1.1一元二次方程的概念（分层作业，10大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到思维拔高，构建“定义-参数-创新”巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解）|定义、一般形式、解及估算、列方程|基础辨析题，强化概念本质，培养抽象能力| |B组（掌握）|由定义/解求参数及代数式值|参数综合题，提升推理意识| |C组（运用）|新定义与规律探究|情境创新题，发展创新意识与应用意识|

分层作业 1.1 一元二次方程的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的概念——一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的概念——一元二次方程的一般形式 题型03 一元二次方程的概念——一元二次方程的解 题型04 一元二次方程的解的估算 题型05 一元二次方程的概念——列一元二次方程 B组 能力进阶 题型01 一元二次方程的概念——由一元二次方程的定义求参数 题型02 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求参数 题型03 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求代数式的值 C组 思维拔高 题型01 一元二次方程的新定义问题 题型02 一元二次方程的规律探究问题 一元二次方程的概念——一元二次方程的定义题型01 1．下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 5．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 一元二次方程的概念——一元二次方程的一般形式题型02 1．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．3 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 5．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，求常数项的值．下面是乐乐同学的解题过程，请判断是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 乐乐同学的解题过程如下： 由题意，得，解得， ∴常数项为． 一元二次方程的概念——一元二次方程的解题型03 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 4．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 一元二次方程的解的估算题型04 1．根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 2．观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 3．对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 4．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 一元二次方程的概念——列一元二次方程题型05 1．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 2．根据题意，列出方程并化为一般形式： (1)一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多，求苗圃的长和宽各是多少米； (2)已知直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的定义求参数题型01 1．（24-25九年级上·广东 广州·期中）若方程是一元二次方程，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则   ） A．2或 B．2 C． D．0 3．若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 4．（24-25八年级下·山东·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 5．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求参数题型02 1．（24-25九年级·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　） A． B．1 C．1或 D．或0 3．关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 5．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求代数式的值题型03 1．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，），则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若关于x的一元二次方程）的一个解是，则的值是________． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 5．（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 一元二次方程的新定义问题题型01 1．（24-25九年级上·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 一元二次方程的规律探究问题题型02 1．（25-26九年级上·湖北·月考）已知方程的两个根分别为，设n为自然数），则的值为__________． 2．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 一元二次方程的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的概念——一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的概念——一元二次方程的一般形式 题型03 一元二次方程的概念——一元二次方程的解 题型04 一元二次方程的解的估算 题型05 一元二次方程的概念——列一元二次方程 B组 能力进阶 题型01 一元二次方程的概念——由一元二次方程的定义求参数 题型02 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求参数 题型03 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求代数式的值 C组 思维拔高 题型01 一元二次方程的新定义问题 题型02 一元二次方程的规律探究问题 一元二次方程的概念——一元二次方程的定义题型01 1．下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二． 【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、属于一元二次方程，故C正确； D、是分式方程，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A、中，a可能为0，此时方程不是二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程，符合题意； D、的最高次数为3，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 4．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可． 【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 综上所述，一元二次方程共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 一元二次方程的概念——一元二次方程的一般形式题型02 1．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出方程即可求出a的值． 【详解】解：由题意可知：a﹣2＝0， ∴a＝2， ∵a+2≠0， ∴a的值为2， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 5．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，求常数项的值．下面是乐乐同学的解题过程，请判断是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 乐乐同学的解题过程如下： 由题意，得，解得， ∴常数项为． 【答案】 不正确，正确的解题过程见解析． 【分析】根据一元二次方程的一般形式进行判断，然后将原方程整理后列得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：不正确． 正确的解题过程如下： 整理，得． 由题意，得， 解得， ， 常数项是． 一元二次方程的概念——一元二次方程的解题型03 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 4．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 5．（25-26九年级·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 一元二次方程的解的估算题型04 1．根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 2．观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 【答案】D 【分析】本题考查了图表法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解． 【详解】解：∵时，的值0.09最小， ∴一元二次方程的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 3．对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的坐标，一元二次方程的解，掌握函数与x轴交点的坐标的求法，以及通过判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）通过求抛物线与x轴的交点坐标，计算两点距离． （2）利用三角形面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，代入解析式得到两个方程，根据点P个数要求，令其中一个一元二次方程判别式为零求解． 【详解】解：（1）抛物线 与x轴交于点A和点B，令，得或， 故， 所以． （2）的底边，面积为4，设点P到的垂直距离为h， ，解得， 在x轴上， 为点P纵坐标的绝对值，即， 解得或， 根据题意，可知点P在抛物线上，代入函数解析式得方程： 和 ，每个都是关于x的二次方程，最多有2个解， 满足条件的点P恰好有3个， 其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根， 方程一，即 ， 判别式 ， 方程二，即， 判别式 令，得， 解得（舍去）或， 此时，符合条件， 令 ，得，解得（舍去）或， 此时，符合条件， 故． 故答案为：4，． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 一元二次方程的概念——列一元二次方程题型05 1．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1) 补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 2．根据题意，列出方程并化为一般形式： (1)一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多，求苗圃的长和宽各是多少米； (2)已知直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设未知数，根据矩形面积公式列方程并整理为一般形式； （2）设中间偶数为未知数，根据勾股定理列方程并整理为一般形式． 【详解】（1）解：设长为，则， 整理得； （2）解：设中间的偶数是，则另外两个是，， 根据勾股定理，得， 整理得． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的定义求参数题型01 1．（24-25九年级上·广东 广州·期中）若方程是一元二次方程，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次项系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． 故选A． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义直接解答即可． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 当时，方程为，符合定义． 故选：B． 3．若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 【答案】﹣2 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得：   故答案为 4．（24-25八年级下·山东·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 5．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求参数题型02 1．（24-25九年级·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　） A． B．1 C．1或 D．或0 【答案】A 【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴，， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键． 3．关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限， 理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入方程，求出的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴在第二象限． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】 解：有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 【详解】略 5．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 一元二次方程的概念——由一元二次方程的解求代数式的值题型03 1．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若关于x的一元二次方程）的一个解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将代入一元二次方程，得到关于m和n的等式，进而求出的值，再计算． 【详解】解：∵一元二次方程 （）的一个解是 ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 4．（24-25八年级下·浙江·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2033 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【详解】解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 一元二次方程的新定义问题题型01 1．（24-25九年级上·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 2．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1) 解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）略 （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3) 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 一元二次方程的规律探究问题题型02 1．（25-26九年级上·湖北·月考）已知方程的两个根分别为，设n为自然数），则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，因式分解的应用，根据一元二次方程根的定义得出，，根据题意，得，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴，， 根据题意，得，，， ∴ ， 故答案为：0． 2．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $