精品解析：江苏省南通中学2027届高三第一次教学质量调研练习数学试卷

2027高三教学质量调研练习卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C. D. 5. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据 A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 6. 在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 7. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦长为______. 13. 已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________. 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的大小. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 17. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设为的导函数，讨论的零点个数； （3）若存在，使得不等式对任意成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高三教学质量调研练习卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 2. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 4. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 5. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据 A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断． 【详解】由题可得：平均值为2， 由，， 所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题． 6. 在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称，即可代入方程验证A，根据不等式即可求解B，根据对称，联立方程可求解半长轴和半短轴的长，即可有离心率公式求解C，根据判别式即可求解D. 【详解】设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为，由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确； 对于B，，则， 故，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A可知：是的两条对称轴，令，则，解得，令，则，解得，故长半轴轴长，短半轴长，故离心率为，故C错误； 对于D，由可将其看作是关于的方程，且该方程有实数根，故，故，因此n的最大值为，故D正确； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：①根据是的两条对称轴，令和可得长半轴轴长，短半轴长.②将其看作是关于的方程，根据方程有实数根，利用判别式求解. 7. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以，即. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】使用等差中项的性质分析选项A，使用等差数列的定义分析选项B，使用基本不等式分析选项C，使用导数分析选项D. 【详解】依题意可得为等差数列， 由，可得，，，所以A错误; 由，且，，可得，， ，， ，所以B正确; 由为等差数列，可得， ，所以C正确; 由，，，则，可求得， 令，，， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 所以恒成立，即在时恒成立， 恒成立，，，， 则，所以D正确. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：事件，相互独立需满足，根据题意并不是恒成立；对于B：根据条件求出，则即可求解；对于C：根据条件，可判断出，即可判断；对于D：因，若则，且可判断出是唯一解，即可判断. 【详解】对于A，如图，设，，，故， 若事件，相互独立，则需要满足，， 所以时成立，但不是恒成立，A错误； 对于B，，则，，所以，，B正确； 对于C，由于，则，所以①，，所以②， 由①②得：，即，所以，则， 又因为，所以，所以C正确； 对于D，，则， 又因为，， 所以，，化简整理得， 又因为， 所以，所以，则D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，数列满足（）， 两侧同除，可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以 （）， 当时，适合上式， 所以，所以数列的通项公式. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键. 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知变形为，用两角和（差）的正弦公式得到，进而得到与的关系，代入用基本不等式即可求最小值. 【详解】， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵为锐角，∴ ∴ , 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题关键是化“弦”为“切”，通过代入减元运用基本不等式求和的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1） 连接，交于点，连接，则为的中点. 因为为棱的中点，则，平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，结合已知有，应用线面平行判定证结论； （2）构建合适的空间坐标系，应用向量法求面面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面与平面的夹角为，则， 因为， 所以平面与平面的夹角为. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 17. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），； （2）与性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格数据直接计算即可. （2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可. （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联. 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； 【小问3详解】 随机抽取1人购买B款车的概率为， X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. 18. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设为的导函数，讨论的零点个数； （3）若存在，使得不等式对任意成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后利用点斜式方程求出切线方程； （2）对求导，由零点定义可得，设，利用导数分析单调性及值域，对分类讨论即可判断； （3）分离参数可得，构造函数，则，利用导数求出的最小值可得，再次构造函数，则，利用导数求出的最大值即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为，，所以， 令，则， 设，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又，当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 【小问3详解】 由，可得， 设，，则， 因为， 由（2）可知，当时，有唯一零点，满足； 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 ，其中， 所以； 设，则； ， 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $