第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 沪科版八年级数学上册第15章《轴对称图形与等腰三角形》B卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，覆盖轴对称、等腰三角形性质与判定等核心知识，融入折叠探究、将军饮马模型等情境，培养几何直观、推理能力与创新意识，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/40分|轴对称图形识别、对称点坐标、等腰三角形角度计算|基础概念辨析，如第1题结合图形判断轴对称性| |填空题|4题/20分|对称点坐标关系、等腰三角形个数、垂直平分线性质|核心性质应用，如第13题利用垂直平分线求三角形周长| |解答题|7题/90分|垂直平分线性质证明、全等三角形证明、折叠探究、将军饮马模型|综合能力考查，如第20题折叠问题探究角度关系，第21题将军饮马模型拓展，培养推理能力与创新意识|

沪科版八年级数学上册第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷 （B卷·能力提升　满分150分，时间120分钟） 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 一、选择题（每题4分，共40分）　二、填空题（每题5分，共20分）　三、解答题（共90分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1．下列图形：①线段；②角；③等腰三角形；④有一个角为30°的直角三角形。其中是轴对称图形的有（　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 2．点P关于x轴的对称点P1的坐标为(2，−3)，则点P关于y轴的对称点P2的坐标为（　） A．(−2，3)　　B．(2，3)　　C．(−2，−3)　　D．(−3，2) 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，则∠DBC=（　） A．18°　　B．36°　　C．72°　　D．108° 4．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　） A．17　　B．22　　C．17或22　　D．20 5．若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为（　） A．80°　　B．20°　　C．20°或80°　　D．100° 6．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，则∠E=（　） A．15°　　B．22.5°　　C．30°　　D．45° 7．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　） A．50°　　B．130°　　C．50°或130°　　D．50°或140° 8．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E。若AB=7，AC=5，则△ADE的周长为（　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，将其折叠使点A与点B重合，折痕为DE，则∠DBC=（　） A．10°　　B．15°　　C．20°　　D．25° 10．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　） A．12　　B．14　　C．16　　D．18 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知点A(a，3)与点B(−2，b)关于x轴对称，则a+b=＿＿＿＿＿＿。 12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有＿＿＿＿＿＿个等腰三角形。 13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于D、E，若AB=9，AC=6，则△ACE的周长为＿＿＿＿＿＿。 14．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F。若∠ABD=25°，则∠BFC=＿＿＿＿＿＿°。 三、解答题（共90分） 15．（12分）如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P。（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否在AC的垂直平分线上？说明理由。 16．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AB、AC上，且BD=CF，BE=CD。（1）求证：△BDE≌△CFD；（2）若∠A=50°，求∠EDF的度数。 17．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。（1）若AB=8，AC=4，求中线AD长的取值范围；（2）求证：AB+AC＞2AD。（提示：可延长AD到点E，使DE=AD，连接BE） 18．（14分）如图，B、C、E三点共线，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AE、BD交于P，AE交CD于N，BD交AC于M，连接MN。（1）求证：AE=BD；（2）求证：△MCN是等边三角形；（3）求∠APB的度数。 19．（14分）合肥巢湖岸边一座斜拉桥的局部结构可抽象为：如图，桥塔两侧钢索AB=AC，为加固又在钢索上取点D、E，使BD=CE，连接BE、CD交于O。（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）判断△OBC的形状并说明理由；（3）过A作AH⊥BC于H，求证：AO的延长线经过BC的中点。 20．（14分）折叠探究：（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠（点D在AB上、点E在AC上），点A落在四边形BCED内部的点A′处，探究∠CEA′与∠BDA′的和跟∠A之间的数量关系，并证明；（2）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED外部的点A′处，直接写出此时∠CEA′、∠BDA′与∠A之间的数量关系（不需证明）。 21．（14分）综合与实践——将军饮马模型拓展：如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，OP=10，M、N分别为OA、OB上的动点。（1）分别作P关于OA、OB的对称点P1、P2，判断△OP1P2的形状并证明；（2）求△PMN周长的最小值；（3）若将∠AOB改为45°，其余条件不变，直接写出此时△OP1P2的形状及∠OP1P2的度数。 参考答案与评分标准 一、选择题（每题4分）：1．C　2．A　3．B　4．B　5．C　6．C　7．C　8．B　9．B　10．B 二、填空题（每题5分）：11．−5　12．3　13．15　14．60 三、解答题： 15．（1）P在AB垂直平分线上，PA=PB；P在BC垂直平分线上，PB=PC；故PA=PB=PC（7分）。（2）由PA=PC知P到A、C距离相等，故P在AC的垂直平分线上（5分）。 16．（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C；又BD=CF，BE=CD，∴△BDE≌△CFD（SAS）（6分）。（2）∠B=∠C=½(180°−50°)=65°；由全等∠BDE=∠CFD；在△CFD中∠CDF+∠CFD=180°−∠C=115°，故∠BDE+∠CDF=115°；∴∠EDF=180°−115°=65°（6分）。 17．（1）延长AD到E使DE=AD，连接BE。∵D是BC中点，BD=CD，又∠BDE=∠CDA，DE=DA，∴△BDE≌△CDA（SAS），BE=AC=4；在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB+BE，即8−4＜2AD＜8+4，∴2＜AD＜6（6分）。（2）同（1）倍长中线得BE=AC，在△ABE中AB+BE＞AE=2AD，∴AB+AC＞2AD（6分）。 18．（1）∠ACB=∠DCE=60°，故∠ACE=∠BCD；又AC=BC，CE=CD，△ACE≌△BCD（SAS），AE=BD（5分）。（2）由全等∠CAE=∠CBD，即∠CAN=∠CBM；又∠ACN=180°−∠ACB−∠DCE=60°=∠BCM，且AC=BC，故△ACN≌△BCM（ASA），CN=CM；又∠MCN=∠ACN=60°，△MCN为等边三角形（5分）。（3）∠APB=180°−∠PAB−∠PBA=180°−∠ACB=60°（4分）。 19．（1）AB=AC，BD=CE，故AB−BD=AC−CE即AD=AE；又∠A=∠A，AC=AB，△ABE≌△ACD（SAS）（5分）。（2）由全等∠ABE=∠ACD，又∠ABC=∠ACB，故∠OBC=∠OCB，OB=OC，△OBC为等腰三角形（5分）。（3）AB=AC、OB=OC，A、O都在BC的垂直平分线上，故直线AO即BC的垂直平分线，AH⊥BC过BC中点H，AO延长线经过BC中点（4分）。 20．（1）∠CEA′+∠BDA′=2∠A。证明：由折叠知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，故∠CEA′=180°−2∠AED，∠BDA′=180°−2∠ADE，两式相加∠CEA′+∠BDA′=360°−2(∠AED+∠ADE)=360°−2(180°−∠A)=2∠A（8分）。（2）∠CEA′−∠BDA′=2∠A（6分）。 21．（1）△OP1P2为等边三角形。由对称OP1=OP=OP2=10，∠P1OA=∠AOP，∠POB=∠BOP2，故∠P1OP2=2∠AOB=60°，所以△OP1P2为等边三角形（6分）。（2）△PMN周长=P1M+MN+NP2≥P1P2=10，当P1、M、N、P2四点共线时取最小值10（4分）。（3）∠P1OP2=2×45°=90°，又OP1=OP2，△OP1P2为等腰直角三角形，∠OP1P2=45°（4分）。 学科网（北京）股份有限公司 $