2027届高三新高考数学一轮复习小题考点训练17 （新高考）

**基本信息** 基于新高考5年真题统计的高频考点专项训练，聚焦函数与导数、解析几何等核心模块，通过模拟题与真题结合构建知识网络，强化数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|1题|函数性质、导数应用|概念辨析→性质应用→综合问题| |三角函数|1题|三角函数图象与性质|公式推导→图象分析→实际应用| |解析几何|3题|圆、双曲线、抛物线|方程建立→几何性质→位置关系| |立体几何|2题|外接球、空间几何体|空间观念→性质应用→体积计算| |概率统计|1题|古典概型|数据意识→模型构建→概率计算|

2027年一轮复习小题精练高频考点训练17 基于2022-2026年全国新高考I卷、II卷选择填空题的统计（按知识模块归类）： 知识模块 出现频次 占比 主要考查形式 函数与导数 ★★★★★ 约15% 函数性质（奇偶性、单调性、周期性）、导数切线、极值、抽象函数综合 三角函数与解三角形 ★★★★★ 约12% 三角函数图象与性质、恒等变换、诱导公式、解三角形 数列 ★★★★☆ 约12% 等差/等比数列基本量运算、性质应用、新情境应用题 平面解析几何 ★★★★★ 约15% 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程与性质、直线与圆、离心率 立体几何 ★★★★☆ 约10% 空间几何体性质、线面位置关系、体积、外接球 概率与统计 ★★★★☆ 约10% 样本数字特征、平均数/中位数、随机变量期望、古典概型 集合与常用逻辑用语 ★★★★★ 约8% 集合交并补运算、集合中元素个数、与不等式/方程结合 复数 ★★★★★ 约8% 复数四则运算、共轭、模长、几何意义 平面向量 ★★★★☆ 约7% 向量线性运算、数量积、模长、基本定理 不等式 ★★★☆☆ 约5% 一元二次不等式、分式不等式、基本不等式 计数原理与二项式定理 ★★★☆☆ 约5% 排列组合、二项式定理、项的系数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（2025·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 2.（2026·山东青岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即， 又，故. 3.（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 4.（2026·浙江·模拟预测）已知点在圆上，直线的斜率为（是原点），则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式、点到直线的距离公式求解. 【详解】依题意，直线的方程为，圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，显然点在圆上， 所以. 故选：B 5.（2025·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【详解】， ， 故选：C. 6.（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 7.（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 8.（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 10.（24-25高三下·山东枣庄·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．的方程为 C． D．在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，结合抛物线方程及导数的几何意义逐项判断即可. 【详解】由点在抛物线上，得，， 对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确； 对于B，抛物线的准线方程为，B错误； 对于C，为焦点，则，C正确； 对于D，由，求导得， 则在点处的切线斜率为， 切线方程为，即，D正确. 故选：ACD 11.（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误； 对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误. 【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，，，因在上只有两个零点， 且由，即；由，即， 即在区间上有2个零点，故D错误. 故选：AC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12.（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 13.（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则______． 【答案】 【分析】先利用题设条件求出圆的半径，根据抛物线的定义求得点的坐标，最后利用斜率公式计算即得. 【详解】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 14.（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年一轮复习小题精练高频考点训练17 基于2022-2026年全国新高考I卷、II卷选择填空题的统计（按知识模块归类）： 知识模块 出现频次 占比 主要考查形式 函数与导数 ★★★★★ 约15% 函数性质（奇偶性、单调性、周期性）、导数切线、极值、抽象函数综合 三角函数与解三角形 ★★★★★ 约12% 三角函数图象与性质、恒等变换、诱导公式、解三角形 数列 ★★★★☆ 约12% 等差/等比数列基本量运算、性质应用、新情境应用题 平面解析几何 ★★★★★ 约15% 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程与性质、直线与圆、离心率 立体几何 ★★★★☆ 约10% 空间几何体性质、线面位置关系、体积、外接球 概率与统计 ★★★★☆ 约10% 样本数字特征、平均数/中位数、随机变量期望、古典概型 集合与常用逻辑用语 ★★★★★ 约8% 集合交并补运算、集合中元素个数、与不等式/方程结合 复数 ★★★★★ 约8% 复数四则运算、共轭、模长、几何意义 平面向量 ★★★★☆ 约7% 向量线性运算、数量积、模长、基本定理 不等式 ★★★☆☆ 约5% 一元二次不等式、分式不等式、基本不等式 计数原理与二项式定理 ★★★☆☆ 约5% 排列组合、二项式定理、项的系数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（2025·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·山东青岛·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 4.（2026·浙江·模拟预测）已知点在圆上，直线的斜率为（是原点），则（    ） A． B．1 C． D． 5.（2025·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B．C．D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高三下·山东枣庄·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（   ） A．直线的倾斜角为 B．的方程为 C． D．在点处的切线方程为 11.（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12.（25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为______． 13.（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则______． 14.（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $