四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周考2

**基本信息** 泸县一中高2023级数学周测试卷，以基础巩固与能力提升为核心，通过扑克牌游戏（概率应用）、环保满意度调查（统计分析）等真实情境题，考查斜二测画法、分层抽样、立体几何等知识，体现数学思维与现实应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|斜二测画法、分层抽样、复数、向量夹角|基础概念辨析，如第5题事件关系判断（推理意识）| |多选题|2/12|概率事件独立性、八面体表面积体积|空间几何与概率结合，如第10题八面体外接球（空间观念）| |填空题|2/10|向量投影、正方体截面面积|动态问题探究，如第12题动点最值（创新意识）| |解答题|3/45|概率游戏公平性、统计直方图、三棱柱证明与二面角|现实情境应用，如14题环保调查分层抽样（数据观念）；立体几何综合证明（推理能力）|

泸县一中高2023级2024年秋期数学大周练（2） 一、单选题 (每小题5分，共40分) 1．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（    ） A． B． C．4 D． 2．某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为（ ） A． B． C． D． 3．复数与都是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，点D在BC边上，且BD=2DC，则（    ） A． B． C． D． 5．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 6．已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 7．下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 8．一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 A．58或64 B．58 C．59或64 D．59 二、多选题 (每小题6分，共12分) 9．不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（    ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与是相互独立事件 10．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（    ） A． 该八面体的表面积是 B． 该八面体的体积是 C． 该八面体的外接球表面积为8π D．直线与平面所成角为 班级 姓名 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 三、填空题 (每小题5分，共10分) 11．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 12．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ． 四、解答题 13．(15分) 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ (3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由. 14．(15分) 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； (2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 15．(15分) 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面. (1)求证：； (2)当，直线与平面所成角为时， （i）求证：平面平面； （ii）求二面角的正弦值. 试卷第2页，共3页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B B B D A AD ACD 1．B 【详解】解：根据斜二测画法的原则可知， ∴对应直观图的面积为， 故选：B. 2．D 【详解】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论． 解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人， ∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为， 故选D． 3．C 【解析】根据题意，先设（且），代入，再根据其为纯虚数求解. 【详解】设纯虚数（且）， 则， 又是纯虚数， 所以， 解得， 所以. 故选：C 4．B 【详解】由向量的加减法可得:. 故选:B. 5．B 【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 6．B 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 7．D 【详解】对于A，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误; 对于B，由，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：现从a，b，c，d四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A表示选中a球或b球，则，事件B表示选中b球或c球，则，所以，但A，B不是对立事件，故B错误; 对于C，该试验的样本空间可表示为： ，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个， 故所求概率，故C错误; 对于D，若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确． 故选：D. 8．A 【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79． 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则， 解得或 故选：A 9．AD 【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且， 故选：. 10．ACD 【详解】A选项，棱长为2的等边三角形面积为， 故该八面体的表面积，A正确； B选项，连接，相交于点，连接，则为正四棱锥的高， 则， 由勾股定理得， 故，该八面体的体积是，B错误；    C选项，由于， 故该八面体的外接球的球心为，半径为， 取的中点，的中点，连接，， 由对称性可知，相交于点，即正方形的中心， 故四点共面， 由于均为等边三角形，故⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故四边形截外接球的大圆即为点的轨迹， 其长度为，C正确. D选项，由B选项可知，即为直线与平面所成角， 其中，故，D正确；    故选：ACD 11． 【详解】由向量，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 12． ； . 【详解】将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值.    当M为线段中点时，记的中点为，的中点为， 由正方体性质可知，， 所以为平行四边形，所以， 易知，所以为平行四边形，所以， 所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以. 故答案为：；.    13．(1)答案见解析 (2) (3)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用字母表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）， 可得基本事件的空间为：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、 （4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4），共12种不同情况， （2）解：由题意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，， 所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为. （3）解：根据题意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（，2）、（，3）， 共有5种情况，所以甲胜的概率，乙获胜的概率为， 因为，所以此游戏不公平． 14．(1)，中位数为（分） (2) 【详解】（1）由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； （2）的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 15．(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为， 所以是菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）（i）当时，因为， 所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）因为平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 因为，且，，，故， 作交于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 作交于，连接， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 因为即，所以， 因为即，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 答案第4页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $