精品解析：江苏省苏州中学校2026-2027学年高三上学期期初检测数学试卷

2026—2027苏高中高三数学期初检测试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义即得. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 函数与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据互为反函数的函数图象的对称性得解. 【详解】因为与互为反函数， 所以函数与的图象关于直线对称， 故选：D 3. 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域求出的范围，即可求解. 【详解】函数的定义域为，则,或, 当时，， 当时，, 综上，函数的值域为 故选：D 4. “函数在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得到，，利用作商法得到，利用对数函数的单调性得到，即可判断. 【详解】， 因为，所以， 又， 所以. 故选：A. 6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解. 【详解】函数的定义域为{x|x±1}， f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A， 当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法： （1）根据奇偶性判断； （2）根据特值判断； （3）根据单调性和趋势判断. 7. 已知x，y为正实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据指、对数运算分析判断. 【详解】对于选项ABC：例如，则，，可得， 则，即，故A错误； 则，即，故B错误； 则，即，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由指数函数、幂函数的性质比较大小判断A，由换底公式及作商法比较大小判断B，应用作差法比较大小判断C，由正余弦函数的性质判断D. 【详解】由，结合对应指数函数、幂函数的单调性知，A对， 且，即，故，则，B错， 由， 所以，C错， 由，则，D对. 故选：AD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式解集即可得，则可判断A；根据韦达定理得，代入计算即可判断BD；代入即可判断C. 【详解】对A，因为关于的不等式的解集为，则，故A正确； 对B，由题得，解得，即为，解得，故B错误； 对C，因为，则将代入不等式得，故C正确； 对D，不等式即为，即，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取特殊值即可判断AB；当时，，两边同时取次方根即可判断C；设，，根据题设，结合等比数列求和公式即可判断D． 【详解】对于A选项，令，可得，， 所以，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 令，则，不满足， 故不是偶函数，故B选项错误； 对于C选项，由B可知，两边同时取次方根得， 可得到，故C选项正确； 对于D选项，不妨设，，则，取，， 所以， 因为，所以， 依次类推，所以，故，两边取对数可得， ， 所以， 所以，故D选项正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令， 因为关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大， 即有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 13. 若正实数满足.则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将化为，然后利用带入可化为，最后妙用“1”可得. 【详解】已知且，整理得...① 而.将①式代入得. 又， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为 故答案为： 14. 以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法表示出、，再根据不等式性质，分情况讨论求解. 【详解】令，，，其中， 所以， 令，因此， 若，则，即， 所以，则， 若，则，即， 所以，则， 又， 综上所述，，当且仅当，且时等号成立， 取，，，满足，且， 此时， 因此的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，. （1）若，求，； （2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，或0 【解析】 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，集合，集合， 则，. 【小问2详解】 当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 16. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【小问1详解】 当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 17. 已知函数． （1）若方程在上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围； （2）令，若对，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）转化为，讨论与，结合二次函数性质列不等式求解即可； （2）换元，结合对勾函数求出的范围，求出的最值，即的最值，，恒成立，转化为，即可求解. 【小问1详解】 方程在上有两个不同的实数根，即方程 在上有两个不相等的实数根，当时，不合题意，舍去； 当时，结合根与系数关系有，解得， 实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意知， 令， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∵函数的对称轴为， ∴函数在上单调递增． 当时，；当时，； 即， ∵对都有恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴的取值范围是． 18. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的性质，构造方程，解方程组得函数解析式； （2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性解不等式即可； （3）由题意转化为，换元后求的最大、最小值，求的最大值，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，，所以， 解得，. 【小问2详解】 由可得定义域为， ，在上单调递减， 因为，所以，解得 所求不等式的解集为. 【小问3详解】 存在满足 即； 令，，在上单调递增，得在上单调递增，所以，； 在上单调递减，所以， 所以， 则，即， 解得或(舍)，综上可得 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由如下： 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2） （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027苏高中高三数学期初检测试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 3. 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. “函数在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是 A. B. C. D. 7. 已知x，y为正实数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 已知是定义在上且恒为正的非常数函数，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 13. 若正实数满足.则的最小值为__________. 14. 以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知，集合，. （1）若，求，； （2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 16. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 17. 已知函数． （1）若方程在上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围； （2）令，若对，恒成立，求实数t的取值范围． 18. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $