2027年中考数学一轮复习难题攻克专题解析之专题相交线与平行线

**基本信息** 聚焦相交线与平行线的性质应用与判定推理，通过分层题型构建"概念理解-性质应用-综合迁移"的方法体系，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|5题|辅助线构造（作平行线）、角度转化|平行线性质→角关系推导→实际问题建模| |判定推理|3题|等量代换、同旁内角互补判定|角平分线定义→平行判定定理→多结论证明| |动态综合|2题|分类讨论、运动轨迹分析|静态性质→动态变化→临界状态探究|

2027年中考数学复习难题速递之相交线与平行线 一．选择题（共10小题） 1．2026年4月19日7点30分全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京亦庄举行．其中图1为比赛中机器人跑步姿态，图2为某一瞬间的平面结构图，其中∠ABC＝160°，∠ABD＝3∠CBD，∠BDF＝120°．若AB∥HG，FG⊥HG于点G，则∠DFG的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 2．把一副直角三角尺如图摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α（0°＜α＜45°），有下列结论：①BC⊥DE；②AB∥ED；③∠2＝45°+α；④当α＝15°时，AC平分∠MAB．其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，BM∥CN，BC⊥BM于点B，点A，D，E分别是BM，CN，BC上的点，连接AE，ED，AD．若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AE⊥DE；②∠1+∠2＝90°；③若∠AEB+∠ADC＝180°，则∠2＝60°；④∠F＝125°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，已知AB∥CD，∠D＝100°，EF平分∠BED，点G是CD上的一个定点，点P是直线EF上的一个动点，设∠EPG＝α，∠PGD＝β，则点P在运动过程中，α与β的关系不可能是（　　） A．α﹣β＝50° B．α+β＝50° C．α+β＝130° D．α+β＝310° 5．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，且CD∥BE．若∠1＝α，则∠2的度数为（　　） A．3α B．180°﹣3α C．4α D．180°﹣4α 6．下列说法中正确的个数有（　　） ①同位角相等； ②相等的角是对顶角； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤不相交的两条直线叫做平行线； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 7．如图，是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．80° D．90° 8．如图，PQ∥EF，点A在直线EF上，点B，点C在直线PQ上，连接AB，AC．若AB⊥AC于点A，线段AM平分∠BAC与PQ交于点M，线段AN平分∠FAC，且∠BMA﹣∠FAN＝60°，则∠ABC的度数是（　　） A．56° B．52° C．48° D．60° 9．如图，在下列给出的条件中，能直接判定AB∥DF的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠A＝∠1 D．∠2+∠4＝180° 10．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α（0＜α＜45°），则下列结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝90° B．∠2＝45°+α C．AB∥ED D．当α＝30°时，∠BAC＝∠MAC 二．填空题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G，则下列结论正确的是　 　 ． ①∠BAC＝90°； ②∠AEF＝∠EAD； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠AEF＝30°． 12．如图，AB∥CD，E，F，H分别在AB，CD，AC上，PG平分∠FPE交AC于点G，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠FPH+∠GPE＝∠PEB；③∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．其中正确结论的序号是　 　 ． 13．如图，两块平面镜的夹角为∠A（90°＜∠A＜180°），两条平行光线CD和QF分别射到两块平面镜上，交平面于点D、F，它们的反射光线DP与EF的夹角∠DOF＝α，则∠A的度数是　 　 ．（用含α的代数式表示）． 14．如图，直线AB和直线CD被直线EF所截，交于点G和点H，在下列条件中：①∠EGB＝∠DHF，②∠AGH＝∠GHD，③∠AGH+∠GHC＝180°，可以判定AB∥CD的是　 　 （写出所有符合条件的序号）． 15．如图，点D在∠EAB内，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，CE平分∠ACB交AB于点E，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠ACE＝32°，求∠EDB的度数． 补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的内容或理论依据． 解：因为CE平分∠ACB（已知）， 所以∠ACB＝2∠　 　 ①＝2×32°＝64°（　 　 ②）． 因为∠2+∠3＝180°（已知）， 又因为∠DFE+∠3＝180°（平角定义）， 所以∠2＝∠DFE（　 　 ③）． 所以AB∥DF（　 　 ④）． 所以∠1+∠　 　 ⑤＝180°（　 　 ⑥）． 又因为∠A＝∠1（已知）， 所以∠A+∠　 　 ⑦＝180°（等量代换）． 所以DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行）． 所以∠EDB＝∠ACB＝64°（　 　 ⑧）． 17．已知：BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，且AB∥CD． （1）如图1，求证：BE∥CF； （2）如图2，点G，P分别在BE，BC上，连接PG，过点P作PH⊥PG交CF于点H，求证：∠PGB+∠PHF＝90°． 18．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在线段BD上，F为CA延长线上一点，连接FE交AB于点M，使∠FEB+∠ADC＝180°，作AG平分∠FAB交EF于点G． （1）AD与FE平行吗？为什么？ （2）求证：AD⊥AG； （3）点H在FE的延长线上，连接DH，若∠EDH＝∠B，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数． 19．如图，在三角尺ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，直线MN∥GH，三角尺ABC的顶点C在直线GH上，顶点A在直线MN上． （1）如图1，三角尺ABC的顶点B在平行线内部，且AB平分∠CAN，求∠BCH的度数； （2）如图2，三角尺ABC的顶点B在直线GH上方，∠BAN的度数是∠BCH的2.5倍，请求出∠BCH的度数． 20．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE； 第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： （1）如图①，若∠C＝2∠D，求∠E； （2）如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由． 2027年中考数学复习难题速递之相交线与平行线（2026年7月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D D D A D B D 一．选择题（共10小题） 1．2026年4月19日7点30分全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京亦庄举行．其中图1为比赛中机器人跑步姿态，图2为某一瞬间的平面结构图，其中∠ABC＝160°，∠ABD＝3∠CBD，∠BDF＝120°．若AB∥HG，FG⊥HG于点G，则∠DFG的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】由已知可得，过点D作DE∥AB，过点F作FM∥AB，可得AB∥DE∥FM∥HG，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：由条件可知， 过点D作DE∥AB，过点F作FM∥AB， ∵AB∥HG， ∴AB∥DE∥FM∥HG， ∴∠BDE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DFM＝∠EDF＝60°， 由条件可知∠FGH＝90°， ∴∠MFG＝180°﹣∠FGH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DFG＝∠DFM+∠MFG＝60°+90°＝150°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 2．把一副直角三角尺如图摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α（0°＜α＜45°），有下列结论：①BC⊥DE；②AB∥ED；③∠2＝45°+α；④当α＝15°时，AC平分∠MAB．其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，得出BC⊥DE即判断①，进而根据∠B＝90°，即可判断②，延长AB交l2于点G，根据平行线的性质即可判断③，根据当α＝15°时，∠2＝60°，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④，即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝90°， ∴BC⊥DE，所以结论①正确； ∵∠B＝90° ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥ED（同旁内角互补，两直线平行），所以结论②正确； 如图，延长AB交l2于点G， ∵∠1＝α，AB∥ED， ∴∠G＝∠DEN＝∠DEF+∠1＝45°+α， ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠G（两直线平行，内错角相等）， ∴∠2＝45°+α，所以结论③正确； 当α＝15°时，∠2＝60°， ∴∠CAM＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝60°＝∠BAC， ∴AC平分∠MAB，所以结论④正确； 综上所述，①②③④都是正确的， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 3．如图，BM∥CN，BC⊥BM于点B，点A，D，E分别是BM，CN，BC上的点，连接AE，ED，AD．若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AE⊥DE；②∠1+∠2＝90°；③若∠AEB+∠ADC＝180°，则∠2＝60°；④∠F＝125°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】根据垂直的性质及直角三角形的两锐角互余即可判断①②；根据角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余即可判断③；过点F作FH∥BM，根据角平分线的定义、平行线的性质即可判断④． 【解答】解：∵BM∥CN， ∴∠BAD+∠CDA＝180°， ∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠EAD∠BAD，∠2＝∠EDA∠CDA， ∴∠1+∠2＝90°，∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥ED，故①②正确； ∵BC⊥BM，BM∥CN， ∴BC⊥CN， ∴∠1+∠AEB＝90°， ∴∠2＝∠AEB， ∵∠AEB+∠ADC＝180°， ∴3∠2＝180°， ∴∠2＝60°，故③正确； 如图，过点F作FH∥BM， ∵BM∥CN， ∴BM∥CN∥FH， ∴∠α＝∠MAF，∠β＝∠NDF， ∵AF、DF分别平分∠EAM和∠EDN， ∴∠MAF∠EAM（180°﹣∠1），∠NDF∠EDN（180°﹣∠2）， ∴∠α+∠β＝∠MAF+∠NDF＝180°（∠1+∠2）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AFD＝∠α+∠β＝135°，故④错误； 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 4．如图，已知AB∥CD，∠D＝100°，EF平分∠BED，点G是CD上的一个定点，点P是直线EF上的一个动点，设∠EPG＝α，∠PGD＝β，则点P在运动过程中，α与β的关系不可能是（　　） A．α﹣β＝50° B．α+β＝50° C．α+β＝130° D．α+β＝310° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝100°， ∴∠BED＝∠D＝100°． ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠DEF＝50°． 如图①所示， ∵∠POE＝∠GOD， ∴∠DEF+∠EPG＝∠PGD+∠D， 即50°+α＝β+100°， ∴α﹣β＝50°， 故A选项不符合题意； 如图②所示， ∵∠EPG+∠PGD+∠D+∠DEP＝360°， ∴α+β+100°+130°＝360°， ∴α+β＝130°， 故C选项不符合题意； 如图③所示， ∵AB∥CD，∠BEF＝50°， ∴∠EMD＝∠BEF＝50°， ∵∠EPG+∠PGD＝∠EMD， ∴α+β＝50°， 所以B选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 5．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，且CD∥BE．若∠1＝α，则∠2的度数为（　　） A．3α B．180°﹣3α C．4α D．180°﹣4α 【考点】平行线的性质．版权所有 【答案】D 【分析】设AC交BE于点M，延长DB到点P，延长QD到点L，由平行线的性质得∠BMC+∠MBD＝180°，∠CDB+∠MBD＝180°，推导出∠CDB＝∠BMC，由折叠得∠ABM＝∠ABP，∠CDB＝∠CDL，而∠1＝∠ABP，则∠ABM＝∠1＝α，所以∠CDB＝∠BMC＝∠ABM+∠1＝2α，则∠LDB＝2∠CDB＝4α，所以∠2＝180°﹣4α，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AC交BE于点M，延长DB到点P，延长QD到点L， ∵AC∥BD， ∴∠BMC+∠MBD＝180°， ∵CD∥BE， ∴∠CDB+∠MBD＝180°， ∴∠CDB＝∠BMC， 由折叠得∠ABM＝∠ABP，∠CDB＝∠CDL， ∵∠1＝∠ABP， ∴∠ABM＝∠1＝α， ∴∠CDB＝∠BMC＝∠ABM+∠1＝2α， ∴∠LDB＝2∠CDB＝4α， ∵∠2+∠LDB＝180°， ∴∠2+4α＝180°， ∴∠2＝180°﹣4α， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行线的性质、同角的补角相等、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6．下列说法中正确的个数有（　　） ①同位角相等； ②相等的角是对顶角； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤不相交的两条直线叫做平行线； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角；垂线；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行线；平行公理及推论．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，垂线段定义、平行线定义分别进行分析即可． 【解答】解：①同位角相等的前提是“两直线平行”，故原题说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原题说法错误； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原题说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误； ⑤同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故原题说法正确； 正确的说法有1个， 故选：D． 【点评】本题考查了垂线段的概念，平行线的概念、性质和平行公理，是概念辨析题，熟记不同的概念和定义是本题的关键． 7．如图，是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．80° D．90° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得结论． 【解答】解：如图所示： ∵AG∥BF， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝110°， ∴∠2＝180°﹣110°＝70°， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 8．如图，PQ∥EF，点A在直线EF上，点B，点C在直线PQ上，连接AB，AC．若AB⊥AC于点A，线段AM平分∠BAC与PQ交于点M，线段AN平分∠FAC，且∠BMA﹣∠FAN＝60°，则∠ABC的度数是（　　） A．56° B．52° C．48° D．60° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】由垂线的定义得到∠BAC＝90°，由角平分线的定义得到∠CAM＝45°，∠FAC＝2∠FAN，由平行线的性质得到∠ABC＝∠BAE，∠FAM＝∠BMA，则可证明，进而得到，据此求出∠FAC的度数，进而求出∠BAE的度数即可得到答案． 【解答】解：∵线段AM平分∠BAC，线段AN平分∠FAC， ∴， ∵PQ∥EF， ∴∠ABC＝∠BAE，∠FAM＝∠BMA， ∵∠BMA﹣∠FAN＝60°， ∴∠FAM﹣∠FAN＝60°， ∴， ∵∠FAM＝∠FAC+∠CAM＝∠FAC+45°， ∴， ∴∠FAC＝30°， ∴∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC＝60°， ∴∠ABC＝60°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 9．如图，在下列给出的条件中，能直接判定AB∥DF的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠A＝∠1 D．∠2+∠4＝180° 【考点】平行线的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：A．若∠3＝∠4，则DE∥AC（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B．若∠1＝∠4，则AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故符合题意； C．若∠1＝∠A，则DE∥AC（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； D．若∠2+∠4＝180°，则DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键． 10．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α（0＜α＜45°），则下列结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝90° B．∠2＝45°+α C．AB∥ED D．当α＝30°时，∠BAC＝∠MAC 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝60°， ∴AB∥CD， ∴∠BCE＝∠B＝90°， 故AC选项不符合题意； 延长AC交l2于点H， ∵∠1＝α，∠DEF＝45°， ∴∠DEH＝α+45°． ∵∠ACE＝90°+30°＝120°， ∴∠CHE＝120°﹣（α+45°）＝75°﹣α． ∵l1∥l2， ∴∠NAC+∠CHE＝180°， ∴∠2+60°＝180°﹣（75°﹣α）， ∴∠2＝45°+α， 故B选项不符合题意； ∵α＝30°， ∴∠2＝75°， ∴∠MAC＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∴∠BAC≠∠MAC， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定于性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G，则下列结论正确的是　①②③　 ． ①∠BAC＝90°； ②∠AEF＝∠EAD； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠AEF＝30°． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】①②③． 【分析】证明∠BAD+∠CAD＝90°即可判断①正确；根据EF∥AC，结合角平分线的定义即可判断②；利用直角三角形的性质，角的和差定义即可判断③正确；由题目中的条件无法证明∠AEF＝30°，所以可判断④错误． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACB+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，故①正确； ∵EF∥AC， ∴∠AEF＝∠CAE， ∵∠CAD＝2∠CAE＝2∠EAD， ∴∠CAD＝2∠AEF，∠AEF＝∠EAD，故②正确； ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAE＝∠ACB+∠CAE＝∠BEA，故③正确， 题目中没有任何条件能推出∠AEF＝30°，，无法确定这个角度的具体值，故④错误． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，AB∥CD，E，F，H分别在AB，CD，AC上，PG平分∠FPE交AC于点G，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠FPH+∠GPE＝∠PEB；③∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．其中正确结论的序号是　①③④　 ． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】①③④． 【分析】根据平行线的判定与性质，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， ∵∠CFP+∠FPH＝180°， ∴CD∥PH， 故①正确； ∵AB∥CD，CD∥PH， ∴PH∥AB， ∴∠PEB＝∠HPE． ∵∠HPE＝∠GPH+∠GPE， ∴∠GPH+∠GPE＝∠PEB． ∵∠FPH与∠GPH不一定相等， ∴∠FPH+∠GPE不一定等于∠PEB， 故②错误； ∵CD∥PH，AB∥PH， ∴∠BEP＝∠HPE，∠PFD＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠HPE+∠FPH＝∠FPE． ∵PG平分∠FPE， ∴∠FPE＝2∠EPG， ∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG， 故③正确； ∵CD∥PH， ∴∠DFP＝∠FPH． ∵∠AGP＝∠AHP+∠HPG， ∴∠A+∠AGP+∠DFP＝∠A+∠AHP+∠HPG+∠FPH＝∠A+∠AHP+∠GPF， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠AHP． ∵PH∥AB， ∴∠A+∠AHP＝180°， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 13．如图，两块平面镜的夹角为∠A（90°＜∠A＜180°），两条平行光线CD和QF分别射到两块平面镜上，交平面于点D、F，它们的反射光线DP与EF的夹角∠DOF＝α，则∠A的度数是　180°　 ．（用含α的代数式表示）． 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】180°． 【分析】根据平行线的性质，用含α的代数式表示出∠A的度数即可． 【解答】解：延长DQ交FQ于点M，如图所示， ∵CD∥FQ， ∴∠CDP＝∠5． ∵α＝∠5+∠EFQ， ∴α＝∠CDP+∠EFQ． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠2+2∠3＝360°﹣（∠CDP+∠EFQ）， ∴∠2+∠3＝180°α， ∴∠A＝360°﹣α﹣（180°α）＝180°． 故答案为：180°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及列代数式，熟知平行线的性质是解题的关键． 14．如图，直线AB和直线CD被直线EF所截，交于点G和点H，在下列条件中：①∠EGB＝∠DHF，②∠AGH＝∠GHD，③∠AGH+∠GHC＝180°，可以判定AB∥CD的是　②③　 （写出所有符合条件的序号）． 【考点】平行线的判定；角的概念．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】②③． 【分析】根据平行线的判定定理，对给出的三个条件逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：①由∠EGB＝∠DHF，无法判定∠EGB＝∠GHD，故无法判定AB∥CD，不符合题意； ②由∠AGH＝∠GHD，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AB∥CD，符合题意； ③∠AGH+∠GHC＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AB∥CD，符合题意． 故答案为：②③． 【点评】本题考查的是平行线的判定，角的概念，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 15．如图，点D在∠EAB内，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB于点H，若∠A＝40°，则∠FDH的度数为　130°　 ． 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】130°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝40°， ∴∠ECD＝∠A＝40°． ∵DF∥AE， ∴∠ECD+∠CDF＝180°， ∴∠CDF＝180°﹣40°＝140°． ∵CD∥AB，DH⊥AB， ∴∠CDH＝90°， ∴∠FDH＝360°﹣140°﹣90°＝130°． 故答案为：130°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，CE平分∠ACB交AB于点E，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠ACE＝32°，求∠EDB的度数． 补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的内容或理论依据． 解：因为CE平分∠ACB（已知）， 所以∠ACB＝2∠ACE ①＝2×32°＝64°（　角平分线的性质　 ②）． 因为∠2+∠3＝180°（已知）， 又因为∠DFE+∠3＝180°（平角定义）， 所以∠2＝∠DFE（　等量代换　 ③）． 所以AB∥DF（　内错角相等，两直线平行　 ④）． 所以∠1+∠AED ⑤＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ⑥）． 又因为∠A＝∠1（已知）， 所以∠A+∠AED ⑦＝180°（等量代换）． 所以DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行）． 所以∠EDB＝∠ACB＝64°（　两直线平行，同位角相等　 ⑧）． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】①ACE，②角平分线的性质，③等量代换，④内错角相等，两直线平行，⑤AED，⑥两直线平行，同旁内角互补，⑦AED，⑧两直线平行，同位角相等． 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答． 【解答】解：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACE＝2×32°＝64°（角平分线的性质）， ∵∠2+∠3＝180°， 又∵∠DFE+∠3＝180°， ∴∠2＝∠DFE（等量代换）， ∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1+∠AED＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠A＝∠1， ∴∠A+∠AED＝180°， ∴DE∥AC， ∴∠EDC＝∠ACB＝64°（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：①ACE②角平分线的性质，③等量代换，④内错角相等，两直线平行，⑤AED，⑥两直线平行，同旁内角互补，⑦AED，⑧两直线平行，同位角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，掌握以上知识是解题关键． 17．已知：BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，且AB∥CD． （1）如图1，求证：BE∥CF； （2）如图2，点G，P分别在BE，BC上，连接PG，过点P作PH⊥PG交CF于点H，求证：∠PGB+∠PHF＝90°． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， ∴∠CBE∠ABC，∠BCF∠BCD． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴∠CBE＝∠BCF， ∴BE∥CF； （2）过点P作PM∥BE， ∵PM∥BE，BE∥CF， ∴∠PGB＝∠GPM，PM∥CF， ∴∠PHF＝∠HPM， ∴∠PGB+∠PHF＝∠GPM+∠HPM＝∠GPH． ∵PH⊥PG， ∴∠GPH＝90°， ∴∠PGB+∠PHF＝90°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， ∴∠CBE∠ABC，∠BCF∠BCD． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴∠CBE＝∠BCF， ∴BE∥CF； （2）过点P作PM∥BE， ∵PM∥BE，BE∥CF， ∴∠PGB＝∠GPM，PM∥CF， ∴∠PHF＝∠HPM， ∴∠PGB+∠PHF＝∠GPM+∠HPM＝∠GPH． ∵PH⊥PG， ∴∠GPH＝90°， ∴∠PGB+∠PHF＝90°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 18．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在线段BD上，F为CA延长线上一点，连接FE交AB于点M，使∠FEB+∠ADC＝180°，作AG平分∠FAB交EF于点G． （1）AD与FE平行吗？为什么？ （2）求证：AD⊥AG； （3）点H在FE的延长线上，连接DH，若∠EDH＝∠B，∠F＝2∠H﹣40°，求∠BAC的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AD与FE平行，理由如下： ∵∠FEB+∠ADC＝180°， 又∵∠FEB+∠FED＝180°， ∴∠ADC＝∠FED， ∴AD∥FE； （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∵AG平分∠FAB， ∴∠GAB∠FAB， ∵∠BAC+∠FAB＝180°， ∴∠BAD+∠GAB（∠BAC+∠FAB）＝90°， ∴AD⊥AG； （3）∠BAC＝80°． 【分析】（1）利用邻补角性质和已知条件推导出同位角相等，从而判定AD与FE平行； （2）利用角平分线的性质和平角的定义进行证明即可； （3）通过平行线的性质进行角度转化，再结合已知条件建立方程求解． 【解答】解：（1）AD与FE平行，理由如下： ∵∠FEB+∠ADC＝180°， 又∵∠FEB+∠FED＝180°， ∴∠ADC＝∠FED， ∴AD∥FE； （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∵AG平分∠FAB， ∴∠GAB∠FAB， ∵∠BAC+∠FAB＝180°， ∴∠BAD+∠GAB（∠BAC+∠FAB）＝90°， ∴AD⊥AG； （3）∵AD∥FE， ∴∠F＝∠DAC，∠AMG＝∠BAD， ∵∠EDH＝∠B， ∴AB∥DH， ∴∠AMG＝∠H， ∴∠BAD＝∠H， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠H＝∠DAC＝∠F， ∵∠F＝2∠H﹣40°， ∴∠H＝2∠H﹣40°， ∴∠H＝40°， ∴∠BAC＝2∠H＝80°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义以及垂直的定义，熟练运用以上知识点是解题关键． 19．如图，在三角尺ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，直线MN∥GH，三角尺ABC的顶点C在直线GH上，顶点A在直线MN上． （1）如图1，三角尺ABC的顶点B在平行线内部，且AB平分∠CAN，求∠BCH的度数； （2）如图2，三角尺ABC的顶点B在直线GH上方，∠BAN的度数是∠BCH的2.5倍，请求出∠BCH的度数． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）30°； （2）40°． 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠NAC＝2∠BAC＝60°，根据平行线的性质可得∠ACH＝120°，由角的和差即可得出结果； （2）设∠BCH＝α，则∠BAN＝2.5α，由∠BAC＝30°，∠ACB＝90°可得∠ACH＝90°﹣α，∠NAC＝30°+2.5α，根据平行线的性质即可得出结果． 【解答】解：（1）∵AB平分∠CAN， ∴∠NAC＝2∠BAC＝60°， ∵MN∥GH， ∴∠ACH+∠NAC＝180°， ∴∠ACH＝120°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝∠ACH﹣∠ACB＝30°； （2）设∠BCH＝α，则∠BAN＝2.5α， ∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ACH＝90°﹣α，∠NAC＝30°+2.5α， ∵MN∥GH， ∴∠ACH+∠NAC＝180°， ∴90°﹣α+30°+2.5α＝180°， ∴α＝40°， ∴∠BCH＝40°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 20．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE； 第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： （1）如图①，若∠C＝2∠D，求∠E； （2）如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由． 【考点】平行线的判定与性质；点、线、面、体；相交线；平行线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∠E＝60°； （2）∠C+∠CDE＝∠DEF+∠F， 理由：如图所示，过点D，E分别作AC的平行线DN，EM， ∴EM∥DN， ∴∠MED＝∠NDE， 设∠MED＝∠NDE＝α， 又∵AC∥BF， ∴AC∥DN，ME∥BF， ∴∠C+∠CDE+α＝180°，∠DEF+α+∠F＝180°， ∴∠C+∠CDE＝∠DEF+∠F． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D＝180°，结合题意，得到3∠D＝180°，由CD∥BE，得到∠E＝∠D＝60°，即可求解； （2）如图所示，过点D，E分别作AC的平行线DN，EM，可得EM∥DN，设∠MED＝∠NDE＝α，结合题意得到AC∥DN，ME∥BF，则∠C+∠CDE+α＝180°，∠DEF+α+∠F＝180°，由此即可求解． 【解答】解：（1）∵AC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠C＝2∠D， ∴3∠D＝180°， ∴∠D＝60°， ∵CD∥BE， ∴∠E＝∠D＝60°； （2）∠C+∠CDE＝∠DEF+∠F， 如图所示，过点D，E分别作AC的平行线DN，EM， ∴EM∥DN， ∴∠MED＝∠NDE， 设∠MED＝∠NDE＝α， 又∵AC∥BF， ∴AC∥DN，ME∥BF， ∴∠DEF+α+∠F＝180°，∠C+∠CDE+α＝180°， ∴∠C+∠CDE＝∠DEF+∠F． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，数形结合分析是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $