2.2.1有理数的乘法（第1课时有理数的乘法法则）课时同步练习- 2026‑2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕有理数乘法，分层设计从基础概念到综合应用，覆盖运算能力、推理意识与应用意识，梯度清晰且适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|乘法法则、倒数、相反数|直接考查概念辨析（如选择1-5）和基础运算（解答17），强化符号意识| |提升层|数轴应用、实际情境|结合生活情境（验光度数，选择8）和新定义运算（解答18），发展应用意识| |拓展层|综合推理、规律探究|通过多条件问题（解答20-21）和规律观察（解答23-24），培养创新意识与推理能力|

第二章 有 理 数 的 运 算 2.2.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法 一、选择题 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 3．计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需依据有理数乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 5．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 6．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，， 当时，， ， 是正数． 7．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，，， 只有C选项正确 8．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的记录转换为实际度数后，筛选出度数超过200度的选项即可. 【详解】解：∵根据题意，验光记录中D前数字的绝对值乘100就是实际近视度数，且近视超过200度需要持续佩戴眼镜， ∴A、对应近视度数为度，，不需要佩戴， B、对应近视度数为度，，不需要佩戴， C、对应近视度数为度，，不需要佩戴， D、对应近视度数为度，，需要佩戴． 9．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 10．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 二、填空题 11． 的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 12．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 若从中取出2张卡片，乘积的最大值是________． 【答案】 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可． 【详解】解：若从中取出2张卡片， 使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：． 13．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，可得绝对值不大于的所有整数中包含，结合有理数乘法法则即可得到结果． 【详解】解：由绝对值的定义可知，绝对值不大于的所有整数中包含因数0， 根据有理数乘法法则，任何数与相乘的积都为， 因此绝对值不大于的所有整数的积等于． 14．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 15．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为________． 【答案】 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 16．已知，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质得到、的所有可能取值，再结合和确定、的具体值，最后计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴与同号， 即有两种情况：或 ∵，当时，，不满足条件，舍去； 当时，，满足条件 ∴． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 18．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【答案】（1）﹣48； （2）﹣576． 【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【详解】解：（1）3*（﹣4）， ＝4×3×（﹣4）， ＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）， ＝（﹣2）*（4×6×3）， ＝（﹣2）*（72）， ＝4×（﹣2）×（72）， ＝﹣576． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 19．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 20．已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值． 【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果． 【详解】解：∵|x|＝2，|y|＝5， ∴x＝±2，y＝±5， ∵xy＜0， ∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5， 当x＝2，y＝﹣5时， 2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5） ＝4+15 ＝19， 当x＝﹣2，y＝5时， 2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5 ＝﹣4﹣15 ＝﹣19， 综上所述，2x﹣3y的值为19或﹣19． 【点睛】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键． 21．已知，，且，求ab的值． 【答案】40或﹣40． 【分析】先根据绝对值的性质求出、的值，然后根据进一步确定a、b的值，从而求出ab的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，ab的值为40或﹣40． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，得出，或，是解题的关键． 22．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【答案】2或﹣6． 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案． 【详解】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 【点睛】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键． 23．观察下列各式： （）×（﹣2）2， （）×（﹣3）3， （）×（﹣4）4， … 若（）×（﹣10）10（a，b都为正整数）满足上面的规律． （1）试确定a，b的值； （2）求（a﹣b）（b﹣a）的值． 【答案】（1）a＝9，b＝10． （2）﹣1． 【分析】（1）根据所给式子，可得（）×[﹣（n+1）]（n+1），即可确定a，b的值； （2）代入a，b的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据所给式子，可得规律：（）×[﹣（n+1）]（n+1）， 若（）×（﹣10）10（a，b都为正整数）， 则b＝10，a＝9． （2）（a﹣b）（b﹣a）＝（9﹣10）×（10﹣9）＝﹣1×1＝﹣1． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是根据所给式子发现规律． 24．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则。在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考【探索】 （1）若ab=6，则a+b的值为 .①正数，②负数，③0.你认为结果可能是(填序号) （2）若a+b=﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 ． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab<0，试比较a+b与0的大小． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 设，则， 若，则， 若，则， 若，则。 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 【分析】 (1) 同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； (2) 最大，需同号，而知均为负整数，分类讨论即可得答案； (3) 异号，分类讨论与的大小． 【详解】 解：(1) ， 同号， 同为正数时，； 同为负数时，； 故答案为：． (2) 最大 同号， ， 同为负数， 为整数， 分别为和，此时；或分别为和，此时， 故答案为：． (3) ， 异号， 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 【点睛】本题考查有理数加法、乘法的法则，解题的关键是分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有 理 数 的 运 算 2.2.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法 一、选择题 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 2．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 4．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 5．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 7．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 二、填空题 11． 的倒数是______，______，的相反数是______． 12．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 若从中取出2张卡片，乘积的最大值是________． 13．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 14．若规定，则________． 15．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为________． 16．已知，且，则的值为___________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 18．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 19．2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 20．已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值． 21．已知，，且，求ab的值． 22．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 23．观察下列各式： （）×（﹣2）2， （）×（﹣3）3， （）×（﹣4）4， … 若（）×（﹣10）10（a，b都为正整数）满足上面的规律． （1）试确定a，b的值； （2）求（a﹣b）（b﹣a）的值． 24．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则。在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考【探索】 （1）若ab=6，则a+b的值为 .①正数，②负数，③0.你认为结果可能是(填序号) （2）若a+b=﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 ． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab<0，试比较a+b与0的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $