26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过复习一次函数的描点法和图象特点，引导学生猜想二次函数图象形状，建立新旧知识联系，搭建后续探究的学习支架。 该资料亮点在于采用从特殊到一般的探究思路，结合信息技术动态演示a的变化，帮助学生直观理解|a|对开口宽窄的影响，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力。特色作业让学生自主画图总结a的作用，培养应用意识，既提升学生探究能力，又为教师提供分层教学资源。

第二十六章 二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质   一、教材分析 本节课选自人教版九年级上册《二次函数 y=ax² 的图象与性质》，是在学生学习二次函数定义之后，正式研究二次函数图象的起始课时.既是对一次函数图象“描点画图、数形结合”研究方法的延续，也为后面学习y=ax2+bx+c打下基础；抛物线的开口、对称轴、增减性，是中考核心考点，渗透数形结合思想，完善学生函数研究体系，在本册教材中起到承前启后的关键作用. 教材遵循由特殊到一般：先从最简单y=x2入手，用描点法画出图象；接着对比y=x2，y=2x2，得到a>0时的性质；再类比探究a<0时，y=-x2，y=x2，y=-2x2图象；最后归纳总结：|a|决定开口宽窄，a正负决定开口方向，再总结增减变化规律，由画图--观察--猜想--归纳层层递进.   二、学情分析 已有基础：九年级学生已经学习一次函数，掌握描点法画函数图象，知道研究函数要观察图象、分析增减；也会计算代数式的值，能够代入求出对应点坐标，具备列表描点作图的基本操作能力；初步接触数形结合思想，能够根据图象粗略观察函数上升、下降趋势. 存在困难：学生很难把a的正负、绝对值大小和抛物线开口宽窄建立对应联系；容易混淆a>0和a<0两种情况下的增减区间；只会机械画图，不会透过图象理解背后代数本质，数形结合思想理解浅显；容易错误认为a越大开口越小，忽略负数情况. 认知特点：九年级学生逻辑推理能力快速发展，好奇心强，喜欢动手观察，但抽象概括能力不足；习惯具象思考，对于从图象提炼文字规律难度较大；借助图象、动态演示更容易理解知识，自主归纳结论还需要教师引导.   三、教学目标 1.掌握y=ax2形式函数的开口方向、对称轴、顶点；理解∣a∣决定开口宽窄，熟记增减变化规律. 2.辨析a>0、a<0时函数的增减性；能够结合图象解释参数a对图象带来的改变. 3.经历列表--描点--观察--归纳的全过程，学会类比研究函数，深化数形结合的思想方法. 4.体会从特殊到一般的探究思路，养成严谨思考的习惯，感受数学规律简洁之美.   四、教学重难点 重点：掌握y=ax2形式函数的开口方向、对称轴、顶点；理解∣a∣决定开口宽窄，熟记增减变化规律. 难点：辨析a>0、a<0时函数的增减性；能够结合图象解释参数a对图象带来的改变.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：如何画一个函数图象呢？ 答：列表、描点、连线. 问题2：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 . 特别地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象 . 答：一条经过(0，b)的直线；过原点的直线 想一想：二次函数的图象会是什么样的图形呢? 这节课我们来学习最简单的二次函数 y=ax² 的图象. 师生活动：教师出示复习问题，学生独立作答，回顾画函数图象步骤以及一次函数图象特点；教师顺势抛出疑问，引导学生猜想二次函数图象形状，引出本节课 y=ax² 的学习内容. 设计意图：温习旧知，巩固列表--描点--连线的作图方法和一次函数知识，建立新旧知识联系；设置猜想问题，激发学生求知欲，自然导入新课. · 探究新知 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 问题3：用描点法画出二次函数 y=x² 的图象. 师生活动：教师指导学生按列表、描点、连线画出 y=x² 图象，依次提出问题；学生动手画图，观察图象，结合坐标分析，得出抛物线、对称轴、顶点的概念. 1.列表 解析式 y = x2 中的自变量可以是任何数，取点时一般以0为中心取几组对称点，便于计算. 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出点(x，y)； 3.连线 用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. 问题4：观察y=x2的图象，它的形状像什么？ 答：二次函数 y=x² 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数 y=ax²+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax²+bx+c. 这条曲线叫做抛物线y=x² . 问题5：y=x2的图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么? 答：图象是轴对称图形. 在抛物线 y=x2 上任取一点(m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点(-m，m2)也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称． 问题6：抛物线y=x2和它的对称轴交于哪一点？这个点在整个抛物线上有什么特殊的位置？ 答：抛物线y=x2与其对称轴交点是(0，0)，叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点，所有点的y值都比0大. 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或者最高点. 设计意图：让学生动手实践巩固描点法；借助生活实例认识抛物线；通过推导理解对称轴和顶点，培养观察推理能力，落实新知学习. 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 问题7：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象. 师生活动：教师布置画图任务，学生列表描点画出图象，对比图象异同；教师借助多媒体动态演示，学生观察a的变化，合作归纳a>0时y=ax²的图象性质. 答：分别列表，再画出它们的图象 问题8：函数y=x2，y=2x2的图象与函数y=x2的图象(图中的虚线图形)相比，有什么共同点和不同点? 答：共同点：开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小． 不同点：开口大小不同， x2的系数越大，抛物线的开口越小. 问题9：利用信息技术工具画二次函数y=ax2(a>0)的图象，改变a的值，函数y=ax2的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax2的图象有什么变化? 观察动态演示可以发现： 当a>0时，a越大，抛物线开口越窄；a越小，开口越宽； 抛物线开口向上，顶点为原点，对称轴是y轴. 总结：二次函数 y＝ax2(a>0) 的图象与性质： 一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 设计意图：学生动手画图加深感知；利用信息技术直观展示变化规律，引导自主归纳结论，锻炼观察概括能力，渗透数形结合思想. 问题10：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么相同点和不同点. 师生活动：学生动手画出y=-x2，y=x2，y=-2x2的函数图象，自主对比图象异同；教师利用信息技术动态演示a取值变化，师生共同完善表格，归纳a<0时y＝ax2的图象性质. 答：分别列表，再画出它们的图象. 相同点：抛物线的开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大． 不同点：开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小． 问题11：利用信息技术工具画二次函数y=ax2(a<0)的图象，改变a的值，函数y=ax2的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax2的图象有什么变化? 观察动态演示可以发现： 当a<0时，a越小，抛物线y=ax2的开口越窄；a越大，抛物线开口越宽. 顶点都是原点，对称轴都是y轴. 总结：二次函数 y＝ax2(a＜0) 的图象与性质： 一般地，当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 设计意图：通过动手画图培养实操能力；动态演示直观化解难点，对比a>0和a<0的情况，完善知识体系，深化数形结合思想. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道例题，先引导学生读题审题；学生独立思考解题，之后师生一起分析解题思路，梳理利用y＝ax2图象性质解题的方法，订正答案，总结做题要点. 例1 若(x1，y2)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0) 图象上两个不同的点，则(|x1|-|x2|)(y1-y2) 为( )   A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 分析：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当|x1|≥|x2|时，y1≥y2，当|x1|<|x2|时，y1<y2， ∴|x1|-|x2|与y1-y2正负性一致或同时0， ∴(|x1|-|x2|)(y1-y2)≥0 . 故选：D． 例2 已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数，求： (1) 满足条件的k的值； (2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)当k为何值时，函数有最小值?最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 解：(1)函数y=(k-2) 是关于x的二次函数， ∴k满足k2-4k+5=2，且k-2≠0, 解得：k1=1，k2=3. (2)∵抛物线有最高点， ∴图象开口向下，即k-2<0，∴k<2. 结合(1)所得，∴k=1. ∴最高点为(0，0)，当x<0时，y随x的增大而增大. (3)∵函数有最小值， ∴图象开口向上，即k-2>0，∴k>2 结合(1)所得，∴k=3.. ∴最小值为0，当x<0时，y随x的增大而减小 设计意图：巩固本节课所学的二次函数图象和性质；训练学生运用知识解决问题的能力，加深对a的作用、增减性、最值的理解，完善知识应用. · 课堂练习 【教材练习】 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： (1) y=3x2； (2) y=--3x2. 解：分别列表，再画出它们的图象. 2.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： (1)y=4x2； (2) y=-4x2； (3) y=x2； (4)y=x2. 解：(1)抛物线y=4x2的开口向上、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0). 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. (2)抛物线y=-4x2的开口向下、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0). 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. (3)抛物线y=x2的开口向上、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0). 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. (4)抛物线y=x2的开口向下、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0). 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 师生活动：教师出示教材练习题，学生独立完成画图与填空练习；之后学生作答展示，教师针对答案点评纠错，引导学生再次总结a决定开口方向和增减性的规律. 设计意图：通过基础习题巩固列表描点作图方法；熟练掌握y＝ax2的开口、对称轴、顶点和增减性，夯实基础知识，查漏补缺. 【限时训练】 1.二次函数的图象的顶点坐标是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  2.有下列二次函数：；；将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  3.关于抛物线，下列说法正确的有(    ) ①与抛物线顶点相同，开口方向相反； ②当时，随的增大而减小 ③当时， ④若，是该抛物线上两点，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：， ①抛物线开口向下，顶点是原点，抛物线开口向上，顶点是原点，故①正确； ②对称轴为，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，故③错误； ④若、是该抛物线上两点，则，故④正确． 故选：C 4.如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：当抛物线经过时，， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故选：． 5.函数的图象与直线交于点． 求和的值； 求抛物线的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； 二次函数中的随的增大而增大时，求的取值范围； 求由抛物线与直线的两个交点及抛物线顶点构成的三角形的面积． 【答案】解：把代入得，解得， 所以交点坐标为， 把代入得， 即． 由知， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为轴，顶点坐标为． 二次函数，当时，随的增大而增大， 即二次函数中的随的增大而增大时，的取值范围为． 如图，由题意可列方程组 解得或 所以点坐标为，点坐标为， 所以．   师生活动：教师出示分层练习题，学生自主完成作答；学生分享解题思路，教师针对易错点进行讲解点拨，梳理y=ax2的顶点、开口、增减性，规范答题步骤. 设计意图：由基础题过渡到综合题，分层训练；巩固本节课核心知识点，锻炼数形结合能力，提升学生分析问题、综合解题的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.二次函数y=ax2的图象有哪些特征？ 3.二次函数y=ax2的图象有哪些性质？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：探究a的取值对抛物线y=ax2的影响 任务：1.选取a=，a=5，a= ，a=-4四组数值，列表求出关键点. 2.在同一坐标系中画出4条抛物线，对比观察开口宽窄、上升下降区间. 3.用自己的话总结：正数a、负数a以及∣a∣大小带来图象变化. 要求：1.作图规范，书写思考过程. 2.结合生活实例说一说抛物线的实际应用，语言简洁通顺. 学科网（北京）股份有限公司 $