第10讲 有理数的除法讲义（11大题型共72题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，前承有理数乘法构建互逆关系，系统梳理除法法则（除以倒数、符号与绝对值判定），乘除混合运算转化技巧，以及四则混合运算顺序，形成从基础到综合的学习支架。 资料通过实际应用（温度变化、行程问题）、数轴综合（翻折、动点）、新定义与规律探究等多样题型，结合错误辨析提升运算能力，借助数轴直观培养几何直观，典例与变式辅助教学，综合检测及中考真题助力课后查漏补缺。

第10讲 有理数的除法 学习目标 1、理解有理数除法和乘法的互逆关系. 2、掌握有理数的除法法则. 3、会进行有理数除法运算及四则混合运算. 4、会用有理数的除法运算解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用能力 知识结构 知识点一 有理数的除法 1、 有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即” 2、有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 3、有理数就是形如 (,是整数, )的数。 注意：(1)若两个数能整除，可选择法则2;若两个数不能整除，可选择法则1。 (2)两个数相除，若结果为1,则这两个数相等;两个数相除，若结果为-1,则这两个数互为相反数。 提醒: 法则中的“一不变”和“两变” 一不变：被除数和除数的位置固定不变;两变：除号变乘号，除数变为它的倒数。 【基础练习1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【答案】，0，， 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； 根据图中左侧所给数字进行除以得出右侧数字即可． 【详解】解：， ， ， ． 综上所述，答案为：，0，，． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 有理数的乘除混合运算 知识点二 1、运算顺序 有括号先算括号里面的,没有括号时,根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算。 2、运算方法 首先把除法运算转化为乘法运算,然后按照乘法法则或运算律进行计算。 注意：(1)结果的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0” (2)结果能化简的要化简。 提醒:(1)把除法运算转化为乘法运算后，可先观察算式，看是否能运用乘法运算律来简便计算。 (2)当乘除混合运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数，有带分数的将带分数统一化成假分数，再进行运算。 (3)乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行。 【基础练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】（1）； （2）. 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是小明计算的过程： 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)小明的解题过程从第___________步开始出现错误， (2)请写出正确的解题过程． 【答案】 (1)一 (2) 36 【分析】本题考查了有理数的乘除法混合运算，解决此题的关键是要注意同级运算是从左到右，一步一步计算． （1）运算过程中应该先把除法变乘法，再进行下一步计算，但是题目未按照运算顺序计算； （2）按照有理数乘除法的混合运算，先判定符号，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而得到结果即可． 【详解】（1）解：有理数的乘除法混合运算，应按照从左到右的顺序进行，故第一步就出错了． （2）解： 有理数的四则混合运算 知识点三 有理数的四则混合运算的顺序： 先算乘除,后算加减,如果有括号，先算括号内的部分.同一级运算按照从左到右的顺序进行。 注意：在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号。 提醒：在有理数的四则混合运算中，要时刻注意符号问题。 【基础练习3-1】 5．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： 【答案】10 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．先利用有理数乘法的分配律计算乘法、将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）计算：．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】 (1)二，运算顺序错误 (2)540 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则进行分析即可； （2）根据有理数四则混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， 解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行； 故答案为：二；运算顺序错误． （2）解：原式 题型1 有理数除法法则辨析 【典例】（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）下列说法中，正确的是  (    ) A．两数相除，商一定小于被除数 B．两数相乘，积一定大于每个因数 C．一个数除以它的倒数，其商就等于这个数的平方 D．一个数乘它的相反数，其积一定是一个负数 【答案】C 【分析】根据倒数的定义、相反数的意义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、两个数相除，商不一定小于被除数，例如，2÷=4，该选项错误； B、两数相乘，积不一定大于每一个乘数，例如（-3）×2=-6，该选项错误； C、一个数和它的倒数的商等于这个数的平方，该选项正确； D、一个数乘它的相反数，其积不一定是一个负数，例如0×0=0，该选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，乘方，解决本题的关键是熟记有理数的运算法则． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如果两个数的商为正数，那么下列结论正确的是（   ） A．这两个数的和为正数 B．这两个数的差为正数 C．这两个数的积为正数 D．这两个数都为正数 【答案】C 【分析】本题考查了两个有理数的加减乘除运算法则，根据题意得到两个数的商为正数，则这两个数同为正数或同为负数，再根据两个有理数的加减乘除运算法则逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：如果两个数的商为正数，则这两个数同为正数或同为负数﹒ A. 当这两个数同为负数时，和为负数，故原选项错误，不合题意； B. 当被减数小于减数时，如和的商为正数，但它们的差为负数，故原选项错误，不合题意； C. 两数相乘，同号得正，异号得负，故原选项正确，符合题意； D. 这两个数可能都是负数，故原选项错误，不合题意﹒ 故选：C 【变式练习1-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 先把两条法则记准（法则1和法则2），辨析题往往就是针对这两条法则中的某个关键词（如“不等于0”“同号”“绝对值”）设置陷阱。 题型2 有理数的除法运算 【典例】（2026·江苏徐州·模拟预测）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 【变式练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简：___；___；___． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据有理数的除法法则，同号得正，异号得负，并化简绝对值的商． 【详解】解：， ， ， 故答案为 ：①；②；③． 【变式练习2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1)5 (2)48 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，按照从左到右的顺序依次进行计算． （1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． (1)运用法则1的思路:先转化为乘法运算，再按照乘法法则计算； (2)运用法则2的思路：先确定商的符号，再求商的绝对值. 题型3 有理数除法的应用 【典例】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，下午他从A站出发后行程依次为（单位：，记向东为“”，向西为“”）：． (1)此时他在站的什么方向？距离站多远？ (2)此时他共行走了多少？ (3)假设巡道员保持匀速行走，且每小时行．之后巡道员返回站，那么下午什么时刻他回到A站？ 【答案】 (1)此时他在站的西方，距离站 (2) (3)下午他回到A站 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意． （1）将3次行程数据相加，根据结果可得； （2）将3次行程的绝对值相加可得； （3）将3次行程的绝对值相加，再加上返回的行程，除以速度可得． 【详解】（1）解：， 即此时他在站的西方，距离站； （2）解：， 即他共行走了； （3）解：小时， 即下午他回到A站． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要____________分钟． 【答案】85 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：（分钟）； 故答案为85． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 【答案】解：根据题意，编制的问题为：一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米？ （千米/时）． 答：这列火车平均每小时行60千米． 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，根据题意可编制问题一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米，据此求出速度即可． 【详解】解：根据题意，编制的问题为：一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米？ （千米/时）． 答：这列火车平均每小时行60千米． 1. 1、审题，找关系：仔细读题，找出题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。 2. 2、列式，定符号：根据数量关系列出除法算式。先确定商的符号（根据题目情境判断是正还是负），再计算绝对值。 3. 3、计算，用方法：能整除时，直接用“绝对值相除”；不能整除时，转化为“乘倒数”来计算。 4. 4、作答，写单位：算出结果后，结合题目情境写出答案，不要漏掉单位。 题型4 有理数的乘除混合运算 【典例】(2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，直接转化为乘法，利用乘法法则计算即可； （2）将有理数除法转为有理数乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下图是小明同学对于一道计算题的解答过程，请仔细阅读其解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式第一步．第二步 第三步 (1)其中错误的步骤是___________； (2)请你写出正确的解法． 【答案】 (1)第二步和第三步； (2) 解： ． 【分析】本题考查了乘除混合运算，运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘除混合运算的运算法则，运算顺序判断作答即可； （）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：第二步要先算除法，再算乘法，第三步两个有理数相除同号得正； 故答案为：第二步和第三步； （2）略 【变式练习4-2】（25-26七年级上·天津河东·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算运算法则是解题的关键． 有理数的乘除混合运算的步骤 第一步：将所有的除法转化为乘法；第二步：确定积的符号；第三步：运用乘法法则进行计算，并运用乘法运算律简化计算，求出最后的结果. 题型5 有理数乘除中的简便计算 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握运算法则. 先将除法转化为乘法，再将带分数拆分成整数和分数的和，最后利用乘法分配律进行简便运算. 【详解】解：原式． 【变式练习5-1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段检测）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 【变式练习5-2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】 (1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）因每项都含有，可逆用乘法的分配律解答． 【详解】（1） ； （2） ． 1. 先把除法统一转化为乘法，再按乘法运算律和约分技巧简化（带分数化假分数，小数化分数；优先约分；灵活使用乘法交换律、结合律、分配律）。 题型6 有理数的四则混合运算 【典例】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 【变式练习6-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 有理数四则混合运算的“一按照，二统一” (1)要按照有理数的运算法则和运算顺序运算，同时正确利用运算律可简化计算。 (2)统一运算，都用加法或乘法计算，即将减法转化为加法，将除法转化为乘法。 题型7 有理数四则混合运算的应用 【典例】（24-25七年级上·广东湛江·期中）某冷冻厂的一个冷库的温度是，现有一批食品需要在温度下冷冻，如果冷库每小时降温那么多少小时后能降到所要求的温度？ 【答案】小时后能降到所要求的温度 【分析】根据题意先列出算式，计算可得结果． 本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 答：小时后能降到所要求的温度． 【变式练习7-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）遮阳山位于甘肃省定西市漳县大草滩乡境内，国道212线（甘川公路）208公里处，距县城29公里，地处秦岭西端与岷山交汇地带，海拔高度在2200米至2800米之间，总面积为36平方公里．若遮阳山的温度从山脚开始每升高降低，现测得山脚的温度是． (1)求离山脚高的地方的温度． (2)若山上某处的温度为，求此处离山脚的高度． 【答案】 (1)离山脚高的地方的温度为 (2)此处离山脚的高度为 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可； （2）根据题意列出算式，计算即可． 【详解】（1）根据题意，得． 答：离山脚高的地方的温度为． （2）根据题意，得． 答：此处离山脚的高度为． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有20筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的数分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 2 2.5 3 筐数 3 4 2 2 2 6 1 这20筐白菜的平均质量是______kg． 【答案】 【分析】先求得平均每筐与标准质量的差值，再计算与25的和即可解题． 【详解】解析：根据题意得 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 口诀总结 审题找关系，列式加括号；先乘除后加减，除法变乘法；符号先确定，约分再计算； 结果回情境，单位不能落。 题型8 数轴与有理数运算的综合运用 【典例】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为______． 【答案】0 【分析】本题考查的是数轴的概念，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米． 数轴上A、C两点间的单位长度是，点C对齐刻度，所以数轴的单位长度是，的长度是，除以得在数轴上的单位长度． 【详解】∵， ∴数轴的单位长度是， ∵， ∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度， ∴点B所对应的数b为． 故答案为：0． 【变式练习8-1】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，将一根木棒（阴影部分）放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上对应的数为2，由此可得到图中点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)体会（1）的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄． 【答案】 (1)4；6 (2)爷爷现在的年龄为65岁 【分析】（1）由观察数轴可知三根这样长的木棒的长度，即可求出这根木棒的长；根据这根木棒的长，结合图中的已知条件即可求得A和所表示的数； （2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示瀚瀚的年龄，小木棒的端表示爷爷的年龄，则小木棒的长表示二人的年龄差，由此参照（）中的方法结合已知条件分析解答即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， ∴图中点A表示的数是，点表示的数是； 故答案为：4；6． （2）解：借助数轴，把瀚瀚和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像瀚瀚这样大时，可看作点移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，瀚瀚像爷爷现在的年龄时，可看作点移动到点，此时点B向右移后所对应的数为，且爷爷比瀚瀚大， ， ∴爷爷现在的年龄为（岁）， ∴瀚瀚现在的年龄为（岁）． 【点睛】此题考查认识数轴及用数轴表示有理数和有理数的加减法，有理数四则混合运算的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，难度一般，读懂题干要求是关键． 【变式练习8-2】（25-26七年级上·浙江·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 【答案】 (1)所表示的数为8，所表示的数为： (2)①4；②秒或秒或4秒或16秒 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）①根据相遇问题的特点求解即可；②分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10， ∴，即数轴上点所表示的数为8， ∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴所表示的数为：； （2）解：①根据题意得秒，， 答：点表示的数是4； ②当点向左运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 当点向右运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 答：当点与点间的距离为6个单位长度时，点的运动时间为秒或秒或4秒或16秒． 数轴是学习有理数的重要工具，它能将抽象的“数”与直观的“形”对应起来。解题时，要养成双向转化的习惯：看到算式，想它在数轴上表示什么位置或距离；看到数轴上的位置关系，想它能推出什么运算结论。 题型9 数轴上的翻折与有理数运算问题 【典例】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 【变式练习9-1】（25-26七年级上·广东中山·期中）操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 【答案】 (1) (2)4 (3) (4)1.5或 【分析】本题考查有理数与数轴，数轴上的折叠问题，熟练掌握新操作，是解题的关键： （1）按照题干给定的操作列出算式进行求解即可； （2）将表示数先向左平移1个单位，再乘以4即可得出结果； （3）同（2）法列出代数式即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）由题意，点表示的数为； （3）由题意，点表示的数为； （4）由（1）（2）可知，点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点A之间的距离等于2， ∴点表示的数为或； ∴点表示的数为或． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·四川德阳·期中）平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为______． （2）把笔尖放在数轴的原点，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……依次规律跳，当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是______． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则A点表示的数是______，点表示的数是______； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，那么数表示的点与数______表示的点也重合．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）7；（4）①；②，1008；（5） 【分析】（1）根据向左为负，向右为正得出算式，求出即可； （2）由题意可以规定向右记为正，向左记为负，然后列算式，再找规律计算； （3）根据对称的知识，若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到的对称点； （4）①若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是表示的点，从而找到3的对称点； ②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到的距离都是1010，从而求解． （5）根据对称的知识，若a表示的点与b表示的点重合，则对称中心是a，b的中点，故可以列出与数c表示的点重合的数的式子； 【详解】解：（1）∵把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度， ∴根据向左为负，向右为正得出算式：； （2）设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得， ∴当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是； （3）由题意可知：数轴上当表示1和的点重合时，相当于把数轴沿着原点进行了折叠，由此可知此时表示的点与表示7的点重合； （4）①∵1表示的点与表示的点重合， ∴对称中心是表示的点， ∴， ∴3表示的点与数表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， 则点A表示的数是，点B表示的数是； （5）∵a表示的点与b表示的点重合， ∴对称中心是a，b的中点． ∴与数c表示的点重合的数是． 【点睛】本题考查了有关数轴问题，数轴上两点之间的距离，解此题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 数轴翻折（折叠）的本质是等距。折叠后能够重合的两个点，称为关于折痕中心对称的点，它们到折痕中心的距离相等，方向相反。抓住“等距”这一关键，就能把折叠问题转化为有理数的加减乘除运算。 题型10 有理数乘除法中的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）若“”表示一种新运算，规定．请计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）套用公式列式计算可得； （2）套用两次公式列式计算可得． 【详解】（1） ； （2） ， 原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则和题干公式． 【变式练习10-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义运算⊗：当时，；当时，（其中）．那么_______，______． 【答案】 6 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义的含义是解答本题的关键． 根据运算定义，比较m和n的大小关系，选择相应规则计算． 【详解】 ∵ ，，且， ∴ 使用规则， 即． ⊗2： ∵ ，，且， ∴ 使用规则， 即 ． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】 (1), (2), (3) 【分析】本题考查函数值，理解新定义运算是正确解答的前提． （1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）由，根据新定义的运算得到，最后根据当时，的值与字母的取值无关，得到，； （3）先化简式子，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：,． （2）解：当时，， ∵当时，的值与字母的取值无关， ∴，， 解得,； （3）解：在（2）的条件下，，， ∴ ． 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算。 题型11 有理数运算中的规律探究 【典例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）通过观察下面每个图形的规律，得出第四个图形中y的值是（　　）    A．12 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据前三个图形中数的变化，找出图中五个数之间的关系是解题的关键．由前三个图形中间数与四周数之间的关系，可求出y值，此题得解． 【详解】解：，，， ． 故选：A． 【变式练习11-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】 辛亥 【分析】本题考查有理数除法的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键； 根据干支纪年法的计算方法，计算2031年减3后除以10的余数确定天干，除以12的余数确定地支． 【详解】解：计算天干：，余数8对应天干序号8为辛； 计算地支：，余数0对应地支序号12为亥； 故2031年为农历辛亥年； 故答案为：辛亥． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）观察下面各式： ，，， (1)按照上述规律，第5个等式是：________________； (2)第n个等式是：________________； (3)运用你发现的规律计算：． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律进行运算是解题的关键． （1）根据所给的等式特点，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，可得第n个等式是； （3）根据（2）的结论，将所求的式子变形为，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可知：第5个式子是， 故答案为：； （2）由题意可知：第n个式子是， 故答案为：； （3） ． 口诀概括：“标序号、拆结构，符号绝对值分开看；找对应、写通项，代回前项验一验；裂项相消中间空，周期就用除法算；归纳之后莫心急，验证一步不能少。” 综合检测 一．选择题 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）两个数的商是负数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．异号 D．无法判断正负 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 根据有理数的除法法则：“两数相除，同号得正，异号得负”可知，若商为负数，则两数符号相反． 【详解】解：两数相除时，若符号相同（同为正或同为负），商为正数；若符号不同（一正一负），商为负数． A（都是正数）和B（都是负数）均为同号，则商必为正数，与题意矛盾，故A、B错误． C、商为负数时，两数必为一正一负，即异号，故C正确． D、商为负数时符号关系明确，故D错误． 故选：C． 5．(2026·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 6．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“”，低于90分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，，这五名同学的平均成绩应为（   ） A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算． 先计算简记成绩的平均值，再加上标准分90分，即可得到五名同学的平均成绩． 【详解】解：简记成绩的和为：， ∴简记成绩的平均值为：， ∴这五名同学的平均成绩为：（分）． 故选：B． 7．（24-25七年级上·全国·单元复习）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【答案】A 【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每个数为一个循环组依次进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→，进行解答，即可． 【详解】解：由图可知，箭头的方向以每个数为一个循环组进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→， ∴是第个自然数， ∴， ∴位于的位置， ∴从到，箭头的方向应该是↓→． 故选：A． 8．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴进行的相关计算，数形结合并明确绝对值等的化简法则，是解题的关键．先由数轴观察得出，据此逐项计算验证即可． 【详解】解：∵由数轴可得：，则， ，①正确； ，②错误； ，③正确； ， ④正确； 综上，正确的个数为个． 故选：B． 10．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二．填空题 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）化简：__________． 【答案】 【分析】本题考查了符号与分数的化简，根据分数的性质化简即可，先化简符号，再分子分母同时除以4即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【答案】 【分析】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率. 【详解】解：首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． 14．（25-26七年级上·云南昆明·期中）计算：__________． 【答案】49 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：49． 【点睛】考查了有理数的乘除混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键． 15．（25-26七年级上·新疆和田·阶段检测）___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为： 16．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】先根据点B到原点的距离确定点B表示的数，再根据平移规律得到点A表示的数，最后根据点C到点A和原点距离相等，确定点C是点A与原点所连线段的中点，计算即可得到结果． 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或； ∵点沿数轴向右移动个单位后到达点， ∴点表示的数为或； ∵点到点和到原点的距离相等， ∴点是点A与原点所连线段的中点， 当点表示的数为时，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为． 综上所述，点C表示的数为或． 17．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）如果对于任何有理数、定义运算“△”如下：，如果，则______． 【答案】 【分析】此题考查新定义运算，有理数的除法运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键．按照规定的运算方法把式子改为有理数的除法运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·山东济南·期中）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则＝_______；若，则＝_______． 【答案】 2022 【分析】根据所给的等式的形式，不难总结出第n个等式为：，再利用相应的规律进行求解即可． 【详解】解：∵第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ⋯⋯ 第n个等式为：； = = = =， ∵， ∴原式， 故答案为：；2022． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 三．解答题 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 【答案】需要才能降到这批食品所需的保存温度 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 答：需要才能降到这批食品所需的保存温度． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，掌握有理数的乘除法则是解题的关键． （1）先确定结果的符号为负号，同时将除法转化为乘法，再进行计算即可； （2）先将所有的带分数转化为假分数，再确定结果的符号为负号，同时将除法转化为乘法，再进行计算即可； （3）先将小数转化为分数，再确定结果的符号为负号，同时将除法转化为乘法，再进行计算即可； （4）先将除法转化为乘法，再确定结果的符号为正号，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 23．（24-25七年级上·全国·阶段检测）数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数乘法分配律，先根据分配律求出的结果，再仿照题意即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先算括号内的运算，再按照有理数的乘除法运算法则求解即可； （3）先将除法变成乘法，再按照乘法分配律的逆运算进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）煤矿井下A点的海拔高度为米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，已知B点在A点的上方． (1)求B的海拔高度； (2)用正负数表示温度的变化量，上升为正，下降为负，若C点海拔高度为米，海拔高度每下降10米温度变化量为，从C点到A点温度有什么变化？ 【答案】 (1)米； (2)从C点到A点温度下降． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）根据每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，由题意列出算式，计算即可； （2）先计算出下降高度，再根据海拔高度每下降10米温度变化量为列式计算即可 【详解】（1）解：根据题意得：（米） 则B的海拔高度为米； （2）解：根据题意得： 即从C点到A点温度下降． 26．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）我们规定表示不大于x的最大整数，如，不大于的最大整数为9，所以；再如，不大于3的最大整数为3，所以． (1) ． (2)我们再规定如下运算：，如． ① ． ②计算：． 【答案】 (1) (2)①；② 【分析】（1）根据规定，得到表示的数，再进行加法运算即可； （2）根据定义新运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：． （2）①； 故答案为：； ② ． 【点睛】本题考查有理数的运算．理解并掌握新定义和新运算的规则，是解题的关键． 27．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）观察下列各式： ；；；；…． (1)用你发现的规律填写下列式子的结果：； (2)用你发现的规律计算：． 【答案】 (1) ； (2)． 【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式． （1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果． （2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解． 【详解】（1）解：略． （2）解： ． 28．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】 (1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【分析】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 29．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的混合运算． （1）根据折痕点的含义列式求解即可； （2）根据折痕点的含义逐步求解最左边的折痕点对应的数即可． （3）设木棒的长度为，可得：，进一步求解即可． （4）由点表示的数为，可得一次跳跃点表示的数为，结合点与点位于点P的两侧，且，可得点是的中点，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是； 如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是． （2）∵点A、B表示的数分别是、4， ∴第一次对折后折痕点对应的数为：， 第二次对折后折痕点对应的数为：， 第三次对折后折痕点对应的数为：， 第四次对折后折痕点对应的数为：， 第五次对折后折痕点对应的数为：， ∴这样连续对折5次后，再将其展开，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为： （3）设木棒的长度为， 由题意可得：， 解得． （4），理由如下： ∵点表示的数为，则一次跳跃点表示的数为， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴点是的中点， ∵点P表示的数分别是， ∴点表示的数为：， ∴． 30．（25-26七年级上·北京·期末）2025年10月12日，北京大学附属中学建校65周年主题活动日在本部黄庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子． 规定：对于三个有理数，，，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组，，做上述运算：，且，故数组，，为“校庆数组”． (1)已知数组，，，则________； (2)已知数组，，为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m的值______ ； (3)已知k为整数，试判断：数组，，是否可能为“校庆数组”，并说明理由． 【答案】 (1) (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查绝对值的性质和几何意义、有理数的新定义运算，理解是“校庆数组”的条件是解题的关键． （1）根据，代入数组，，直接计算即可； （2）根据数组，，为“校庆数组”得到，进而根据几何意义发现数轴上与，之间的位置关系，判断所在的范围，即可写出满足条件的m的值； （3）根据数组，，若为“校庆数组”，得到，进而根据几何意义讨论数轴上与，的位置关系进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵数组，，为“校庆数组”， ∴， ∴， ∵表示到的距离，表示到的距离，两者之间的距离之和为26，而到之间的距离恰好为26， ∴为到之间的一个整数， ∴可以为； （3）解：数组，，不可能为“校庆数组”， 理由：数组，，为“校庆数组”的条件是， ∴， ∵表示到的距离，表示到的距离， 当时，两者之间的距离之和为27，不为42，∴不符合题意； 当时，， ∴，解得：， ∴不为整数，不符合题意； 当时，， ∴，解得：， ∴不为整数，不符合题意； ∴数组，，不可能为“校庆数组”． 中考真题 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 3．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 有理数的除法 学习目标 1、理解有理数除法和乘法的互逆关系. 2、掌握有理数的除法法则. 3、会进行有理数除法运算及四则混合运算. 4、会用有理数的除法运算解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用能力 知识结构 知识点一 有理数的除法 1、 有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即” 2、有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 3、有理数就是形如 (,是整数, )的数。 注意：(1)若两个数能整除，可选择法则2;若两个数不能整除，可选择法则1。 (2)两个数相除，若结果为1,则这两个数相等;两个数相除，若结果为-1,则这两个数互为相反数。 提醒: 法则中的“一不变”和“两变” 一不变：被除数和除数的位置固定不变;两变：除号变乘号，除数变为它的倒数。 【基础练习1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 有理数的乘除混合运算 知识点二 1、运算顺序 有括号先算括号里面的,没有括号时,根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算。 2、运算方法 首先把除法运算转化为乘法运算,然后按照乘法法则或运算律进行计算。 注意：(1)结果的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0” (2)结果能化简的要化简。 提醒:(1)把除法运算转化为乘法运算后，可先观察算式，看是否能运用乘法运算律来简便计算。 (2)当乘除混合运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数，有带分数的将带分数统一化成假分数，再进行运算。 (3)乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行。 【基础练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是小明计算的过程： 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)小明的解题过程从第___________步开始出现错误， (2)请写出正确的解题过程． 有理数的四则混合运算 知识点三 有理数的四则混合运算的顺序： 先算乘除,后算加减,如果有括号，先算括号内的部分.同一级运算按照从左到右的顺序进行。 注意：在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号。 提醒：在有理数的四则混合运算中，要时刻注意符号问题。 【基础练习3-1】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： 【基础练习3-2】（25-26七年级上·宁夏固原·期中）计算：．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________； (2)把正确的解题过程写出来． 题型1 有理数除法法则辨析 【典例】（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）下列说法中，正确的是  (    ) A．两数相除，商一定小于被除数 B．两数相乘，积一定大于每个因数 C．一个数除以它的倒数，其商就等于这个数的平方 D．一个数乘它的相反数，其积一定是一个负数 【变式练习1-1】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如果两个数的商为正数，那么下列结论正确的是（   ） A．这两个数的和为正数 B．这两个数的差为正数 C．这两个数的积为正数 D．这两个数都为正数 【变式练习1-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 先把两条法则记准（法则1和法则2），辨析题往往就是针对这两条法则中的某个关键词（如“不等于0”“同号”“绝对值”）设置陷阱。 题型2 有理数的除法运算 【典例】（2026·江苏徐州·模拟预测）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【变式练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简：___；___； ___． 【变式练习2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． (1)运用法则1的思路:先转化为乘法运算，再按照乘法法则计算； (2)运用法则2的思路：先确定商的符号，再求商的绝对值. 题型3 有理数除法的应用 【典例】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，下午他从A站出发后行程依次为（单位：，记向东为“”，向西为“”）：． (1)此时他在站的什么方向？距离站多远？ (2)此时他共行走了多少？ (3)假设巡道员保持匀速行走，且每小时行．之后巡道员返回站，那么下午什么时刻他回到A站？ 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要____________分钟． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 1. 1、审题，找关系：仔细读题，找出题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。 2. 2、列式，定符号：根据数量关系列出除法算式。先确定商的符号（根据题目情境判断是正还是负），再计算绝对值。 3. 3、计算，用方法：能整除时，直接用“绝对值相除”；不能整除时，转化为“乘倒数”来计算。 4. 4、作答，写单位：算出结果后，结合题目情境写出答案，不要漏掉单位。 题型4 有理数的乘除混合运算 【典例】(2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下图是小明同学对于一道计算题的解答过程，请仔细阅读其解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式第一步．第二步 第三步 (1)其中错误的步骤是___________； (2)请你写出正确的解法． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·天津河东·期中）计算：______． 有理数的乘除混合运算的步骤 第一步：将所有的除法转化为乘法；第二步：确定积的符号；第三步：运用乘法法则进行计算，并运用乘法运算律简化计算，求出最后的结果. 题型5 有理数乘除中的简便计算 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 【变式练习5-1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段检测）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【变式练习5-2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 1. 先把除法统一转化为乘法，再按乘法运算律和约分技巧简化（带分数化假分数，小数化分数；优先约分；灵活使用乘法交换律、结合律、分配律）。 题型6 有理数的四则混合运算 【典例】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）计算： 【变式练习6-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习6-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 有理数四则混合运算的“一按照，二统一” (1)要按照有理数的运算法则和运算顺序运算，同时正确利用运算律可简化计算。 (2)统一运算，都用加法或乘法计算，即将减法转化为加法，将除法转化为乘法。 题型7 有理数四则混合运算的应用 【典例】（24-25七年级上·广东湛江·期中）某冷冻厂的一个冷库的温度是，现有一批食品需要在温度下冷冻，如果冷库每小时降温那么多少小时后能降到所要求的温度？ 【变式练习7-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）遮阳山位于甘肃省定西市漳县大草滩乡境内，国道212线（甘川公路）208公里处，距县城29公里，地处秦岭西端与岷山交汇地带，海拔高度在2200米至2800米之间，总面积为36平方公里．若遮阳山的温度从山脚开始每升高降低，现测得山脚的温度是． (1)求离山脚高的地方的温度． (2)若山上某处的温度为，求此处离山脚的高度． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有20筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的数分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 2 2.5 3 筐数 3 4 2 2 2 6 1 这20筐白菜的平均质量是______kg． 口诀总结 审题找关系，列式加括号；先乘除后加减，除法变乘法；符号先确定，约分再计算； 结果回情境，单位不能落。 题型8 数轴与有理数运算的综合运用 【典例】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为______． 【变式练习8-1】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，将一根木棒（阴影部分）放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上对应的数为2，由此可得到图中点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)体会（1）的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄． 【变式练习8-2】（25-26七年级上·浙江·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 数轴是学习有理数的重要工具，它能将抽象的“数”与直观的“形”对应起来。解题时，要养成双向转化的习惯：看到算式，想它在数轴上表示什么位置或距离；看到数轴上的位置关系，想它能推出什么运算结论。 题型9 数轴上的翻折与有理数运算问题 【典例】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【变式练习9-1】（25-26七年级上·广东中山·期中）操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·四川德阳·期中）平移和翻折是初中阶段研究的两种重要的图形运动． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点，然后沿数轴向左移动4个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式可以将以上过程及结果表示为______． （2）把笔尖放在数轴的原点，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……依次规律跳，当它跳了2025次时，这时笔尖的位置表示的数是______． 【翻折运动】 已知纸面上有一数轴，折叠纸面． （3）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2020（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则A点表示的数是______，点表示的数是______； （5）若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为，那么数表示的点与数______表示的点也重合．（用含有的代数式表示） 数轴翻折（折叠）的本质是等距。折叠后能够重合的两个点，称为关于折痕中心对称的点，它们到折痕中心的距离相等，方向相反。抓住“等距”这一关键，就能把折叠问题转化为有理数的加减乘除运算。 题型10 有理数乘除法中的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）若“”表示一种新运算，规定．请计算下列各式的值： (1) (2) 【变式练习10-1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义运算⊗：当时，；当时，（其中）．那么_______，______． 【变式练习10-1】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算。 题型11 有理数运算中的规律探究 【典例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）通过观察下面每个图形的规律，得出第四个图形中y的值是（　　）    A．12 B． C． D．9 【变式练习11-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【变式练习11-1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）观察下面各式： ，，， (1)按照上述规律，第5个等式是：________________； (2)第n个等式是：________________； (3)运用你发现的规律计算：． 口诀概括：“标序号、拆结构，符号绝对值分开看；找对应、写通项，代回前项验一验；裂项相消中间空，周期就用除法算；归纳之后莫心急，验证一步不能少。” 综合检测 一．选择题 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）两个数的商是负数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．异号 D．无法判断正负 5．(2026·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“”，低于90分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，，这五名同学的平均成绩应为（   ） A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 7．（24-25七年级上·全国·单元复习）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 8．（24-25六年级上·北京·期中）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 12．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）化简：__________． 13．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 14．（25-26七年级上·云南昆明·期中）计算：__________． 15．（25-26七年级上·新疆和田·阶段检测）___________． 16．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 17．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）如果对于任何有理数、定义运算“△”如下：，如果，则______． 19．（25-26七年级上·山东济南·期中）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则＝_______；若，则＝_______． 三．解答题 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）某冷冻厂的一个冷库现在的温度是，一批食品需要在下冷冻保存，如果该冷库每小时能降温，那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？ 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 23．（24-25七年级上·全国·阶段检测）数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）煤矿井下A点的海拔高度为米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，已知B点在A点的上方． (1)求B的海拔高度； (2)用正负数表示温度的变化量，上升为正，下降为负，若C点海拔高度为米，海拔高度每下降10米温度变化量为，从C点到A点温度有什么变化？ 26．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）我们规定表示不大于x的最大整数，如，不大于的最大整数为9，所以；再如，不大于3的最大整数为3，所以． (1) ． (2)我们再规定如下运算：，如． ① ． ②计算：． 27．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）观察下列各式： ；；；；…． (1)用你发现的规律填写下列式子的结果：； (2)用你发现的规律计算：． 28．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 29．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 30．（25-26七年级上·北京·期末）2025年10月12日，北京大学附属中学建校65周年主题活动日在本部黄庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子． 规定：对于三个有理数，，，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组，，做上述运算：，且，故数组，，为“校庆数组”． (1)已知数组，，，则________； (2)已知数组，，为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m的值______ ； (3)已知k为整数，试判断：数组，，是否可能为“校庆数组”，并说明理由． 中考真题 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 3．（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $