1.1一元二次方程的概念 同步练- 2026--2027学年九年级上册数学苏科版

**基本信息** 初中数学第1章1.1一元二次方程的概念同步练，新授课使用。分层设计清晰，从概念巩固到能力提升再到素养拓展，梯度合理，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|一元二次方程概念、一般形式及简单实际问题|概念辨析题（如第1题）、一般形式转化题（如第2题），巩固核心概念，培养抽象能力| |能力提升|综合应用（几何、方程解迁移）及整体思想|几何面积问题（如第10题）、整体代入（如第13题），培养运算能力与推理意识| |素养提优|根的变换及新定义“对称方程”|新定义题型（如第16题），发展创新意识与推理能力，体现数学思维|

第1章一元二次方程 1.1一元二次方程的概念 基础提质 知识点1 一元二次方程的相关概念及一般形式 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) 2.把一元二次方程 2(x-1)=3x化成一般形式，正确的是( ) 3.已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为( ) A.-2 B.2 C.2或-2 D.4或-2 4.若x=1是一元二次方程 c=0的一个根，则c的值为 . 5.若关于x的方程 2=0是一元二次方程，则k的值为 . 知识点 2 用一元二次方程描述问题中的数量关系 6.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?”其大意是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步?设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 7.如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的 ，那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为xm，则可列方程为 . 8.在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量.设有x个球队参赛，根据题意可列方程为 . 9.某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为 . 能力提升 10.如图所示的是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是( ) A.(40-2x)(19-x)=352 B.(40+x)(19+x)=352 C.(40-x)(19-x)=352 D.(40-2x)(19-2x)=352 11.若关于x的一元二次方程 有一解为x=2 024,则一元二次方程 必有一解为( ) A. x=2 026 B. x=2025 C. x=2024 D. x=2022 12.已知下面三个关于x的一元二次方程 恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为( ) A.0 B.1 C.3 D.不确定 13.学科特色整体思想 (1)若m是方程 的根，则 (2)已知m是方程 的一个根，则 14.已知关于x的方程( 是一元二次方程，求直线y= kx-k与两坐标轴围成的三角形的面积. 素养提优 15.已知关于x的一元二次方程 c=0(a≠0)的两个实数根分别为1和 则关于y的一元二次方程 2021b-a(c≠0)的两个实数根分别为 16.核心素养推理能力 定义：如果关于x的方程0,a₁,b₁,c₁是常数)与a₂,b₂,c₂是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 则这两个方程互为“对称方程”.比如：求方程 的“对称方程”，这样思考：由方程 可知， 根据 可求出a₂,b₂,c₂,从而可确定这个方程的“对称方程”.请用以上方法解决下列问题. (1)写出方程 的“对称方程”： . (2)若关于x的方程 与 互为“对称方程”，求( 的值. 学科网（北京）股份有限公司 D12 初中数学 九年级 全一册 苏科版 学科网（北京）股份有限公司 第1章 一元二次方程 1.1一元二次方程的概念 基础提质 1. D 选项A,当a=0时, 不是一元二次方程，故本选项错误；选项 B，由 得6x+11=0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；选项C. 是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；选项D，符合一元二次方程的概念，故本选项正确.故选 D. 2. D原方程可以变形为 0, 故选 D. 3. A根据题意可得 解得 k=-2.故选 A. 易错警示 解与一元二次方程系数相关的问题时，要注意二次项系数不为0. 4.答案3 解析 ∵x=1是一元二次方程 的一个根， 解得c=3. 5.答案 -1 解析 由题意得k²+1=2且k-1≠0,∴k=-1.故答案为-1. 易错警示 若方程是一元二次方程，则需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.本题易因忽略二次项的系数不为0而出错. 6. A利用矩形面积公式可列方程为x(60-x)= 864,故选 A. 7.答案 8.答案 解析 每个队都要比(x-1)场，故比赛的总场数= 9.答案 解析 平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为每盒100(1-x)元，第二次降价后药价为每盒 元，根据题意得 能力提升 10. C平面示意图中停车位组合起来为一个宽为(19-x)米，长为(40-x)米的长方形，从而可列方程为(40-x)(19-x)=352,故选 C. 11. A 方程 可以变形为 b(x-2)+2=0,设x-2=m, ∵关于x的一元二次方程 有一解为x=2024, 有一解为m=2024, ∴x-2=2024,解得x=2026, ∴一元二次方程 必有一解为x=2026,故选A. 12. A 把x=a代入 b=0,得 b=0, 相加得( ∴a+b+c=0, 故选 A. 13.答案 (1)6(2)3 解析 (1)∵m是方程 的根， 1=0,∴ 即 (2)∵m是方程 的一个根， 1)-2m+1=2m+2-2m+1=3. 14.解析 是关于x的一元二次方程， 解得k=-2.∴直线解析式为y=-2x+2.把x=0代入y=-2x+2,得y=2;把y=0代入y=-2x+2,得x=1.∴ 直线y=-2x+2与两坐标轴的交点坐标分别为(1,0),(0,2),∴直线y=-2x+2与两坐标轴围成的三角形的两条直角边的长分别为1 和2，∴所求面积为 素养提优 15.答案 2 023,2 026 解析 令 代入已知方程可得 ∴方程 与方程 的根互为倒数，即 2021b-a(c≠0), ∴y-2025=-2或y-2025=1,解得y=2 023或y=2 026. 16.解析 可以变形为 ∴方程 与 互为“对称方程”,∴m-1=-1,-n+(-1)=0, 解得m=0,n=-1, 学科网（北京）股份有限公司 $