2027届高三新高考数学一轮复习小题考点训练15 （新高考）

**基本信息** 基于近5年新高考真题统计，聚焦高频考点，以选择填空题系统覆盖函数与导数、解析几何等核心模块，强化基础应用与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|1题|集合运算、命题否定|数学基础工具，概念辨析与逻辑推理| |复数|1题|四则运算、虚部|代数运算延伸，几何意义初步| |数列|2题|等差基本量、前n项和|特殊函数离散形式，递推与求和逻辑| |三角函数|1题|终边变换、三角求值|几何变换与三角公式综合应用| |解析几何|2题|圆锥曲线定义、双曲线性质|几何性质与代数运算的转化| |立体几何|1题|异面直线角、点面距离|空间观念与空间向量工具应用| |概率与统计|1题|方差计算|数据特征与统计量的应用| |函数|3题|函数性质、零点问题|函数概念与导数工具的综合应用|

2027年一轮复习小题精练高频考点训练15 基于2022-2026年全国新高考I卷、II卷选择填空题的统计（按知识模块归类）： 知识模块 出现频次 占比 主要考查形式 函数与导数 ★★★★★ 约15% 函数性质（奇偶性、单调性、周期性）、导数切线、极值、抽象函数综合 三角函数与解三角形 ★★★★★ 约12% 三角函数图象与性质、恒等变换、诱导公式、解三角形 数列 ★★★★☆ 约12% 等差/等比数列基本量运算、性质应用、新情境应用题 平面解析几何 ★★★★★ 约15% 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程与性质、直线与圆、离心率 立体几何 ★★★★☆ 约10% 空间几何体性质、线面位置关系、体积、外接球 概率与统计 ★★★★☆ 约10% 样本数字特征、平均数/中位数、随机变量期望、古典概型 集合与常用逻辑用语 ★★★★★ 约8% 集合交并补运算、集合中元素个数、与不等式/方程结合 复数 ★★★★★ 约8% 复数四则运算、共轭、模长、几何意义 平面向量 ★★★★☆ 约7% 向量线性运算、数量积、模长、基本定理 不等式 ★★★☆☆ 约5% 一元二次不等式、分式不等式、基本不等式 计数原理与二项式定理 ★★★☆☆ 约5% 排列组合、二项式定理、项的系数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（2026·浙江温州·二模）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 2.（2025·安徽合肥·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到复数的代数式，再利用复数的除法运算即可. 【详解】由题意，，则. 所以复数的虚部是 故选：A. 3.（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）在等差数列中，，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题知公差. 故选:D. 4.（2026·江苏南京·一模）设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据新定义、任意角的三角函数及两角和的正切公式求解即可. 【详解】对角的终边先进行变换后，角的终边经过，则. 再进行变换得到角的终边，则. 所以. 5.（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6.（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项. 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 7.（23-24高二上·重庆·阶段检测）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】B 【分析】将方程转化为方程判断. 【详解】解：方程即为方程表示： 动点到定点的即可与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线， 故选：B 8.（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 10.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 11.（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 【答案】BD 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，D项. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12.（25-26高三下·江苏南通·开学考试）若的方差为4，则的方差为_______． 【答案】16 【分析】根据方差的线性变化公式，即即可求解. 【详解】由题意得，则. 13.（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点________． 【答案】 【分析】根据，可得指数型函数定点. 【详解】令得，此时， 故函数（，且）的图象过定点． 故答案为：. 14.（2025·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 【答案】/ 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年一轮复习小题精练高频考点训练15 基于2022-2026年全国新高考I卷、II卷选择填空题的统计（按知识模块归类）： 知识模块 出现频次 占比 主要考查形式 函数与导数 ★★★★★ 约15% 函数性质（奇偶性、单调性、周期性）、导数切线、极值、抽象函数综合 三角函数与解三角形 ★★★★★ 约12% 三角函数图象与性质、恒等变换、诱导公式、解三角形 数列 ★★★★☆ 约12% 等差/等比数列基本量运算、性质应用、新情境应用题 平面解析几何 ★★★★★ 约15% 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程与性质、直线与圆、离心率 立体几何 ★★★★☆ 约10% 空间几何体性质、线面位置关系、体积、外接球 概率与统计 ★★★★☆ 约10% 样本数字特征、平均数/中位数、随机变量期望、古典概型 集合与常用逻辑用语 ★★★★★ 约8% 集合交并补运算、集合中元素个数、与不等式/方程结合 复数 ★★★★★ 约8% 复数四则运算、共轭、模长、几何意义 平面向量 ★★★★☆ 约7% 向量线性运算、数量积、模长、基本定理 不等式 ★★★☆☆ 约5% 一元二次不等式、分式不等式、基本不等式 计数原理与二项式定理 ★★★☆☆ 约5% 排列组合、二项式定理、项的系数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（2026·浙江温州·二模）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 2.（2025·安徽合肥·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D．2 3.（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）在等差数列中，，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 4.（2026·江苏南京·一模）设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（   ） A． B． C． D．3 5.（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 7.（23-24高二上·重庆·阶段检测）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 8.（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 10.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 11.（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12.（25-26高三下·江苏南通·开学考试）若的方差为4，则的方差为_______． 13.（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点________． 14.（2025·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 学科网（北京）股份有限公司 $