江苏省海安高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三年级 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 2 1.1+2 (ⅵ为虚数单位)的实部为 号 c月 n号 2.设集合A=[0,a,B=(2,3),若A∩B=0,则a的取值范围是 A.0<a<2 B.0<a≤2 C.0<a<3 D.0<a≤3 3.已知a,b,c是实数，则“a>b”是“ac>bc”的 A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)= 2-2-3,>“(a>0,a+)在0，+四)上单调递增，则a的取值范围为 loga x,x≤a A.(1,3) B.(3,+∞) C.[3,+o) D.(4,+o) 5.已知函数f(x)=e，g()=一x2,若直线1是两个曲线的公切线，则1的方程为 A.ex-y=0 B.ex-y-e=0 C.x-y=0 D.x-y-1=0 6.关于x的方程(x-ax-d=a(a≠0)的实数解的个数为 A.0 B.1 C.2 D.与a的取值有关 7.已知a=e2-1,b=lnl2,c=tan0.2,则 A.b>a>c B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 高三数学（共2页） 第1 8.已知函数f(x)=e-e-2sinx,不等式f(a-x2e)+f2lnx+x)≤0对任意的x∈(0，+o)恒成立，则 a的最大值为 A.2 B.2 C.1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知m>0,n>0,关于x的不等式(2m+)2-(a-小x-1<0的解集为1，》，则 A.2m+n=1 B。”的级小值为 C.上+”的最小值为4 D. 1 +的最小值为3+22 m n m+1n+2 5 10.设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且f(x)为单调函数，f(①>1.若对任意实数x均 有f(g(x)-x)=a(a为常数)，gf(x+2)》+g(f(x)=2x+2,则 A.g(2)=0 B.f(3)<3 C.f(x)-x为周期函数 D. 2f46)>2m+2m k 11.若函数f(x)=a+b在(0，+o)上存在减区间，则a和b的取值可以为 A.a=In1.2,b=5 B.a=In15,b=0.2 C.a=e0.2,b=0.8 D.a=e8,b=0.2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知a=log23,3=4,则ab= 13.已知函数f)-“x+,6eN)的极小值点为2，则因的极大值点为 14.已知函数f()=3-x-3,若洲<n,且f(m)=fm),则m的取值范围为 ,mn的取值 范围为 页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a+3,4,a,成等差数列，且S。=145. (1)求数列{a}的通项公式： (2)数列{bn}满足：bn+b1=an，且b-1=4，求数列{b,}的前n项和Tn· 16.(15分) 已知集合A={xx2-x-2>0},集合B={x2x2+(2k+5)x+5k<0},k∈R (1)求集合A,B; (2)记M=A∩B,且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围. 17.(15分) =b2-a2-c2 在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,Q,已知2 sinsinc。g3 (1)求角B的大小： (2)若c=8,coC=,求边a的长： > (3)求sin2A+sinC的取值范围. 高三数学（共2页） 18.(17分) 已知直线y=2x与椭圆E:x2+2y2=1交于A,B两点（点A在第一象限)，点P(-41,) 在椭圆E的内部，射线AP,BP与椭圆E的另一交点分别为C,D. (1)求点A坐标： (2)求证：直线CD的斜率为定值： (3)求四边形ABCD面积的最大值. 19.(17分) 设f)是定义在(0，+0)的可导函数，且不恒为0，记g,()=fC因(n∈N).若对定义域内的 每一个x,总有g,(x)<0,则称f(x)为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x,总有[8n(x)≥0， 则称f(x)为“n阶不减函数”([gn(x)为函数gn(x)的导函数). (1)判断函数f(x)=-x2+x-1(x>0)是否既是“3阶负函数”又是“3阶不减函数”，并说明 理由； (2)若四=号一士(>0)既是1阶负函数”，又是“1阶不减函数”求实数a的取值 范围； (3)对任给的“2阶不减函数”f(x),如果存在常数c,使得f(x)<c恒成立，试判断f(x)是 否为“2阶负函数”？并说明理由. 第2页 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.ACD 10.BC 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.2 13.3 14.（5,3,（-3,3) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：设{a}的公差为d,因为a+3,4,a,成等差数列， 所以2a=a,+3+a4,即2(a+2d)=a+3+a+3d, 所以d=3. …2分 又S。=145,所以10a+45×3=145, 所以a=1. …4分 故an=3n-2. …6分 (2)由(1)知bn+b1=3n-2,且b=2, 当n为偶数时，Tn=(伯+b2)+(色+b)+…+(b,:+b) 1+7++3m-5)=”+221 2x6=3m- 4…9分 2 2 A 当n为奇数时，T=b+(b2+)+(b+b)+…+(b-1+b) n-n=1-1） =2+4+10+…+(3n-5)=2+n-× )—x4≠22× 2 .9 …13分 16.(15分) 解：(1)因为x2-x-2>0,所以x<-1或x>2,即A={xx<-1或x>2 …2分 又2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)<0, …4分 当>时，B=<x<-} 当k=号时，B=0: 当k<号时，B=<x<- …7分 (2)当k=多时，B=⑦，舍： …8分 当k>时，B=<x<-引： 此时M=B, 仅有整数-3∈M,故-4≤-k<-3,即3<k≤4. …11分 当k<多时，B=3<x<-仅有整数-2eM, 故-2<-k≤3，即-3≤k<2, 综上：实数k的取值范围是-3≤k<2或3<k≤4. …15分 17.(15分) 解：(1)在△ABC中，由正、余弦定理得， sinC b2-a2-c2--2accos B_ccosB_sin Ccos B 2sin A-sin C c2-a2-b2-2abcosC bcosC sin B cosC' …2分 因为sinC≠0，所以sin BcosC=2 sin Acos B-sin Ccos B, 2sin Acos B=sin BcosC+sin Ccos B=sin(B+C)=sin 4, 因为sinA≠0，所以cosB= 因为0<B<元，所以B=号， …5分 ②)因为c0sc2,所以si血C=1-cosc=2W7 7 sin A=sin(B+C)=sin(C+)=sin Ccos+cosCsin 25x1+2x55万 …7分 727214 x56 在AMc中，品C,所以a= 14=10, …9分 2N7 (3)T=sinA+sin2C=(l-cos24)+(l-cos2C) 1-(cs24+602C)1-c0s24+cos( =l-报as24-9sin24)-1-s收4+到 …12分 因为0<A<2牙，所以0<24<暂， 放号<24+号<受，因此-1≤cosA+引 所以子<1≤号 …15分 18.(17分) y=2.x, 解D由性+2y=-号又因为点4在第一象限， 所以x=了故点4坐标为侣，引 …3分 2)设C(6),元=亚，则=4-引，4=-引+ 所以[2-4-》-4了+2[-引+=1， …5分 即(18t2+1）2+362+18t2-1=0, 故182(2+)2+22-1=0，又因为P在椭圆内部，所以1+1>0， 所以(182+1）2+18t2-1=0. …7分 同理，设PD=μBP得(182+1)μ+182-1=0， 相减得(182+1)(1-4)=0，因为182+1≠0， 所以元=4，则AB/CD,所以直线CD的斜率为2. …9分 (3)设直线CD的方程为y=2x+m,根据对称性不妨设m>0, 联立椭圆方程得，9x2+8x+2m2-1=0, 由△=64m2-36(2m2-l刂=36-8m2>0,得0<m2<号 …11分 所以CD=V+4,(+x}-4xx=5.36-8m 9 且AB=25,点A到直线CD的距离d= m=m 5√5 m3+V9-2m2 所以S=(AB+CD)d= …13分 令f(m)=m3+v9-2m), 所以r)-+9-2+mg2m) -2m 39-2m2+9-4m, V9-2m 令f(侧)=0，即39-2m=4m-9,解得㎡=名， 当0<m<号时，f(m)小>0，当受<m<号时，f(m<0, 所以当m2=2头时，面积取最大值36 8 …17分 19.(17分) 图，D因为=+20，所g+山》-0 x 且gw=2x+)r-2+x-32-2+3.-+20, 所以既是“3阶负函数”又是“3阶不减函数”· …4分 (2能圈意，风倒-但-是宁1在@+网上单调运地， 故a=轻+子≥0恒成立，得a≤女， 因为x>0,所以a≤0. 而当a≤0时，名国=号-子-1<0显然在@，+四)恒成立， 所以a≤0， …8分 (3)①先证fx)≤0： 若不存在正实数x,使得g2(x)>0,则g2(x)≤0恒成立。 假设存在正实数x。，使得g2(x)>0,则有f(x)>0, 由题意，当x>0时，g'(x)≥0，可得g,(x)在(0，+o)上单调递增， 当x>x时，f>恒成立，即f>fx恒成立， x2 3 故必存在5>，使得f)>f).x2>m(其中m为任意常数)， 这与f(x)<c恒成立（即f(x)有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当x>0时，g2(x)≤0，即f(x)≤0： …13分 ②再证f(x)=0无解： 假设存在正实数x2,使得f(x2)=0, 则对于任意无>5>0，有，)=0，即有fk)>0, x31 x,2 这与①矛盾，故假设不成立， 所以f(x)=0无解， 综上得f(x)<0,即g(x)<0, 故所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”. …17分