河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B A B A D D ABD ABD ABC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．3 15．(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行化简，即可求得； （2）由求，结合余弦定理由求，得出为等腰三角形，设BC边的中点为，结合勾股定理可求AD. 【详解】（1）由条件及正弦定理有， 又由余弦定理， 所以有，所以. （2）由（1）有，， 由，，得 ，解得（负值舍去）， 所以为等腰三角形，设BC边的中点为，则. 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，连接， 由点O为底面正方形的中心，得过点O，且点O为的中点， 由点M是PD的中点，得，又平面，平面， 所以平面． （2）由四边形是边长为的正方形，得， 由点P在底面上的射影为底面的中心O，得平面， 平面，则，由的面积为1，得，则， 又，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 由，得，则，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线PA与平面所成夹角为，则， 所以直线PA与平面所成夹角的正弦值为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，即可求证； （2）通过分组求和即可求解. 【详解】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意先求出抛物线标准方程，再结合导数的几何意义求出在P点的切线斜率，从而得出切线方程. （2）将直线与抛物线方程联立，由题意因为直线与倾斜角互补，则直线与斜率互为相反数，即，结合韦达定理可求出k的值. （3）先分别表示出线段AB的长度以及顶点P到线段AB的距离，从而得出的面积表达式，再求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. （2）如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （3）由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 【点睛】思路点睛：本题首先考查了抛物线切线方程的问题，这类题型需要将抛物线方程看作函数，通过函数导数的几何意义对方程求导，得出切线斜率，进而求出切线方程；在第（2）小问中直线PA与PB倾斜角互补的条件正确转化为斜率和为0的条件是解题的关键；第（3）小问中使用了底边和高表示出三角形面积，以及最后求面积最大值使用到了基本不等式，要明确基本不等式等号的成立条件. 19．(1) (2)存在 (3) 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【详解】（1）由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则                         当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． （2）由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 （3）令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（    ） A．42 B．22 C．20 D．15 4．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 6．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知双曲线的焦点为，，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 10．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．该三棱柱的体积为4 C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 11．设是函数的三个零点，则（   ） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若曲线在点处的切线与圆相切，则 . 13．已知，则 . 14．连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求BC边上的中线长. 16．（15分）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点P在底面上的射影为底面的中心O，点M在棱上，且的面积为1． (1)若点M是PD的中点，证明：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成夹角的正弦值． 17．（15分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 18．（17分）已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求的值； (3)若，求面积的最大值. 19．（17分）已知函数在处取得极值． (1)求实数a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)若成立，求实数t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $