2027年中考数学一轮复习难题攻克专题解析之专题无理数与实数

**基本信息** 聚焦无理数与实数模块，以"概念辨析-技能应用-规律探究"为逻辑主线，通过新定义问题和跨知识整合题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|10题（如第1题估算）|表格数据分析、新定义转化|从平方根/立方根概念延伸至无理数估算| |技能应用|5题（如第11题比较大小）|求差法、数形结合|运算能力与几何直观的综合应用| |综合探究|5题（如第2题方根数对）|规律建模、方程思想|从具体问题抽象数学关系，发展创新意识|

2027年中考数学复习难题速递之无理数与实数 一．选择题（共5小题） 1．如表记录了一些数的平方： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 y 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在16.7～16.8的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（　　） A．只有小美的结论正确 B．只有小丽的结论正确 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 2．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一组“完美方根数对”．如上面（6，3）是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①（12，4）是“完美方根数对”； ②数对（28，m）不可能是“完美方根数对”； ③若x+y＜1000，且（x，y）是“完美方根数对”，则满足条件的（x，y）共有30组； 其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．对于无理数T，若整数a，b满足a＜T＜b，且a是小于T的最大整数，b是大于T的最小整数，则称（a，b）为无理数T的“相邻区间”．例如：，称（1，2）为的“相邻区间”．已知（m，n）为某无理数的“相邻区间”，整数m，n满足，且是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组解，则整数c的值是（　　） A．1或36 B．2或35 C．1或37 D．2或36 4．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 5．有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（　　） A．a B．b C．c D．d 二．填空题（共5小题） 6．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F（n）．若n是最大的“半和数”，则F（n）的值为　 　 ；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为　 　 ． 7．小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数． 例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2． （1）实数100先经过一个B变换得到的数，再经过一次A变换得到的数是　 　 ； （2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b．若a＝b，则所有满足条件的x的值之和为　 　 ． 8．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　 　 ． 9．根据你发现的规律填空：已知，14.42，若，则　 　 ． 10．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； … 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 11．若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ∵， ∴． ∴． ∴． 请根据上述方法解答下列问题： （1）比较与﹣4的大小； （2）有两块正方形的玻璃，第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：1.72＝2.89，1.752＝3.0625，2.22＝4.84，2.252＝5.0625） 12．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）请求出的整数部分和小数部分； （2）某正数的两个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分，求2a﹣b+c的算术平方根． 13．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 （1）观察图①，用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是　 　 ． （2）在（1）中公式里，若a2+b2＝97，ab＝36（a＞0，b＞0），求a+b的值． 【类比探究】 （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值．小度的想法是设a＝5﹣x，b＝x﹣1，那么求出a2+b2的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 （4）如图②，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102m2，AC＝18m，求种草区域的面积和． 14．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，； 已知，则，； 已知，则，； 已知，则，． （1）根据小明的发现，请填空： 若，那么　 　 ；若，那么　 　 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用x，y来表示，且满足． ①求该长方形的周长C； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C'，请利用（1）中所得规律，求出的值． 15．（1）已知正实数m的两个不同平方根是2a+6和9﹣5a，10a+3b﹣2的立方根是3，求的平方根． （2）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D'对应，若∠1＝2∠2，求∠AEF的度数． 16．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x． ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为　 　 ，小正方形的边长为　 　 ，根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是　 　 ，从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 17．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x． ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为　 　 ，小正方形的边长为　 　 ，根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是　 　 ，从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（要求画出拼图，标上相应的数据） 18．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：　 　 ； （2）写出第n个等式：　 　 ；（用含n的等式表示） （3）根据上面的结论计算： ． 19．阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： （1）计算的值； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的规律，计算的值． 20．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对（a，b），其中b≥0．计算器会先将a进行开立方运算得到m，即，再将b的算术平方根取相反数得到n，即，最后输出两个结果（m，n）和（n，m），将这两个输出结果称为数对（a，b）的“变换数对”． 例如：数对（8，49）的“变换数对”为（2，﹣7）和（﹣7，2）． （1）下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是　 　 ； A．（3，﹣5） B．（2，6） C．（0，7） D．（﹣1，﹣9） （2）若输入数对（64，9），则输出的“变换数对”结果为　 　 ； （3）社团成员小明输入某个数对（p，q）后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是（﹣2，5），求p和q的值． 2027年中考数学复习难题速递之无理数与实数（2026年7月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 B D C C B 一．选择题（共5小题） 1．如表记录了一些数的平方： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 y 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在16.7～16.8的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（　　） A．只有小美的结论正确 B．只有小丽的结论正确 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 【考点】估算无理数的大小．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算解答即可． 【解答】解：∵16.72＝278.89，16.82＝282.24， ∴算术平方根在16.7～16.8的整数有279，280，281，282，共4个， ∴小美的结论错误； ∵16.92＝285.61＜288＜172＝289， ∴， ∴， ∴的整数部分为11，小丽的结论正确． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握该知识点是关键． 2．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一组“完美方根数对”．如上面（6，3）是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①（12，4）是“完美方根数对”； ②数对（28，m）不可能是“完美方根数对”； ③若x+y＜1000，且（x，y）是“完美方根数对”，则满足条件的（x，y）共有30组； 其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】D 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数a，b满足a＝b2﹣b，再逐一验证三个结论即可． 【解答】解：对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一组“完美方根数对”． 根据定义，若（a，b）是“完美方根数对”，则（a，b为正整数），两边平方得：a+b＝b2，即a＝b2﹣b， ①验证（12，4）：∵b＝4，b2﹣b＝16﹣4＝12＝a， ∴（12，4）是“完美方根数对”，①正确； ②验证（28，m）：若（28，m）是“完美方根数对”， 则m2﹣m＝28，即m2﹣m﹣28＝0， 该方程无正整数解，因此（28，m）不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若x+y＜1000，（x，y）是“完美方根数对”：∵x＝y2﹣y， ∴x+y＝y2＜1000， 又x是正整数， ∴x＝y2﹣y＞0，y为正整数，得y≥2， ∵312＝961＜1000，322＝1024＞1000， ∴y可取2，3，…，31，共31﹣2+1＝30组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为3． 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根，正确进行计算是解题关键． 3．对于无理数T，若整数a，b满足a＜T＜b，且a是小于T的最大整数，b是大于T的最小整数，则称（a，b）为无理数T的“相邻区间”．例如：，称（1，2）为的“相邻区间”．已知（m，n）为某无理数的“相邻区间”，整数m，n满足，且是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组解，则整数c的值是（　　） A．1或36 B．2或35 C．1或37 D．2或36 【考点】估算无理数的大小；二元一次方程的解．版权所有 【答案】C 【分析】根据“相邻区间”的定义，还有二元一次方程整数解，整数c这些个条件，寻找符合的情况． 【解答】解：∴m，n均为整数，（m，n）为某无理数的“相邻区间”， 又∵4＜m16，是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组解，且要求c是整数，即c＝m2﹣n为整数时，必须是整数， ∴符合条件的m，n有： ①m＝3，n＝4， ②m＝8，n＝9， ∴c＝9﹣8＝1或c＝64﹣27＝37， 故选：C． 【点评】本题考查新定义，估算无理数大小，实数与数轴，二元一次方程解相关知识，结合动点，锻炼分析、计算能力，分类讨论思想． 4．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．版权所有 【专题】实数；二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算，并据此进行估值即可． 【解答】解：由题知， 原式 ． ∵1＜2＜2.25， ∴， ∴23， ∴89． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小及二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则及估算无理数大小的方法是解题的关键． 5．有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（　　） A．a B．b C．c D．d 【考点】实数与数轴；相反数．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【解答】解：因为的相反数是， 所以数轴上表示的数可能是b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数与数轴及相反数，熟知相反数的定义及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F（n）．若n是最大的“半和数”，则F（n）的值为　282　 ；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为　852　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；整式的加减．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】282，852． 【分析】先根据“半和数”的定义和n的最大值判断a的值，再根据代入求解判断；根据“半和数”的定义和m的最大值与最小值，将a，b的可能值代入中判断即可． 【解答】解：∵n是最大的“半和数”， ∴a＝9， 则，即2b﹣c＝9， ∵n是最大的“半和数”，各个数位上的数字均不为0且互不相等的整数， 当b＝8时，c＝7，符合题意， ∴a＝9，b＝8，c＝7， ∴去掉一个数位上的数字，得到的两位数为98，97，87， F（n）＝98+97+87＝282； 根据F（n）的定义可知，F（m）＝10a+b+10a+c+10b+c＝20a+11b+2c， 则， ∴， ∵， ∴c＝2b﹣a， ∴， 由条件可知m最大时，则a要尽量大， 当a＝9时， 此时b＝8，2a+b＝26，26非平方数，不符合题意； b＝7，2a+b＝25，25是平方数， ∴m最大时，a＝9，b＝7，则c＝2b﹣a＝5， ∴m＝975； m最小时，a要尽可能地小， 当a＝1时， b＝2，2a+b＝4是平方数， ∴m最小时，a＝1，b＝2， 则c＝2b﹣a＝3， ∴m的最小值为123， ∴m的最大值与最小值的差为975﹣123＝852． 故答案为：282，852． 【点评】本题考查了整式的加减、非负数的性质﹣算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键． 7．小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数． 例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2． （1）实数100先经过一个B变换得到的数，再经过一次A变换得到的数是　1　 ； （2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b．若a＝b，则所有满足条件的x的值之和为　13　 ． 【考点】立方根；算术平方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）1； （2）13． 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列式求解即可； （2）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴100经B变换结果为4． ∵， ∴得到的数是1． 故答案为：1； （2）A变换：（算术平方根有意义，故x≥0）， B变换：b为整数，且． 当a＝b时，即等于的整数部分． ∴，即x＝（b+1）2． ①当b＝0时： 此时，即0≤x＜1． 代入方程：，解得x＝1． ∵x＝1不满足0≤x＜1， ∴这种情况无解． ②当b＝1时： 此时，即1≤x＜8． 代入方程：，解得x＝4． ∵1≤4＜8，符合条件， ∴x＝4是一个解． ③当b＝2时： 此时，即8≤x＜27． 代入方程：，解得x＝9． ∵8≤9＜27，符合条件， ∴x＝9是一个解． ④当b≥3时： 此时，即x≥27． 代入方程：，解得x≥16． 但当x≥27时，，而， ∴，即a＞b+1，a＝b不成立，这种情况无解． ⑤当b＜0时： 此时，即x＜0，与x≥0矛盾，这种情况无解． 综上，满足条件的x为4和9， 所有满足条件的x的值之和为4+9＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键． 8．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　50　 ． 【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】50． 【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），再比较即可求得a+b的值． 【解答】解：∵；；；， ∴（n≥1的正整数）， ∵，626＝252+1， ∴a＝b＝25， ∴a+b＝25+25＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查的是算术平方根，数字的变化类，根据题意找出规律是解题的关键． 9．根据你发现的规律填空：已知，14.42，若，则　7.696　 ． 【考点】立方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】7.696． 【分析】依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可． 【解答】解：若， 则． 故答案为：7.696． 【点评】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 10．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； … 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是　　 ． 【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】． 【分析】根据数表的数据的变化规律进行计算即可． 【解答】解：原数表可变为： 第1行：，，； 第2行：，，； 第3行：，，； … 所以第6行从左向右第2个数是， 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根，数字的变化类，掌握数表中数据的变化规律是正确解答的关键． 三．解答题（共10小题） 11．若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ∵， ∴． ∴． ∴． 请根据上述方法解答下列问题： （1）比较与﹣4的大小； （2）有两块正方形的玻璃，第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：1.72＝2.89，1.752＝3.0625，2.22＝4.84，2.252＝5.0625） 【考点】实数大小比较．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）； （2）第一块玻璃的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与﹣4的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a，第二块玻璃的边长比2m少的长度为b，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，则： ∵第一块面积为5m2，第二块面积为3m2， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a，第二块玻璃的边长比2m少的长度为b， ∴，， ∴， ∵1.752＝3.0625，2.252＝5.0625， ∴，． ∴，即a﹣b＜0． ∴第一块玻璃的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度． 【点评】本题考查实数大小的比较，正确进行计算是解题关键． 12．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）请求出的整数部分和小数部分； （2）某正数的两个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分，求2a﹣b+c的算术平方根． 【考点】估算无理数的大小；平方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）整数部分为3，小数部分为； （2）6． 【分析】（1）估算无理数的大小，即可得出整数部分和小数部分； （2）根据题意先后确定a，b，c的值，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵9＜15＜16， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）某正数的两个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分， 由题意得2a﹣14+a+2＝0， 解得a＝4， ∵b﹣4的立方根为﹣3， ∴b﹣4＝（﹣3）3＝﹣27b＝﹣27+4＝﹣23， 解得b＝﹣27+4＝﹣23， ∵25＜27＜36， ∴， ∴的整数部分为5， ∵c是的整数部分， ∴c＝5， ∴2a﹣b+c＝2×4﹣（﹣23）+5＝8+23+5＝36， ∴2a﹣b+c的算术平方根为6． 【点评】本题考查估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 13．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 （1）观察图①，用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． （2）在（1）中公式里，若a2+b2＝97，ab＝36（a＞0，b＞0），求a+b的值． 【类比探究】 （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值．小度的想法是设a＝5﹣x，b＝x﹣1，那么求出a2+b2的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 （4）如图②，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102m2，AC＝18m，求种草区域的面积和． 【考点】估算无理数的大小；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）13； （3）10； （4）60m2． 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图①的面积即可； （2）根据（a+b）2＝a2+2ab+b2代入计算即可； （3）设a＝5﹣x，b＝x﹣1，由题意得a+b＝4，ab＝3，由（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入计算即可； （4）设AE＝xm，EC＝ym，由题意得x+y＝18，x2+y2＝204，根据（x+y）2＝x2+2xy+y2求出xy的值即可． 【解答】解：（1）图①整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图①的四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵a2+b2＝97，ab＝36， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝97+2×36＝169， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b13； （3）设a＝5﹣x，b＝x﹣1，则a+b＝4，ab＝（5﹣x）（x﹣1）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣1）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×3 ＝10； （4）设AE＝xm，EC＝ym，则x+y＝AC＝18m， ∵种花区域的面积和为102m2， ∴x2y2＝102， 即x2+y2＝204， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴182＝204+2xy， 解得xy＝60， ∴种草区域的面积和为xyxy＝xy＝60（m2）． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 14．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，； 已知，则，； 已知，则，； 已知，则，． （1）根据小明的发现，请填空： 若，那么　25　 ；若，那么　﹣120　 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用x，y来表示，且满足． ①求该长方形的周长C； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C'，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【考点】立方根；算术平方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）25；﹣120； （2）①144；②120． 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得x+y﹣8＝43＝64，求出x+y的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得C′的值，求出C的算术平方根，即可求出C′的算术平方根． 【解答】解：（1）由题意得，若，那么； 若，那么； 故答案为：25；﹣120； （2）①∵， ∴x+y﹣8＝43＝64， ∴x+y＝72， ∴2（x+y）＝144， ∴该长方形的周长C为144； ②由（2）①得C′＝14400， ∵， ∴． 【点评】本题考查立方根，正确进行计算是解题关键． 15．（1）已知正实数m的两个不同平方根是2a+6和9﹣5a，10a+3b﹣2的立方根是3，求的平方根． （2）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D'对应，若∠1＝2∠2，求∠AEF的度数． 【考点】立方根；平行线的性质；平方根．版权所有 【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）±3； （2）72°． 【分析】（1）根据平方根的定义求出a、b、m的值，再代入计算即可； （2）根据折叠的性质，平行线的性质以及平角的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵正实数m的两个不同平方根是2a+6和9﹣5a， ∴2a+6+9﹣5a＝0， 解得a＝5， ∴m＝（2a+6）2＝256， 又∵10a+3b﹣2的立方根是3， ∴10a+3b﹣2＝27，而a＝5， 解得b＝﹣7， ∴3×5+7+1＝9， ∴的平方根为±3； （2）又折叠可知，∠AEF＝∠A′EF， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠A′EF＝∠1， 又∵∠AEF+∠A′EF+∠2＝180°，而∠1＝2∠2， ∴5∠2＝180°， 解得∠2＝36°， ∴∠AEF＝∠1＝2∠2＝72°． 【点评】本题考查算术平方根，立方根以及折叠轴对称的性质，平行线的性质，掌握算术平方根，立方根以及折叠轴对称的性质，平行线的性质，是正确解答的关键． 16．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x． ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为　10　 ，小正方形的边长为　10﹣2x ，根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25　 ，从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（请在答题卷指定位置内画出拼图，标上相应的数据） 【考点】估算无理数的大小；单项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】【方法理解】①10，10﹣2x，x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25； 【类比迁移】设长方形的一边长是8﹣m，则另一边长是10+m， ①当﹣10＜m＜﹣1时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为18，小正方形的边长为﹣2m﹣10， 根据面积关系，所以代数式（8﹣m）（10+m），81，（﹣m﹣5）2满足的等量关系是（8﹣m）（10+m）+（﹣m﹣5）2＝81， 从而可得（8﹣m）（10+m）＜81； ②当﹣1＜m＜8时，类似上述过程进行拼图，同理可得（8﹣m）（10+m）＜81； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝﹣1时，（8﹣m）（10+m）＝81； 综上分析，（8﹣m）（10+m）的最大值是81． 【分析】【方法理解】根据所给解题过程进行计算即可； 【类比迁移】结合所给解题过程进行计算即可． 【解答】解：【方法理解】由题知， ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为10，小正方形的边长为10﹣2x， 根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25， 从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 故答案为：10，10﹣2x，x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25； 【类比迁移】由题知， 设长方形的一边长是8﹣m，则另一边长是10+m， ①当﹣10＜m＜﹣1时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为18，小正方形的边长为﹣2m﹣10， 根据面积关系，所以代数式（8﹣m）（10+m），81，（﹣m﹣5）2满足的等量关系是（8﹣m）（10+m）+（﹣m﹣5）2＝81， 从而可得（8﹣m）（10+m）＜81； ②当﹣1＜m＜8时，类似上述过程进行拼图，同理可得（8﹣m）（10+m）＜81； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝﹣1时，（8﹣m）（10+m）＝81； 综上分析，（8﹣m）（10+m）的最大值是81． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、单项式乘多项式及完全平方公式的几何背景，理解所给求解过程是解题的关键． 17．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说明． 【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x． ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此时大正方形的边长为　10　 ，小正方形的边长为　10﹣2x ，根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25　 ，从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（要求画出拼图，标上相应的数据） 【考点】估算无理数的大小；单项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】【方法理解】①10，10﹣2x，x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25； 【类比迁移】设长方形的一边长是8﹣m，则另一边长是10+m， ①当﹣10＜m＜﹣1时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为18，小正方形的边长为﹣2m﹣10， 根据面积关系，所以代数式（8﹣m）（10+m），81，（﹣m﹣5）2满足的等量关系是（8﹣m）（10+m）+（﹣m﹣5）2＝81， 从而可得（8﹣m）（10+m）＜81； ②当﹣1＜m＜8时，类似上述过程进行拼图，同理可得（8﹣m）（10+m）＜81； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝﹣1时，（8﹣m）（10+m）＝81； 综上分析，（8﹣m）（10+m）的最大值是81． 【分析】【方法理解】根据所给解题过程进行计算即可； 【类比迁移】结合所给解题过程进行计算即可． 【解答】解：【方法理解】由题知， ①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为10，小正方形的边长为10﹣2x， 根据面积关系，所以代数式x（10﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25， 从而可得x（10﹣x）＜25； ②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10﹣x）＝25； 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25． 故答案为：10，10﹣2x，x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25； 【类比迁移】由题知， 设长方形的一边长是8﹣m，则另一边长是10+m， ①当﹣10＜m＜﹣1时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形， 此时大正方形的边长为18，小正方形的边长为﹣2m﹣10， 根据面积关系，所以代数式（8﹣m）（10+m），81，（﹣m﹣5）2满足的等量关系是（8﹣m）（10+m）+（﹣m﹣5）2＝81， 从而可得（8﹣m）（10+m）＜81； ②当﹣1＜m＜8时，类似上述过程进行拼图，同理可得（8﹣m）（10+m）＜81； ③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝﹣1时，（8﹣m）（10+m）＝81； 综上分析，（8﹣m）（10+m）的最大值是81． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、单项式乘多项式及完全平方公式的几何背景，理解所给求解过程是解题的关键． 18．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：　　 ； （2）写出第n个等式：　（n为正整数）　 ；（用含n的等式表示） （3）根据上面的结论计算： ． 【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）； （2）（n为正整数）； （3）． 【分析】（1）根据规律写出第7个等式； （2）根据规律写出第n个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【解答】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 第7个等式：； 故答案为：； （2）第n个等式：（n为正整数）； 故答案为：（n为正整数）； （3）原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算、数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键． 19．阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： （1）计算的值； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的规律，计算的值． 【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】猜想归纳；实数；运算能力． 【答案】（1）29； （2）n2+3n+1； （3）2025． 【分析】（1）运用题目中的运算方法进行计算、求解； （2）运用题目中的运算方法进行计算、归纳； （3）运用第（2）题中的规律进行计算、求解． 【解答】解：（1）由题意得， ＝29； （2）由题意得， ； ＝20252+3×2025+1﹣20262（8分） ＝20252+2×2025+1+2025﹣20262 ＝（2025+1）2﹣20262+2025 ＝20262﹣20262+2025 ＝2025． 【点评】此题考查了实数运算规律性问题的解决能力，关键是能准确理解并运用题目中的运算方法，进行准确地计算、归纳． 20．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对（a，b），其中b≥0．计算器会先将a进行开立方运算得到m，即，再将b的算术平方根取相反数得到n，即，最后输出两个结果（m，n）和（n，m），将这两个输出结果称为数对（a，b）的“变换数对”． 例如：数对（8，49）的“变换数对”为（2，﹣7）和（﹣7，2）． （1）下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是B ； A．（3，﹣5） B．（2，6） C．（0，7） D．（﹣1，﹣9） （2）若输入数对（64，9），则输出的“变换数对”结果为　（4，﹣3）和（﹣3，4）　 ； （3）社团成员小明输入某个数对（p，q）后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是（﹣2，5），求p和q的值． 【考点】计算器—数的开方．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）B； （2）（4，﹣3）和（﹣3，4）； （3）p＝125，q＝4． 【分析】（1）根据n的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出m和n，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到p和q的值． 【解答】解：（1）由定义得，对任意输入数对（a，b），，因此n≤0， 任意输出的变换数对为（m，n）或（n，m），因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、（3，﹣5），﹣5≤0，可能； 选项B、（2，6），两个数都大于0，不可能； 选项C、（0，7），可能； 选项D、（﹣1，﹣9），两个数都不大于0，可能； 故选：B； （2）输入数对（64，9），则a＝64，b＝9， ∴，， ∴输出的变换数对为（4，﹣3）和（﹣3，4）； 故答案为：（4，﹣3）和（﹣3，4）； （3）社团成员小明输入某个数对（p，q）后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是（﹣2，5）， 已知其中一个输出结果是（﹣2，5）， 分两种情况讨论： 若m＝﹣2，n＝5，则n＝5与矛盾，此情况舍去； 若m＝5，n＝﹣2， 由，得p＝53＝125， 由，得，两边平方得q＝4，满足q≥0， 因此p＝125，q＝4． 【点评】本题考查数的开方，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $