26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（导学案） 一、学习目标 1.会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念。 2.通过观察图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质。 3.在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 学习重点： 探究二次函数y=ax2的图象和性质。 学习难点： 观察图象，说出二次函数y=ax2的图象特征和性质。 二、学习过程 （一）复习引入 1.一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有哪些特殊形式？ 答：y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c. 3.我们是如何研究正比例函数的图象和性质的？研究了它的哪些性质？ 答：利用描点法画出函数图象，借助函数图象研究函数性质. 研究了正比例函数图象的形状、位置，函数的增减性. 4.描点法画函数图象的步骤有哪些？ 答：列表，描点，连线. （二）合作探究 问题 用描点法画出二次函数y=x2的图象. 追问 说一说自变量的取值范围. 答：自变量的取值范围是全体实数. 1.列表： 2.描点： 3.连线： 观察图象并填空： 二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c. 抛物线y=x2是轴对称图形，y轴是它的对称轴. 抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点. 图象对称性的代数解释 在抛物线y=x2上任取一点(m，m2)，因为该点关于y轴的对称点(−m，m2)也在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 函数的增减性 从二次函数y=x2的图象可以看出:在对称轴的左侧，抛物线从左到右 下降 ；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 上升 .也就是说，当x<0时， y随x的增大而减小 ；当x>0时， y随x的增大而增大 . 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2 ，y=2x2的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象： 思考 函数y=x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点? （三）类比探究x2−x−56=0 探究 回顾上面研究二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质吗? 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点. （四）巩固练习 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象: (1) y=3x2； (2) y=−3x2. 2. 填表. 第1题图 3. (2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则（  A  ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 （五）当堂检测 1. 下列各点在函数y=x2的图象上的是（ C ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，2) D．(4，4) 2.抛物线 y = -2x2的图象可能是( A ) A． B． C． D． 3. 抛物线y=x2的顶点坐标是（  C  ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线y=2x2时，将“2”按成了“−2”，和原图象相比，发生改变的是（ B   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是（ D ） A．a1<a2<a3 B．a3<a1<a2 C．a1<a3<a2 D．a3<a2<a1 6. 已知抛物线y=ax2(a≠0)经过两个不同的点A(m，8)和B(2，8)，那么m的值是（ B ） A．2 B．−2 C．8 D．−8 （六）课堂小结 1.说一说二次函数y=ax2的图象与性质. 2.谈一谈研究二次函数的图象与性质的一般方法. 3.本节课你体会到了哪些数学思想方法？ 答：分类讨论，数形结合，数学归纳，类比迁移. （七）布置作业 A组题：习题26.2：第1题. B组题：请你借鉴今天的学习经历设计“探究二次函数y=ax2+k(a、k是常数，k≠0)的图象与性质”的方案. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（导学案） 一、学习目标 1.会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念。 2.通过观察图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质。 3.在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 学习重点： 探究二次函数y=ax2的图象和性质。 学习难点： 观察图象，说出二次函数y=ax2的图象特征和性质。 二、学习过程 （一）复习引入 1.一般地，形如 的函数，叫作二次函数.其中x是 ，a，b，c分别是函数解析式的 、 和 . 2.二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有哪些特殊形式？ 3.我们是如何研究正比例函数的图象和性质的？研究了它的哪些性质？ 4.描点法画函数图象的步骤有哪些？ （二）合作探究 问题 用描点法画出二次函数y=x2的图象. 追问 说一说自变量的取值范围. 1.列表： 2.描点： 3.连线： 观察图象并填空： 二次函数y=x2的图象是一条 ，它的形状类似 .实际上，二次函数的图象都是类似的 ，它们的开口或者向 或者向 . 我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作 . 抛物线y=x2是轴对称图形， 是它的对称轴. 抛物线y=x2与其对称轴的交点 叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最 点. 图象对称性的代数解释 在抛物线y=x2上任取一点(m，m2)，因为该点关于y轴的对称点 也在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与 的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最 点或最 点. 函数的增减性 从二次函数y=x2的图象可以看出:在对称轴的左侧，抛物线从左到右 ；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 .也就是说，当x<0时， ；当x>0时， . 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2 ，y=2x2的图象. 思考 函数y=x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点? （三）类比探究x2−x−56=0 探究 回顾上面研究二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质吗? 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点. （四）巩固练习 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象: (1) y=3x2； (2) y=−3x2. 2. 填表. 第1题图 3. (2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则（     ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 （五）当堂检测 1. 下列各点在函数y=x2的图象上的是（  ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，2) D．(4，4) 2.抛物线 y = -2x2的图象可能是( ) A． B． C． D． 3. 抛物线y=x2的顶点坐标是（     ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线y=2x2时，将“2”按成了“−2”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是（ ） A．a1<a2<a3 B．a3<a1<a2 C．a1<a3<a2 D．a3<a2<a1 6. 已知抛物线y=ax2(a≠0)经过两个不同的点A(m，8)和B(2，8)，那么m的值是（  ） A．2 B．−2 C．8 D．−8 （六）课堂小结 1.说一说二次函数y=ax2的图象与性质. 2.谈一谈研究二次函数的图象与性质的一般方法. 3.本节课你体会到了哪些数学思想方法？ （七）布置作业 A组题：习题26.2：第1题. B组题：请你借鉴今天的学习经历设计“探究二次函数y=ax2+k(a、k是常数，k≠0)的图象与性质”的方案. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $