四川省泸县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷5

**基本信息** 高2024级秋期数学期末模拟卷，涵盖解析几何、概率统计、立体几何等模块，以乡村振兴蜜柚销售、电商收购方案等真实情境设计问题，融合基础运算与逻辑推理，体现用数学语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、抛物线焦点、概率计算等|基础概念辨析，如第4题独立事件概率| |多选题|3/18|概率事件关系、立体几何基底、轨迹方程|综合思维考查，如第9题事件独立性判断| |填空题|3/15|直线垂直、统计量计算、双曲线渐近线|核心公式应用，如第13题上四分位数与极差| |解答题|5/77|圆方程、概率应用、抛物线综合、立体几何夹角、椭圆证明|分层设计，如16题结合频率分布直方图解决收购方案选择，19题椭圆证明体现逻辑推理|

高2024级2025年秋期数学期末模拟卷5 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 6. 若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 7.已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本大题共3小题，每小题6分。共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 10．如图，在棱长均为4的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A． B．可以作为空间的一个基底 C．长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．曲线是中心对称图形 B． C．直线斜率的取值范围为 D．若，则的面积为 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 13．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的渐近线在第一象限内交于点，若，则的渐近线方程为 . 四、解答题:（本大题共5小题），共计77分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 16．（本题满分15分） 某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： (1) 按分层随机抽样的方法从质量落在区间的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有蜜柚均以20元/千克收购； B．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 17．（本题满分15分） 已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 18．（本题满分17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)当异面直线与所成角为时，求实数的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19．（本题满分17分） 已知椭圆的离心率为，且经过点，点F为椭圆E的右焦点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点． ①若，求直线l的斜率； ②若过点A作直线的垂线，垂足为Q，点N为线段的中点，求证：B，Q，N三点共线 高2024级2025年秋期数学期末模拟卷（5） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B B A A B ABD ACD ACD 3．【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和， 因为这两点关于y轴的对称点分别为和， 所以直线关于y轴对称的直线方程为 4【详解】根据题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为． 5．【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 6.【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得. 设，则，则， 因为点是线段的中点， ，所以， 所以. 7.【解析】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率，    设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，，解得或. 根据图像知： 8.【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 9.【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 10．【详解】对于A，由，因此，故A正确； 对于B，设，，则为空间的一个基底， ，，则， 因此共面，不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，由题意有：， 因此 ， 因此，故C正确； 对于D，由于，因此， 因此 ， 因此，故D正确， 11．【详解】设，则，化简可得， 由于，故， 对于A，满足，故曲线是中心对称图形，A正确， 对于B, ，当且仅当取到等号，由于，故B错误， 对于C,，故C正确， 对于D，由可得，故，联立与可得，故，故,故D正确， 12【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得或. 故答案为：或 13【详解】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98， 因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为， 故上四分位数与极差之和是． 故答案为：125 14．【详解】如图，作，双曲线焦点，设双曲线一条渐近线方程为，则点到渐近线距离，为等腰三角形，故腰上的高也相等，故，则 ，又，故，则双曲线的渐近线为 故答案为： 15．【详解】（1）由于圆C的圆心在直线上，所以设， 因为圆C过点和点，所以， 即，解得， 即圆心坐标为，所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 16【详解】（1）由题意得： 所以蜜柚质量在区间和的比为2：3， 所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个. 记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A 抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，， 则从这5个蜜柚中随机抽取2个， 样本空间，共10个样本点 解法一：事件，共7个样本点， 所以. 解法二：事件A对立事件，共3个样本点， 所以. （2）方案A好， 由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，，，，， 的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为 （元）. 若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750， 蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为， 所以总收益为（元）. 因为， 所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A. 17．【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 18.【详解】（1）如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以； 当时，为的中点，又为的中点，所以； 所以，又平面，平面，所以平面； （2）如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，设，则， 所以，所以， 所以，； 因为异面直线与所成角为，所以，解得， 实数的值为； （3）由（2）知，， 所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以函数， 所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 19【详解】（1）由可得①， 椭圆经过点，则②， 联立①，②，可得， 则椭圆E的标准方程为； （2）①当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得，由，解得或， 设，则，则（*） 由可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ②如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 将（*）代入，可得， 即，因点不重合，故B，Q，N三点共线． 模拟卷 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $