湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷

**基本信息** 湖南省长沙市高一上月考数学卷聚焦必修1-2单元，以集合、逻辑、不等式为核心，通过学号情境（第16题）、六边形综合问题（第18题）等设计，融合数学眼光观察、思维推理与语言表达，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合关系（题2）、充要条件（题3）、不等式性质（题10）|迷宫情境（题7）考查逻辑推理，多选题（题11）强化概念辨析| |填空题|3题/15分|命题真假（题12）、充分条件参数（题13）、距离定义创新（题14）|题14结合新定义，培养抽象能力与创新意识| |解答题|5题/77分|集合运算（题15）、实际情境应用（题16）、函数方程综合（题19）|题18六边形周长面积证明，体现数学思维严谨性；题19函数根问题，考查综合应用能力|

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C C A B BD AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 2．B 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 3．C 【详解】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立； 必要性：若，则，，， 原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确. 4．D 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 5．C 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 6．C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 7．A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 8．B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 9．BD 【详解】对于A：集合中含有元素0，属于非空集合，不符合要求，故A错误； 对于B：对任意实数，，因此，不存在满足的元素，该集合为空集，符合要求，故B正确； 对于C：集合中含有元素，是含1个元素的单元素集合，不是空集，不符合要求，故C错误； 对于D：对任意实数，，因此根号内的，实数范围内负数没有算术平方根， 不存在符合条件的实数，该集合为空集，符合要求，故D正确. 10．AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 11．ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 12． 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 13． 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 14． 【分析】通过分析发现距离1和距离2均满足类似三角不等式的关系，进而得到取值范围，最后通过构造具体的例子验证可以取到的值. 【详解】第一空： 考虑三个组成的数组，设的距离1为，的距离1为， 依定义可知当中有个位置的数字不同，设这个位置构成的集合为， 以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为，当中有个位置的数字不同， 设这些位置属于的有个，不属于也即属于的有个，则， 因为数组由构成，所以和数字不同的位置包括的数字不同且的数字相同的位置， 有个，和的数字相同且的数字不同的位置，有个，共有个， 而，所以的距离1不超过的距离1和的距离1之和， 取，则有的距离1和的距离1均为， 的距离1为，故的距离1的最大值为. 第二空： 对于非空整数集合，的距离2记为，记对某个，，类似地， 记对某个，，依定义有①，②， 同理有③，④， 设在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大， 则有或，结合①③并取③中的为可得 ，再取为，可得， 结合②④并取②中的为可得，再取为， 可得，即有，因为的任意性， 所以也有，即， 同时也有， 综上所述，， 依题意，则，只能取中的数， 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有， 故的距离2的可能值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 16．(1)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学． (2)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学． 【分析】（1）分别写出读过新书和新书的同学的学号，合起来就是至少读过一本书的同学； （2）由（1），可直接写出同时读了a，b两本书的有哪些同学. 【详解】（1）由题意知，读过新书的同学有学号为的同学， 读过新书的同学有学号为的同学， 所以至少读过一本书的有学号为的同学． （2）同时读了a，b两本书的有学号为的同学． 17． 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 18．(1)证明：    由图可知，外接矩形的长、宽分别为 ，，缺口矩形的长、宽分别为 ，，因此 令 ，，则 又因为 均为正整数，所以 ，从而 因此即 ． (2) (3)证明：存在多边形使得 对于任意正整数 ，取 即可得到满足题设角度条件的六边形，且 下面对任意正整数 构造相应的 ． 当 时，取 此时 ，，所以 ． 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 当 ，其中 时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 综上，对任意正整数 ，均存在满足 的六边形 ． 【分析】将凹六边形补成矩形，可得周长和面积的代数表达式．（1）比较六边形与外接矩形；（2）在 时利用恒等变形及正整数条件求最小值；（3）按 的奇偶性分别构造正整数边长并验证． 【详解】（1）略 （2）当 时， 由恒等变形， 若 ，由于 均为正整数，有 ，所以 而 ，故最小值不在 时取得． 当 时，，于是 当 时，上式等于 ． 当 时，； 当 时，． 因此上式在 时取得最小值． 此时 ，故 的最小值为 （3）略 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：必修上册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 5．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 7．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．下列集合中是空集的为（    ） A． B． C． D． 10．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 13．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 14．对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 16．某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b． (1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？ 17．如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 18．在六边形ABCDEF中，．设．记六边形ABCDEF的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数. (1)求证：； (2)若，求的最小值； (3)求证：对任意正整数，存在六边形ABCDEF，使得． 19．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $