（25-26学年八上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A. 刘徽
B. 祖冲之
C. 赵爽
D. 秦九韶
2．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A.
B. 2025
C.
D. 2026
4．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 5，7，10
B. 5，12，13
C. ，，
D. ，6，
5．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（ ）
A. 25
B. 5
C. 5或
D. 5或7
6．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7．（25-26学年八上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（ ）
A. 12海里
B. 8海里
C. 10海里
D. 13海里
8．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）下列各组数中是勾股数的是（ ）
A. ，，
B. 0.3，0.4，0.5
C. 4，5，6
D. 9，12，15
9．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（ ）
A. 4
B. 5
C. 5．5
D. 6
10．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ）
A. 1
B. 1.4
C.
D.
11．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ）
A. 6
B. 12
C. 13
D. 25
13．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，两步尺），此时踏板升高离地五尺（尺），若绳索始终拉直，则秋千绳索OB的长是（ ）
A. 12尺
B. 13.5尺
C. 14.5尺
D. 15.5尺
15．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
16．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 6
17．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
18．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
19．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
20．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
21．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
22．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（ ）
A. 4种
B. 5种
C. 6种
D. 7种
23．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端到墙底端的距离为1.5m．求梯子顶端到地面的距离h．
24．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m．
25．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在四边形中，，点在边上，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
26．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ．
27．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ．
28．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为 ．
29．（25-26学年八上·江苏常州·期中）以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ．
30．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．
31．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为 ．
32．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为 长．
33．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
34．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．
35．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线）．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长．
36．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
37．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ．
38．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）在中，，，，则的长为 ．
39．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，长方形木板的长为，宽为，在木板的一角顶点A处有一只小虫，另一角顶点B处有食物，小虫沿木板表面向B处爬行觅食，则小虫爬行的最短路径长度为 （木板厚度忽略不计）
40．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的高为 ．
41．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c．
（1）已知，，求b；
（2）已知，，求c．
42．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端，则梯子的顶端与地面的距离为 .
43．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长．
44．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
45．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留）
46．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
（1）若，则__________°；
（2）判断的形状，并说明理由：
（3）求证：
47．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，．点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点．
（1）求证：；
（2）若的面积是50，则_________．
48．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，中，，为中点，在上，且，若，，则边的长度为 ．
49．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）（1）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
①在图1中画一条线段，使，线段的端点在格点上：
②在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形，其中，三角形的顶点在格点上；
（2）已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
①作的平分线，交于点；
②在线段上求作一点，使得．
50．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长．
51．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．
52．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．
53．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹．
（1）图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可）
（2）图2中，在网格内画出点，使得；
（3）图3中，将的某一个顶点沿网格线平移一次得到点，使得点与的另两个顶点围成新的三角形，且该三角形的周长、面积都是有理数．画出平移一个顶点后得到的新三角形．
54．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，边、的垂直平分线交于点，且点与点之间的距离为3，则的长为 ．
55．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1个单位长度，的顶点在格点上．
（1）___________；
（2）线段上是否存在点，使得，若存在，画出点，并说明理由；若不存在，请说明理由．
（3）只用无刻度的直尺在图中作出的角平分线．（在图中不能再另外补出网格）
56．（25-26学年八上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ．
57．（25-26学年八上·江苏南京·期中）在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法．
【课本例题重现】如图，为的斜边上的高，设，，，求证：．
证明：在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
，
．
．
【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同的证明思路
小红：我想由面积的等量关系推理得到；
小明：我想可以取中点，连接，在中，由勾股定理推理得到．
请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程．
58．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和 ．
59．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．
60．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在中，，将沿BC平移到，使点与点C重合，则的长为 ．
61．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，，点在上，，点是射线上一个动点，以为边作等边，是的中点，若，则的长为 ．
62．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）在中，是边上的中线，是边上的高线，于G，．已知，，则的面积为 ．
63．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．在中，，以为边分别向外作正方形、正方形、正方形．若的面积为，正方形的面积为13，则的长为 ．
64．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．
（1）求的长；
（2）的面积为__________；
（3）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
65．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）如图，在中，，于点．若，，则的长为 ．
66．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ．
67．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ．
68．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ．
69．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ．
70．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：．
71．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________；
（2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长；
（3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______．
72．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ．
73．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为 ．
74．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，在中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ．
75．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）（多选）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
76．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米；
③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米．
77．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点得到，G是中点．
（1）求证：；
（2）如果，求的长度．
78．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）在直角中，为斜边的中点，、分别在、上，，已知，，，求．
79．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称和互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”．
（1）如图，和互为“底余等腰三角形”．若连接，判断和是否互为“底余等腰三角形”： ；（填“是”或“否”）
（2）如图，和互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是．
①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②若，求的长；
③猜想：四边形的四边存在怎样的相等关系？
80．（25-26学年八上·江苏无锡经开区·期中）综合与实践：
小明想知道一张纸的长宽比（长＞宽），他设计了如下方案：
（1）他拿出一张纸，量出长和宽分别为和，用长度除以宽度得出了大致长宽比，则长宽比约等于______；（保留1位小数）
（2）小明受图1启发，将一张纸按图2的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______；
（3）小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由；
（4）小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张……按此规律，请直接写出纸的长与纸的长的关系．
81．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，．
①请在图1直线上作出点，使得最小；
②的最小值为_____；
（2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值；
（3）代数应用：代数式（）的最小值为_____．
82．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．
（1）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上．
83．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
84．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，将翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为 .
85．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，等边中，，动点由点出发，沿方向以每秒个单位长度向点运动（与点、不重合），点以相同的速度由点沿射线方向运动(点不与点重合)，连接交于点，过点作，垂足为点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，______；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的长．
86．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）
（1）如图②，射线恰好经过点，求出此时的值；
（2）当射线与边交于点时，
①请直接写出长的取值范围：__________；
②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．
87．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为 ．
88．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图1中的边上找一点D，连接，使．
（2）在图2中的边上找一点E，连接，使点E到和所在直线的距离相等．
（3）在图3中画出点A关于的对称点F．
89．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设出发的时间为t秒．
（1）当t为何值时，是以为底的等腰三角形？
（2）出发2秒后，求的周长．
（3）当t为何值时，直线将的周长分成相等的两部分？
90．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，等腰直角与等腰直角的斜边，交于点F，若，且，，则的长度 ．
91．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）【神奇的变换】
（1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【翻折一下】
（2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【旋转一下】
（3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：．
【平移一下】
（4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______．
考点02 勾股定理的逆定理及其应用
1．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 2，4，3
B. 2，5，4
C. ，2，
D. 1，，
2．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）下列为勾股数的是（ ）
A. 2，3，4
B. ，，
C. 6，7，8
D. 5，12，13
3．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）在中，D是边上的一点．若，则是（ ）
A. 的角平分线
B. 边上的高线
C. 边上的中线
D. 边上的垂直平分线
5．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）．
A. ，，
B.
C.
D.
6．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）以下列各组数值为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 7，24，25
B. 1，1，
C. 20，21，29
D. 9，16，25
7．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A.
B.
C.
D.
8．（25-26学年八上·江苏无锡滨湖区·期中）下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（）
A. 3，4，5
B. ，，
C. 4，5，6
D. 7，24，25
9．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三边长之比为
B. 三内角之比为
C. 三内角之比为
D. 三边长的平方之比为
10．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
11．（25-26学年八上·江苏连云港·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
12．（25-26学年八上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ．
13．（25-26学年八上·江苏南京·期中）如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？
14．（25-26学年八上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
15．（25-26学年八上·江苏苏州·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
16．（25-26学年八上·江苏南京鼓楼区·期中）计算图中四边形的面积．
17．（25-26学年八上·江苏南京南京建邺区·期中）如图，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：．
18．（25-26学年八上·江苏无锡新吴区·期中）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
（1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
（2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
（3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
19．（25-26学年八上·江苏扬州高邮·期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题：
（1）求证：；
（2）求四边形的面积．
20．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图在的网格中，
21．（25-26学年八上·江苏盐城盐都区·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且．
（1）证明：；
（2）求这块空地的面积．
22．（25-26学年八上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．（结果精确到0.1，参考值：）
23．（25-26学年八上·江苏泰州兴化·期中）如图，，垂足为D．
（1）若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论．
（2）若，设，，．求证：．
24．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）（多选）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
25．（25-26学年八上·江苏淮安淮安区·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 ．
26．（25-26学年八上·江苏镇江扬中·期中）（多选）如图，把一块直角三角形ABC（其中）土地划出一个三角形ADC后，测得米，米，米，米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
27．（25-26学年八上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，，，，．
求四边形的面积．
试卷第1页，共3页
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