26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图象和性质核心知识点，从“列表、描点、连线”作图过程切入，引导学生认识抛物线开口方向、对称轴、顶点等要素，逐步掌握增减性、最值及系数a对图象的影响，为后续学习y=ax²+k等复杂形式搭建阶梯。 资料通过表格系统归纳性质、10类题型分层设计（含基础巩固到思维拓展），培养学生几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维）。典例与变式结合，助学生用数学语言表达函数关系，课中辅助教师突破增减性等难点，课后可让学生通过练习查漏补缺，提升应用能力。

26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标和重难点 1、经历“列表、描点、连线”的作图过程，认识抛物线的基本要素（开口方向、对称轴、顶点），体会数形结合的数学思想。 2、掌握二次函数y=ax2的图象特征与核心性质，能结合图象准确分析其增减性与最值，并理解系数 aa 的正负及绝对值大小对图象形态的影响。 教学重点 1、用描点法规范绘制y=ax2的图象。 2、归纳并掌握y=ax2的开口方向、对称轴、顶点、增减性及最值等核心性质。 教学难点 1、结合图象准确理解二次函数的增减性（需以对称轴为界，分左右两侧讨论）。 2、理解并区分系数 aa 的正负与绝对值大小对抛物线开口方向及开口宽窄的不同影响。 教材◆核心知识 知识点1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 由函数y=ax2的图象总结性质如下： 当 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （0，0） 对称轴 y轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 y轴 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数值有最 小 值 这个值是 0 。 函数值有最 大 值 这个值是 0 。 知识点2.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 核心题型◆归纳 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 题型07 画二次函数图象 题型08 二次函数增减性与含参问题 题型09 二次函数的最值问题 题型10 二次函数对称问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 【典例1】下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 【变式1】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 【典例1】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【变式1】在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 【典例1】若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， ∴， ∴， 观察发现只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式1】抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】理解二次函数解析式，决定抛物线的形状，开口向上，开口向下；由题意可得，进而由开口方向确定具体值． 【详解】解：由题意知，或， ∵开口方向相反， ∴． 故选：D 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 【典例1】若点在函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式1】若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，关键是二次函数的对称轴的确定； 函数的对称轴为轴，点关于轴的对称点即为点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵的对称轴是：直线， ∵点在函数的图象上， ∴关于直线对称， ∴， 故答案为：． 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 【典例1】已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 【变式1】点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】先把代入二次函数图象图象上，求出，再将化简，然后代入即可求出结论． 【详解】∵点在函数图象上， ∴， 由， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 【典例1】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 【变式1】点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵二次函数为 ∴对称轴为轴，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵ ∴ 故选：C． 题型07 画二次函数图象 【典例1】用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)0，减少；0，增大 【分析】（1）计算出y的值，即可完成填表； （2）描点、连线画出图象即可； （2）观察图象即可得答案． 【详解】（1）解：如表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … （2）解：描点、连线，函数的图象如图； （3）解：观察图象得， 当时，y随x的增大而减少； 当时，y随x的增大而增大． 故答案为：0，减少；0，增大． 【点睛】此题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象． 【变式1】已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 【答案】(1) (2) (3)①图象开口向下，②对称轴为y轴，③顶点坐标为（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决问题的关键． （1）将点代入求解即可． （2）将代入（1）中的解析式求值即可． （3）根据开口方向，对称轴，顶点等分析写出性质即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 将点代入， 得， 解得． （2）由（1）可知，， ， 当时，． （3）图象如图所示， 则抛物线的性质有，①图象开口向下， ②对称轴为y轴， ③顶点坐标为．（答案不唯一） 题型08 二次函数增减性与含参问题 【典例1】已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，且当时，随增大而增大， ∴函数图像开口向上， ∴二次项系数， 故选：A． 【变式1】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 题型09 二次函数的最值问题 【典例1】对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 【变式1】当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 题型10 二次函数对称问题 【典例1】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 【变式1】若点在抛物线上，则点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是______________． 【答案】 【分析】先将点代入抛物线的解析式可得的值，由此即可得点的坐标，再根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相同即可得出答案． 【详解】解：将点代入抛物线得：， 则点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求二次函数的函数值、点坐标与轴对称变化，熟练掌握求二次函数的函数值的方法是解题关键． 1．关于二次函数的说法错误的是（   ） A．图象经过 B．当时，y随x的增大而减小 C．抛物线开口向下 D．当时，y有最小值为0 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键． 根据、当时，可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的判断C选项，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D选项． 【详解】解：A、当时，，图象经过，故在抛物线上，选项A说法正确，不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，选项B说法正确，不符合题意； C、二次函数中，，图象开口向下，选项C说法正确，不符合题意， D、二次函数图象开口向下，有最大值，选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 2．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 3．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 4．函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 5．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 6．已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：（1）①，图象开口向下；②，图象开口向上；③，图象开口向上；④，图象开口向下；⑤，图象开口向上； （2），图象开口向下且开口最大的是①； （3）①，图象开口向下，故图象有最高点；④，图象开口向下，故图象有最高点． 7．在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 8．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象． 【答案】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是， ，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； ，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； 根据表格描点绘图： 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据函数的图象及性质解答． 【详解】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是， ，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； ，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； 二次函数的与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … … 0 … 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握各类型的二次函数的图象及性质是解题的关键． 9．填写下表： 图象       开口方向 　 　 　 　 对称性 　 　 　 　 顶点与最高、最低点 　 　 　 　 【答案】向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质结合图象填空即可． 【详解】解：由图象可得： 当时，开口向上，图象关于轴对称，顶点是最低点； 当时，开口向下，图象关于轴对称，顶点是最高点； 故答案为：两列依次填写：向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，当时，图象开口向上，关于轴对称，顶点是最低点；当时，图象开口向下，关于轴对称，顶点是最高点． 10．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 11．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 12．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 13．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 14．若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 【答案】 < 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：二次函数中，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ， ． 15．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 16．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】 （1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】（1）略 （2）略 17．二次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 18．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】二次函数的图象关于y轴对称，利用二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：根据题意可得二次函数的图象关于y轴对称， ∵图象过点， ∴点关于y轴的对称点也在函数图象上． 19．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 20．二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线开口向上可得k+1＞0，解出k的范围即可. 【详解】由题意得：k+1＞0，解得k＞﹣1. 故答案为k＞﹣1. 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系. 21．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为___________．    【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据抛物线的开口方向和大小解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象，掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键． 22．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】2π 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π. 23．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____. 【答案】2 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【详解】∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点， ∴2x2=2，x=±1， ∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2）， ∴S△OAB=×2×2=2， 故答案为2． 24．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，那么n的取值范围为______． 【答案】(1)； (2)≤y≤0 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当x=2时，y=4，当x=1时，y=1并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， 如图所示： 当x=2时，， 当x=1时，， ∴当2≤x＜1时，≤y≤0， 故答案为：≤y≤0． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 25．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【知识点】y=ax²的图象和性质、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标和重难点 1、经历“列表、描点、连线”的作图过程，认识抛物线的基本要素（开口方向、对称轴、顶点），体会数形结合的数学思想。 2、掌握二次函数y=ax2的图象特征与核心性质，能结合图象准确分析其增减性与最值，并理解系数 aa 的正负及绝对值大小对图象形态的影响。 教学重点 1、用描点法规范绘制y=ax2的图象。 2、归纳并掌握y=ax2的开口方向、对称轴、顶点、增减性及最值等核心性质。 教学难点 1、结合图象准确理解二次函数的增减性（需以对称轴为界，分左右两侧讨论）。 2、理解并区分系数 aa 的正负与绝对值大小对抛物线开口方向及开口宽窄的不同影响。 教材◆核心知识 知识点1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 由函数y=ax2的图象总结性质如下： 当 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （0，0） 对称轴 y轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 y轴 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数值有最 小 值 这个值是 0 。 函数值有最 大 值 这个值是 0 。 知识点2.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 核心题型◆归纳 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 题型07 画二次函数图象 题型08 二次函数增减性与含参问题 题型09 二次函数的最值问题 题型10 二次函数对称问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 【典例1】下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【变式1】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 【典例1】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【变式1】在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C．D． 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 【典例1】若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 【典例1】若点在函数的图象上，则________． 【变式1】若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 【典例1】已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【变式1】点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 【典例1】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 题型07 画二次函数图象 【典例1】用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 【变式1】已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 题型08 二次函数增减性与含参问题 【典例1】已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型09 二次函数的最值问题 【典例1】对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【变式1】当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 题型10 二次函数对称问题 【典例1】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】若点在抛物线上，则点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是______________． 1．关于二次函数的说法错误的是（   ） A．图象经过 B．当时，y随x的增大而减小 C．抛物线开口向下 D．当时，y有最小值为0 2．关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 3．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．函数图象的开口 _____． 5．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 6．已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 7．在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 8．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象． 9．填写下表： 图象       开口方向 　 　 　 　 对称性 　 　 　 　 顶点与最高、最低点 　 　 　 　 10．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 11．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 12．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 14．若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 15．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 16．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 17．二次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 18．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 19．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A．B． C． D． 20．二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 21．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为___________．    22．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 23．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____. 24．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，那么n的取值范围为______． 25．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $