第二章 有理数的运算 单元培优练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 七年级数学人教版上册第二章有理数运算单元培优卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合芯片晶体管科学记数法、文具厂质量计算等情境，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|温差计算、科学记数法、数轴位置关系|结合科技情境（15300000000科学记数）、生活游戏（算24点）| |填空题|4/12|绝对值非负性、规律探究、新定义运算|跳蚤跳动规律（2025次落点距离）、a※b新运算设计| |解答题|6/58|混合运算、实际应用、数轴动点|文具厂盈利计算（成本与收入）、数轴折叠与动点操作（2025次移动）|

七年级数学（人教版）上册单元培优练习 第二章 有理数的运算 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 一台冰箱冷冻室的温度为−18℃，冷藏室的温度为4℃，二者温差是 A．4℃ B．14℃ C．18℃ D．22℃ 2. 的倒数是 A．3　 B．　 C．−3　 D． 3. 某种芯片上集成了15300000000个晶体管，形成一个复杂的网络，以实现高性能和低功耗。数据15300000000用科学记数法可以表示为 A．B． C． D． 4. 用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是 A．按键顺序为 1.3 =，显示结果为 1.69 B．按键顺序为显示结果为 1 C．按键顺序为 2 4 = ，显示结果为 16 D．按键顺序为 2 × (−) 0.5 =，显示结果为 −1 5. 若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 6. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝−1，则最后输出的结果是多少？ A．−11　 B．11　 C．−10　 D．−21 7. 下面各组大小关系中，正确的是 A．　 B． C． D． 8. “算24点”的游戏规则是：用“＋，−，×，÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式.以下的4个数用“＋，−，×，÷”四种运算符号不能算出结果为24的是 A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 9. 下列说法中，正确的是 A．当n为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当n为奇数时，和相等 D．和一定不相等 10. 数轴上有A，B，C三点，其中点A，B分别表示数−6，−2，现以点C为折点将数轴向右对折（如图），若点A的对应点A′刚好与点B重叠，则点C表示的数是 A．0　 B．−5　 C．−3　 D．−4 11. 已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为 A．C，A，B　 B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 12. 四个互不相等整数a、b、c、d，满足abcd = 81，则 A．0　 B．12　 C．−12　 D．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则______。 14. 一只跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第2025次落下时，落点处离O点的距离是______个单位。 15. 如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a、b、c，且AC = BC，则a + b____c（填“>，<或=”）。 16. 定义运算a※b = ab −a + b，则[(−2)※(−2)]※=______。 三、解答题（本大题共6小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分8分）计算： (1) (2) 18. （本小题满分6分）根据倒数的性质我们知道：若则，例如：，所以请利用倒数的性质，计算： 19. （本小题满分8分）某文具厂工人刘师傅一天生产20盒铅笔，以每盒50克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） −4 −2 −1 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1) 20盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2) 这20盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3) 若生产每克铅笔的成本是0.05元，这批铅笔按每盒12元的价格售出15盒后，剩余5盒以每盒10元的优惠价卖出。这20盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 20．（本小题满分8分）根据如图所示的程序回答问题： (1) 当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是________； (2) 当林林输入和这两个数时，求输出的结果。 21. （本小题满分10分）a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且|a|=5，|b|=2，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1) 试确定数a，b； (2) 若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数； (3) 点P从A点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025次后，求P点表示的数。 22. （本小题满分12分）阅读材料：，即当时，；当时，。用这个结论解决下列问题： (1) 已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2) 已知a，b是有理数，当ab > 0时，________； (3) 若abc > 0，则________。 参考答案 一、选择题 1. D【解析】有理数减法（温差）.温差＝高温－低温＝4－(−18)＝4＋18＝22℃. 2. A【解析】先化简：（“负负得正”）；乘积为1的两个数互为倒数，故1/3的倒数是3. 3. B【解析】把一个大于10的数写成a×10ⁿ的形式，其中1≤a＜10，n＝整数位数－1.15300000000是11位数，n＝10，a＝1.53，故为1.53×10¹⁰.A中0.153＜1，C中15.3≥10，D中153≥10且指数错误，均不符合规范. 4. B【解析】逐项核算：A：1.3²＝1.69，对应；B：6÷＝4，而题目显示结果为1，不对应；C：2⁴＝16，对应；D：2×(−0.5)＝−1，对应.故选B. 5. C【解析】由图可知−1＜a＜0＜b.A：a＋b的符号取决于两数绝对值的大小，无法确定，错；B：a、b异号，ab＜0，错；C：a−b＝负数−正数＜0，正确；D：a、b异号，a/b＜0，错.故选C. 6. A【解析】按流程逐步计算：输入x＝−1 → ×4得−4 → −(−1)即−4−(−1)＝−3 → 判断−3＜−5，否 → 回环：−3×4＝−12 → −12−(−1)＝−11 → 判断−11＜−5，是 → 输出−11.故选A. 7. C【解析】A：|−10|＝10，0＜10，错；B：交叉相乘3×102＝306＜404＝4×101，故＜，错；C：|−2|＋35.6＝2＋35.6＝37.6，|−2＋35.6|＝33.6，37.6＞33.6，正确；D：(−2)³＝−8，(−2)²＝4，−8＜4，错.故选C. 8. A【解析】逐一验证：B：(1＋2＋3)×4＝24；C：(10×10−4)÷4＝24；D：(6＋3)×8÷3＝24；而A组的1、6、8、7经全部四则运算组合均无法得到24.故选A. 9. C【解析】−aⁿ表示“aⁿ的相反数”，(−a)ⁿ表示“−a的n次方”.当n为奇数时，(−a)ⁿ＝−aⁿ，二者相等，故C正确；当n为偶数时，(−a)ⁿ＝aⁿ，与−aⁿ互为相反数，故A错；B、D均忽略了n为奇数时二者相等这一情形，错.故选C. 10. D【解析】考点：数轴、线段中点（对折即轴对称）.以点C为折点对折后，点A的对应点A′与点B重合，说明点C是线段AA′的中点，即线段AB的中点.由中点公式：C＝(−6＋(−2))÷2＝−4.故选D. 11. C【解析】由|a−1|＝|1−c|且a≠c，知点B（表示数1）是线段AC的中点，故a＋c＝2；又|a|＞|c|，即a到原点的距离比c远.若c＜1＜a，则a＝2−c＞1，恒有|a|＝2−c＞|c|，成立；若c＞1＞a，则|a|＞|c|不可能成立.故c＜1＜a，三点从左到右为C、B、A.故选C. 12. A【解析】解：∵abcd=81,且a,b,c,d是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： 81=(-9)×(-1)×1×9, 或81=3×(-3)×(-9)×1, 或81=-3×3×9×(-1), 或81=27×(-3)×(-1)×1, 或81=-27×3×1×(-1), ∴a+b+c+d=-9-1+1+9=0, 或a+b+c+d=3+(-3)+(-9)+1=-8, 或a+b+c+d=3+(-3)+9+(-1)=8 或a+b+c+d=27+(-3)+(-1)+1=24, 或a+b+c+d=-27+3+(-1)+1=-24, 观察四个选项，只有0符合，故A正确. 二、填空题 13. -2【解析】解：∵|x+1|+|y-2|+|z-3|=0, 而|x+1|≥0,|y-2|≥0,|z-3|≥0, ∴x+1=0,y-2=0,z-3=0, 解得x=-1,y=2,z=3, x+y+z=-1+2+3=4. 14. 1013【解析】考第n次跳动：n为奇数时向右跳n个单位，n为偶数时向左跳n个单位.2025次的总位移为1−2＋3−4＋…＋2025＝1＋(−2＋3)＋(−4＋5)＋…＋(−2024＋2025)＝1＋1012×1＝1013（向右）.故落点处离O点的距离是1013个单位. 15. ＞【解析】考点：数轴、线段中点.由图a＜0＜c＜b.AC＝BC，说明点C是线段AB的中点，则c−a＝b−c，即a＋b＝2c.又c＞0，故2c＞c，即a＋b＞c，填“＞”. 16. 【解析】考点：新定义运算.按定义a※b＝ab−a＋b逐步计算：先算(−2)※(−2)＝(−2)×(−2)−(−2)＋(−2)＝4＋2−2＝4；再算4※()＝4×−4＋＝1−4＋＝−3＋＝. 三、解答题 17. （1）【解析】有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内）.(−3)²＝9；(1½)³＝()³＝27/8；×＝；6÷||＝6÷＝6×()＝9.原式＝9−9＝. （2）【解析】有理数混合运算、乘方符号.注意−1⁴表示“1⁴的相反数”，−1⁴＝−1，不能误算为(−1)⁴＝1.1/2−1/3＝1/6；(−2)³＝−8，(−3)²＝9，故[(−2)³−(−3)²]＝−8−9＝−17.原式＝−1−()×(−17)＝−1＋＝. 18. 解： 所以 19. (1) 最重的一盒：50＋3＝53（克），最轻的一盒：50−4＝46（克），差为53−46＝7（克）. (2) 总差值＝(−4)×1＋(−2)×5＋(−1)×2＋0×4＋1×3＋3×5＝−4−10−2＋0＋3＋15＝2（克），实际总质量＝20×50＋2＝1002（克）. (3) 成本＝1002×0.05＝50.1（元）；收入＝12×15＋10×5＝180＋50＝230（元）；盈利＝230−50.1＝179.9（元）. 20. 运算流程：输入a、b → 计算ab → 再减1 → 判断结果是否为正数，是则输出，否则取绝对值后输出. (1)，，直接输出. (2)取绝对值，输出. 21. （1）解：，， ，， ∵由数轴可知，， ，； （2）解：∵，， ∴， ①若点在点的右侧，如图， 则， ∴点表示的数为：， ②若点在，点之间， 则， ， ∴点表示的数为：； ③若点在左侧时，如图， 显然，即不存在C点到B点的距离是C点到A点距离的，此种情况舍去； 综上，点表示的数为或； （3）解： ， 表示的数为． 22. （1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $