第二章 反比例函数 周练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初三数学周测聚焦反比例函数，通过科学密度计算（第3题）、物理杠杆原理（第15题）等跨学科情境，结合数形结合综合题，考查抽象能力与模型意识，适配初三第二周学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|反比例函数图像与性质、跨学科应用|第3题融合科学密度公式，考查数学建模| |填空题|8题|实际应用（小孔成像、杠杆）|第11题以小孔成像为背景，强化量感| |解答题|4题|一次函数与反比例函数综合、动态问题|第19题动态平行四边形探究，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年第一学期初三数学第二周练习 一．选择题（共8小题） 1．已知△ABC的面积等于2，设这个三角形的一边长为x，此边上的高为y，那么y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数解析式为 ； B．当R＝6Ω时，I＝4A； C．当I≤10A时，R≥3.6Ω； D．当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小。 第2题第3题 3．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度ρ满足：ρV总＝ρ1V1+ρ2V2（其中ρ1，ρ2为两种液体的密度，V1，V2为两种液体的体积，为方便计算，假定V总＝V1+V2）． 【问题解决】图1中的液体由500cm3的水与300cm3的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为2cm；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为2.6cm．已知水的密度为1g/cm3，则溶液甲的密度为（　　） A．1.2g/cm3 B．1.5g/cm3 C．1.8g/cm3 D．2.1g/cm3 4．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线交于A（m，n），B（﹣m，﹣n）两点（m＜0），下列结论中正确的是（　　） A．mn＞0； B．若m+n＞0，则b＞0； C．an+bm＜0； D．若，则x≤m。 5．如图，菱形ABCD的顶点C，D分别在x轴，y轴上，BD∥x轴，反比例函数y（x＜0）的图象过菱形的对称中心E，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（　　） A．y B．y C．y D．y 6．已知：一次函数y1＝k1x+b与反比例函数在一、三象限的交点为（m1，n1）和（m2，n2）且（m1＜m2），在下列结论中正确的是（　　） A．当x＜m1时，y1＞y2 B．当x＞m1时，﹣y1＞y2 C．当x＜m2时，y1＜y2 D．当x＞m2时，y1＞y2 7．一次函数y1＝x（x＞0）与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．两个函数图象在第一象限的交点坐标为（2，2） B．直线x＝1分别与反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点，则线段AB的长为3 C．由图象可知，当x＞1时，y2＞y1 D．当x＞0时，y1的值随着x值的增大而增大，y2的值随着x值的增大而减小 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的点A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，则PB﹣PC的最大值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 第5题第7题第8题 二．填空题（共8小题） 9．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　 　 ． 10．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C，则△ABC的面积为　 　 ． 第10题第12题第13题 11．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm．若要使像高为6cm，则小孔到物体距离为　 　 cm． 12．如图，已知正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）与反比例函数图象的交点坐标分别为A（2，a）、B（m，n），则m﹣n的值为　 　 ． 13．如图，直线y＝x+b与反比例函数的图象交于点A（1，m），与反比例函数的图象的交点B的横坐标为﹣2，则k的值为　 　 ． 14．若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（3x1+x2）（2y1﹣y2）的值为　 　 ． 15．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L值至少为 　 　 cm． 第15题第16题 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于A（﹣3，1），B（t，3）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，则△AOB的面积为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 17．已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C，过点A的直线与反比例函数的图象交于点B． （1）求此反比例函数的解析式； （2）若点B的纵坐标为1，求直线BC的解析式； （3）求△ACB的面积． 19．如图，已知直线l：y＝mx﹣m（m＞0）交反比例函数图象于A、B两点（点A在点B右侧），交x轴、y轴于点C、点D．点E为反比例函数第一象限图象上一点．若D在y轴负半轴，E在直线l上方，OD＝3，． （1）求直线l和反比例函数解析式； （2）若点E的横坐标为2，求△ABE面积； （3）点P为直线l上的一动点，在反比例函数图象上存在一点Q．当以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 20．如图，一次函数y＝mx﹣2m+4（m≠0）与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，连接OA，AC，OA与BC交于点D． （1）求k的值； （2）求△ACD面积的最大值，并求出此时m的值． 7．【解答】解：A、当x＝2时，y1＝2（x＞0），y22，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为（2，2），正确，不符合题意；B、当x＝1时，y1＝1，y2＝4，则AB＝4﹣1＝3，正确，不符合题意；C、当0＜x＜2时，y2＞y1；当x＞2时，y2＜y1，故原说法错误，符合题意； D、当x＞0时，y1的值随着x值的增大而增大，y2的值随着x值的增大而减小，正确，不符合题意．故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，能直接利用函数图象求解是解题的关键． 8．【解答】解：将点A坐标代入y2得，m＝3×5＝15， 所以反比例函数解析式为y2．将点B坐标代入y2得，a＝﹣5， 所以点B坐标为（﹣5，﹣3）．由点A和点B坐标得， 直线AB的函数解析式为y1＝x+2．令直线AB与y轴的交点为P′， 由x+2＝0得，x＝﹣2，所以点C坐标为（﹣2，0）． 当x＝0时，y1＝2，所以点P′坐标为（0，2）． 因为点P在y轴上， 所以PB﹣PC≤BC且当点P在点P′处时取得最大值． 因为BC， 所以PB﹣PC的最大值为．故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：∵函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b）， ∴ab＝1，b﹣a＝﹣1，∴1，故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解此题的关键是求出ab和b﹣a的值，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 10．【解答】解： 正比例函数y＝kx的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴S△AOD＝2，S△BOE， ∴S△AOD：S△BOE＝4：1， △AOD∽△BOE， ∴AD：OE＝2：1， ∴AD：AC＝2：3， 显然△AOD∽△ABC， ∴S△AOD：S△ABC＝4：9， ∴△ABC的面积为．故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义和反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练运用相关知识点求解． 11．【解答】解：∵像高ycm与小孔到物体的距离xcm成反比例函数关系， ∴设y与x的反比例函数解析式为，∵当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm，∴，解得k＝180，∴反比例函数解析式为，∴当y＝6时，， 解得x＝30，即小孔到物体的距离为30cm．故答案为：30． 【点评】考查反比例函数的应用，根据题意得出关于x、y的函数关系式是解题的关键． 12．【解答】解：由条件可得：，∴A（2，﹣3）， ∴m＝1+2＝3，∴A（1，3），∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为； （2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，把y＝1代入，则x＝3，∴B（3，1）， 把y＝0代入y＝x+2得x＝﹣2，∴C（﹣2，0）； 设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得， ∴直线BC的解析式为； （3）如图，作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1， ∵B（3，1），直线AC的解析式为y＝x+2，A（1，3），∴1＝x+2，解得x＝﹣1， ∴D（﹣1，1），∴BD＝3+1＝4，∴． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 19．【解答】解：（1）∵OD＝3，∴D（0，﹣3）， 把D（0，﹣3）代入y＝mx﹣m，得﹣3＝﹣m，∴m＝3，∴y＝3x﹣3， 把y＝0代入y＝3x﹣3，得0＝3x﹣3，∴x＝1，∴C（1，0），∴OC＝1， 过点A作AH⊥x轴于H，∵∠ACH＝∠DCO，∠AHC＝∠DOC＝90°， ∴△AHC∽△DOC，∴，∴CH＝2OC＝2，AH＝2OD＝6， ∴OH＝OC+CH＝1+2＝3，∵点A在第一象限，∴A（3，6）， ∵点A在反比例函数的图象上，∴k＝3×6＝18，∴反比例函数解析式为； 图1图2 解：（2）过点E作EF∥y轴，交直线AB于F，可知点F的横坐标为2， 将x＝2分别代入y＝3x﹣3，得：yF＝3×2﹣3＝3，，即EF＝9﹣3＝6， 由，解得，，∴B（﹣2，﹣9），A（3，6）， ∴； （3）当OD是边时，设P（n，3n﹣3），则，则， ∵PQ＝OD，∴，当时，解得或， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $