第十五章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称与等腰三角形单元，以高效培优为目标，融合AI工具图标等时代情境与分层设计，适配单元复习强化，全面考查核心知识与推理、几何直观素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称图形识别（如AI工具图标）、等腰三角形性质计算|情境时代性强，基础概念与图形辨析结合| |填空题|4/20|轴对称点坐标、线段最值（如动点路径问题）|聚焦性质应用，渗透空间观念| |解答题|9/90|尺规作图（对称轴绘制）、折叠变换（如翻折落点探究）、综合证明（等边三角形动态问题）|分层设计（感知-探究-应用），强化推理能力与模型意识|

第十五章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．人工智能已经成为生活、学习中不可或缺的工具，下列工具图标是轴对称图形的是（     ） A．豆包 B．秘塔 C． D． 2．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 6．如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 7．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 8．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，在中，于点，，则的长为__________． 12．如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 13．已知点与点关于x轴对称，求______． 14．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 16．（8分）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 17．（8分）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 18．（8分）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 19．（10分）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 20．（10分）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 21．（12分）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 22．（12分）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 23．（14分）【发现结论】 (1)如图1，在中，，点是延长线上一点． ①若∠°，则_________； ②若∠°，则_________(用含的式子表示)； ③结论：与的数量关系是_________． 【操作应用】 (2)如图2，在中，°，°．请利用无刻度直尺和圆规，在边上作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) 【问题解决】 (3)如图3，在中，，点在边上，连接，点在上且满足，．求证：； (4)如图4，在等边中，点在射线上，点是点关于直线的对称点，直线与相交于点，连接，．当时，求的度数． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 10 D A B D D B C D C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.4 12.2 13.2 240 14. 13 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)如图，△ABC即为所求： (2)6.5 【详解】(1)略 (2)解：△ABC的面积=3×5-×2×3×2×32×1×5=6.5. 2 16.【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图，直线DE即为所求， 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (2)如图，射线AF即为所求. 17.【答案】(1)证明：AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠DAC-BAC, .∠BAC=120°， :.∠BAD=∠DAC=×120=60 AD=AB, .△ABD是等边三角形： (2)证明：.'△ABD是等边三角形， .∴.∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD=AD .∠EDF=60, ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60° BD=AD ∠BDE=∠ADF ∴.△BDE≌△ADF(ASA), ∴AF=BE .'AE+AF=AE+BE=AB=AD 【详解】(1)略 （2)略 18.【答案】(1)证明：在△ADF和△AEF中， 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AE DF=EF AF=AF '.△ADF≌△AEF SSS, ∴.∠DAF=∠EAF, .AP平分∠BAC: (2)12 【详解】(1)略： (2)解：过点P作PM⊥AC于M, D M B --1 P 图3 .AP平分∠BAC,PQ⊥AB, ∴.PM=PQ=6, :SaA=S△Am+SAO=号×ABx PQ+号xAC×PM, 2 :.×AB×6+号×8×6=60，， .2 解得：AB=12. 19.【答案】(1)5 (2)7:5 3)39 2 【详解】(1)解：，OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PE=PD=5: (2)解：作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E和F, ,AD是△ABC的角平分线， ..DE=DF 设DE=DF=h, 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 则SAABD =×AB×h,SAACD =1×AC×h, ∴.SA□ABD:SA□AcD=AB:AC. .ABAC=7.5, ∴.△ABD与△ACD的面积比为7,5. 答：△ABD与△ACD的面积比为7,5： (3)解：作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E和F,连接OA, ,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC, ..OE=OD=3,OF=OD=3. △ABC的面积可分割为△AOB、△BOC、△AOC的面积之和（如图）， E D 即S△ABC=S△AOB+S△BOC+S&AOC -xABx3+-xBCx3+1xACx3 AB+BC+AC). 2 ,△ABC的周长是13，即AB+BC+AC=13, 5口m2 9 20.【答案】(1)解：如图，△A1BC1即为所求： 2)A,-4,-3,B2-1,-1,C2-2,-4 (3)解：如图，点M即为所求： 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 【详解】(1)略 (2)解：由图可知：A,1,-4,B,4,-2,C,3,-5 六A,1-5,-4+1,B24-5,-2+1,C23-5,-5+1' 即A,-4,-3,B,-1,-1,C2-2,-4月 (3)略 21.【答案】(1)证明：，△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACE=∠B=60°， .AD=BE,AB=BC, .CE=BD, 在△ACE和△CBD中， AC=BC ∠ACE=∠B=60, CE=BD .△ACE≌△CBD|SAS. (2)7 (3)6 【详解】(1)略 (2)解：△ACE≌△CBD SAS, .∠CAE=∠BCD,AE=CD, ∴.∠AFG=∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=∠ACB=60°， AG⊥CD, 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FAG=30°， 在Rt△FAG中，∠FAG=30, ∴.AF=2FG=6, :.AE=AF+EF=6+1=7, .'.CD=AE=7. (3)解：.DE⊥AB,∠B=60°，BD=2, ∴.∠BED=30°， 在Rt△BED中，∠BED=30°， .BE=2BD=4, 又，CE=BD=2, .BC=BE+CE=6. ∴.等边△ABC的边长为6. 22.【答案】(1)30°，60° (2)15° (3)∠NDC=2∠BCN+∠BEC' 【详解】(1)解：.△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60°， 当点C落在AC上时， 由折叠可知∠CCE=∠ACB=60°，∠FEC=∠FEC, ∴.∠CEC=180°-∠ACB-∠CCE=60°， FEC-FEC-CEC-30 .△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60°， CN⊥AB, .∠BCN=号∠ACB=30°， 2 由折叠可知，∠ECD=∠BCN=30°，∠FEC=∠FEC, .∴.∠CEC=180°-∠BCN-∠ECC=120°， :∠FEC=∠FEC-号∠CEC=60: 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：.'△ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°， .CN⊥AB, ∠ACN=∠BCN=号∠ACB=30°，∠ANC=90, .DC‖AB, ∴.∠CDC=∠ANC=90°， 由折叠可知∠CDF=∠CDF=1∠CDC=45°， ∴.∠FEC=∠FDC-∠BCN=45°-30°=15°： (3)解：如下图所示，延长CE交CN于点H, NAD C ,'△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60°， ,CN⊥AB, ∠ACN=∠BCN=)∠ACB=30O 由折叠可知∠DCE=∠BCN=30°， .∠DHE是△HEC的外角， ∴.∠DHE=∠BCN+∠HEC, .∠BEC=∠HEC, ∴.∠DHE=∠BCN+∠BEC, .∠NDC是△DCH的外角， ∴.∠NDC=∠DCE+∠DHE=∠BCN+∠BCN+∠BEC=2∠BCN+∠BEC. 23.【答案】(1)①25；②2m;③∠CAM=2∠B: (2)法一：如图所示，点D即为所求 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法二：如图所示，点D即为所求 (3)法一：如图， D 在CE上取点F使得EF=AE, ∴.∠EAF=∠AFE, .'∠CED+∠AEF=180°， ∠EAF+∠EFA+∠AEF=180°， '.∠CED=∠EAF+∠EFA=2∠EFA, 又∠CED=2∠BED, .∴.∠EFA=∠BED, .'∠EFA+∠AFC=180°，∠BED+∠AEB=180°， ∴.∠AFC=∠AEB, .在△ABE和△CAF中 ∠AEB=∠AFC ∠BAE=∠ACF AB=AC ∴.△ABE≌△CAF, .∴.AE=CF, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE=EF+CF=2AE. 法二：如图， E 在AD上取点G使得BG=EG, .∴.∠GBE=∠BEG, .∴.∠BGD=∠GBE+∠GEB=2∠BEG, 又∠CED=2∠BED, ∴.∠BGD=∠CED, ,∠BGD+∠AGB=180°，∠CED+∠AEC=180°， ∴.∠AGB=∠CEA, .·在△ABG和△CAE中 ∠AGB=∠CEA ∠BAE=∠ACE AB=AC ∴.△ABG≌△CAE, ∴.AE=BG,CE=AG, ,∴.CE=AG=AE+EG=2AE (4)20°或40° 【详解】(1)①解：.AB=AC, .∠B=∠C ∴.∠B+∠C=2∠B=∠CAM=50, .∠B=25°； ②解：.AB=AC, .∠B=∠C, ∴.∠CAM=∠B+∠C=2∠B=2m°： ③解：，AB=AC, ∴.∠B=∠C, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CAM=∠B+∠C=2∠B （2)略 (3)略 (4)解：①如图， 当点D在线段BC上时，连接DE, ,·等边△ABC ∴.∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, ,'点E是点B关于直线AD的对称点，BD=CE ∴.∠AED=∠ABC=60°，BD=DE=CE,AE=AB=AC, 设∠BCE=X, ∴.∠CDE=∠BCE=X,∠ACE=∠BCE+∠ACB=X+60°， ∴.∠AEC=∠ACE=X+60°，∠DBF=∠=2X, ,∴.∠g+∠AEC+∠AED=2x+60°+60°+x=180° 解得x=20°， ∴.∠DBF=2X=40° ②如图，当点D在线段BC的延长线上时，连接DE, B .等边△ABC, .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, ,点E是点B关于直线AD的对称点，BD=CE, ∴.∠AED=∠B=60°，BD=DE=CE,AE=AB=AC, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠ACE=y, ∴.∠AEC=∠ACE=∠ABF=y,∠CED=∠AED-∠AEC=60°-y, .∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-60°-y=120°-y, ∴.∠EDC=∠ECD=120°-y, .在△DEC中，∠DEC+∠ECD+∠EDC=180°， ∴.60°-y+120°-y+120°-y=180°，解得：y=40°， ∴.∠DBF=∠ABC-∠ABF=60°-40°=20°. 11/11 第十五章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．人工智能已经成为生活、学习中不可或缺的工具，下列工具图标是轴对称图形的是（     ） A．豆包 B．秘塔 C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形，符合题意． 2．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若的角为底角，则两底角和为，不符合三角形内角和； ∴ 的角为这个等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角度数为． 3．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 6．如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴． 7．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 8．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线可得，进而可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ， ，， ∴． 9．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 10．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵与外角的平分线相交于点， ∴， ∴，故①错误； ∵平分， ∴点P到边的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵与外角的平分线相交于点， ∴点P到边的距离相等，点P到边的距离相等， ∴点P到边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③④⑤ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，在中，于点，，则的长为__________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，的度数，利用含角的直角三角形的性质依次求出、的长即可． 【详解】解：， ． ， ， ． ， ． 在中，， ． 12．如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 13．已知点与点关于x轴对称，求______． 【答案】2 【详解】直接利用关于x轴对称点的性质得出关于m，n的方程组，进而得出答案． 【解答】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得， 则． 14．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】在上取点，使，过点作，交于，通过证明推出，将的最小值转化为，最后通过等面积法求出即可． 【详解】解：如图，在上取点，使，过点作，交于， ，是边上的中线， ， 和中， ， ， ，当点，，共线时，取得最小值， 为点到的最短距离， 当点运动到点，点运动到点，即与重合，取得最小值， ，，， ， 解得， 故的最小值为． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 【答案】(1)如图，即为所求； (2)6.5 【分析】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 16．（8分）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 17．（8分）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 19．（10分）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 20．（10分）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 21．（12分）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 22．（12分）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，根据等边三角形的三线合一定理可知；由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可知，由折叠的性质可知； （2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可知，，根据折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可得：； （3）延长交于点，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 当点落在上时， 由折叠可知，， ， ； 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，，， ， ； （2）解：是等边三角形， ， ， ，， ， ， 由折叠可知， ； （3）解：如下图所示，延长交于点， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知， 是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 23．（14分）【发现结论】 (1)如图1，在中，，点是延长线上一点． ①若∠°，则_________； ②若∠°，则_________(用含的式子表示)； ③结论：与的数量关系是_________． 【操作应用】 (2)如图2，在中，°，°．请利用无刻度直尺和圆规，在边上作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) 【问题解决】 (3)如图3，在中，，点在边上，连接，点在上且满足，．求证：； (4)如图4，在等边中，点在射线上，点是点关于直线的对称点，直线与相交于点，连接，．当时，求的度数． 【答案】(1)①25；②；③； (2)法一：如图所示，点D即为所求 法二：如图所示，点D即为所求 (3)法一：如图， 在上取点使得， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 在和中 ∴， ， ． 法二：如图， 在上取点使得， ， ， 又， ， ，， ， 在和中 ， ，， ． (4)20°或40° 【分析】（1）①由，可得是等腰三角形，可得；由是的外角，可得，代入可得，可得； ②已知，由于，可得，由外角性质； ③结合前两问推导，可直接得到与的固定数量关系 （2）有两种方法：第一种可作线段的垂直平分线，该垂直平分线与的交点即为点，此时，，由外角性质，符合要求；第二种以为顶点，为一边在三角形内部作角，角的另一边与的交点即为点； （3）先证，可得，结合之前构造的可得，命题得证； （4）分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）①解：， ， ， ；　 ②解：， ， ； ③解：， ， （2）略 （3）略 （4）解：①如图， 当点在线段上时，连接， 等边， ，， 点是点关于直线的对称点，， ，，， 设， ，， ，， 解得， 　　　　 ②如图，当点在线段的延长线上时，连接， 等边， ，， 点是点关于直线的对称点，， ，，， 设， ，， ， ， 在中，， ，解得：， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $