四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周考1

**基本信息** 泸县一中高2023级数学周测卷，聚焦立体几何与统计核心模块，通过分层抽样、圆锥侧面积等基础题，结合四棱锥证明、学生锻炼时长统计分析等综合题，考查空间观念与数据意识，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|复数、解三角形、分层抽样|基础概念辨析，如第3题分层抽样计算| |多选题|2/12|统计图表、正方体轨迹|选项分层设计，如第8题空间轨迹与体积分析| |填空题|2/10|样本容量、众数与四分位数|数据处理应用，如第9题分层抽样总体计算| |解答题|3/48|四棱锥证明、统计直方图、四面体计算|综合推理与建模，如第12题锻炼时长统计分析|

泸县一中高2023级2024年秋期数学大周练（1） 班级 姓名 得分 一、单选题（每小题5分，共30分） 1．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　） A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8 4．若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：，则这组数据的中位数与分位数分别为（    ） A． B． C． D． 6．如图，三棱锥中，平面，，且为边长等于2的正三角形，则 与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共12分） 7．某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类､创新素质类､兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习.现对该校4000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②.下列说法正确的是（    ） A．抽取的样本容量为4000 B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700 C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24，则 D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000 8．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 10．一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 ； 四、解答题 11．在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 12．某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在的人数； (2)用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数. 13．如图，在四面体中，平面，，点为上一点，且，连接. (1)求证． (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C D B BD ABD 1．B 【详解】因为复数所对应的点为，所以， 所以， 所以. 故选：B. 2．B 【详解】由余弦定理，可得，即. 故选：B 3．A 【详解】某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400， 该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈， 则高一年级抽取人数是：186， 高二年级抽取人数是：184， 高三年级抽取人数是：188． 故选:A． 4．C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，由轴截面三角形的顶角为，得， 所以圆锥的体积为，解得， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 5．D 【详解】将这8个数从小到大排列为， 中位数为第四､五两个数的平均数，即， 由于，所以分位数为第六个数91. 故选：D. 6．B 【详解】过点作垂直于平面的直线，垂足为O，利用等体积法求解．，由此解得， 与平面所成角为，所以,故选B 7．BD 【详解】对于A，抽取的样本容量为，故A错误； 对于B，该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为人，故B正确； 对于C，抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为，则，解得，故C错误； 对于D，由扇形统计图知该校学生中选择学科拓展类课程的频率为， 则该校学生中选择学科拓展类课程的人数为人，故D正确； 故选：BD. 8．ABD 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故B正确； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得． 综上，可知长度的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 9．1800 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 10． 【详解】众数=5， 从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10因为数据个数为14， 而且，所以这组数据的第三四分位数为8. 故答案为：13 11．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面．    （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 12．(1)0.016，290人 (2) (3)49.5 【详解】（1）由题意可知每组的频率依次为：， 因为，解得， 估计每天户外锻炼时长在的人数为（人）. （2）由题意知，平均时长为 （min）， 所以估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长为. （3）因为， 且， 可知高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数，即分位数在之间， 设高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的分位数为， 则，解得， 所以高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数是49.5. 13．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，， 因为点为上一点，且， 所以，点到平面的距离为， 因为，，所以，， 由（1）知平面，因为平面，所以， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得, 所以， 所以, 设点D到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得. （3）取的中点，连接，过作于，过作于，连接， 因为在平面中，，，所以‖， 由（1）知，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为. 答案第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $