第十五章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年八上数学沪科版第十五章轴对称图形与等腰三角形单元卷，以核心素养为导向，通过梯度化题型设计，全面覆盖轴对称、等腰三角形性质及应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称图形识别、等腰三角形底角计算、垂直平分线性质|基础巩固，结合图形辨析，培养几何直观| |填空题|4/20|角平分线性质、折叠问题、等边三角形角度计算|能力提升，渗透转化思想，发展推理意识| |解答题|8/90|轴对称作图、全等证明、动态几何探究（如第23题三问递进）|创新应用，综合考查推理能力与模型意识，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年八上数学沪科版第十五章轴对称图形与等腰三角形单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点D．若，的周长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．若等腰三角形有一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 4．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 5．如图，点是等边外一点，连接、、，垂直平分于点的平分线交于点，连接，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．等腰三角形的一条边长，另一条边长为，那么它的周长为（　　） A． B． C．和 D．不能确定 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D．CD＝3，则BC的长为（    ） A．6 B．9 C．6 D．3 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE＝6，则CE的长为（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 9．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 12．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 13．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 14．如图，中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______（填写序号即可）． 三.（本题共16分） 15．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） 16．如图，在下面的等腰三角形中，是顶角，分别求出它们的底角的度数． 四.（本题共16分） 17．如图，D、E分别为等边△ABC的边AC、BC上的点，且AD＝CE，BD与AE交于点N，BM⊥AE于点M． （1）求证：∠CAE＝∠ABD； （2）求∠NBM的度数． 五．（本题共20分） 18．已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 19．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 20．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 六.（本题共12分） 21．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为22，求的周长． 七.（本题共12分） 22．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 八.（本题共14分） 23．在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第十五章轴对称图形与等腰三角形单元卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B B B B C C 1．B 【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 2．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长． 3．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解． 【详解】解：当为底角时：，满足题意； 当是顶角时：它的底角的度数是； 综上：等腰三角形的底角度数为或； 故选D． 4．D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 5．B 【分析】先证明，进而可依据“SAS”判定和全等，则，由此可对选项A进行判断；在上截取，连接，证明和全等，则，进而得，则是等边三角形，由此得，则，进而得，再根据，得，据此可对选项B进行判断；根据，平分，得，据此可对结论C进行判断；根据是等边三角形得，则CD+AD=ED+BE=BD，据此可对结论D进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解角平分线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∵， ， ∵垂直平分于点H， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选项A正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故选项B不正确； ∵，平分， ∴， 故结论C正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故结论D正确． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，为底，②为底，分类讨论即可． 【详解】解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形，周长为； ②当为底时，其它两边为， ， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有． 故选B． 7．B 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=,易得∠ADC=, ∠CAD=,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果. 【详解】解:DE是AB的垂直平分线,AD=BD, ∠DAE=∠B=, ∠ADC=, ∠CAD=, AD为∠BAC的角平分线,. ∠C=,DE⊥AB, DE=CD=3, ∠B=, BD=2DE=6, BC=9, 所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键. 8．B 【分析】根据题意利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE的长． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∵BC＝15，DE＝6， ∴BD+CE＝9， ∴CE＝4.5， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及全等三角形，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等． 9．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 10．C 【分析】根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共2个． 11．6 【分析】熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，是的平分线， ∴， ∴的面积． 12．20 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可． 【详解】解：∵为边的中垂线 ∴ ∵， ∴的周长． 13．/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 14．①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 由三角形内角和定理可得，进而由角平分线的定义得，即可判定①；延长交的延长线于点，可得，即得，即得到，设的面积为，的面积为，则的面积，的面积，可得的面积的面积的面积的面积，即可判定②；在上截取，连接，可证，得到，进而可得，即可证，得到，即可判定③；由可得，又根据角平分线的性质可得，即得到，由直角三角形的性质得，即得，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的面积为，的面积为，则的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积，故②错误； ③如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵平分， ∴点到的距离相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 15．(1) 如下图，即为所求： (2) 如下图，点即为所求： 【分析】本题考查的知识点是轴对称作图、根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）此时点是点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所作． 【详解】（1）略 （2）略 16．（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵在等腰中，顶角， ∴底角． （2）∵在等腰中，顶角， ∴底角． （3）∵在等腰中，顶角， ∴底角． 17．（1）见解析；（2）30° 【分析】（1）与等边三角形的性质得出AC＝AB，∠BAC＝∠C＝60°，结合条件AD＝CE，由SAS证明△ABD≌△CAE，得出∠CAE＝∠ABD即可； （2）由（1）得∠CAE＝∠ABD，求出∠BNM＝∠BAN＋∠ABN＝60°，由BM⊥AE，得出∠NBM＝30°． 【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝∠C＝60°， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠CAE＝∠ABD； （2）解：由（1）得∠CAE＝∠ABD， ∵∠CAE＋∠BAE＝60°， ∴∠BAE＋∠ABD＝60° ∴∠BNM＝∠BAN＋∠ABN＝60°， ∵BM⊥AE， ∴∠BMN＝90°， ∴∠NBM＝30° 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．见解析 【分析】过点P作于D，根据角平分线的性质即可得到． 【详解】证明：过点P作于D， ∵和的角平分线相交于点P，且， ∴， ∴． 19．(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 20．(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，再根据垂直平分线的性质，推出，即可求出的度数； （2）根据垂直平分线的性质，得出，，再结合的周长，推出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， 的周长为22， ， 的周长． 22．(1)30° (2) 证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23． （1）证明：如图1中，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图2中，过点作于． ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）1 【分析】（1）证明，可得结论． （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $