1.2.3 同步作业 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，采用防抄袭双卷设计，甲、乙卷主体题目一致仅少量差异题，兼顾分层作业与题型练习，配套速抄版及分步解析答案，助力基础巩固与适度提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点概念理解与基础运算|匹配课时基础目标，巩固抽象能力与运算能力| |综合|跨知识点应用与问题解决|融入推理意识与模型意识，少量差异题防抄袭|

九年级上 1.2.3 公式法　同步作业 九年级上 1.2.3 公式法　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　根的判别式·判别根的情况 1–3 题型二　确定参数·求字母系数的值 4–5 题型三　确定参数·代入求值 6 题型四　公式法·解方程 7–9 提升练习 · 分层题型目录 题型一　确定参数·求字母系数的取值范围 10–12 题型二　公式法·解方程 13–14 题型三　判别式·与三角形综合 15–17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　判别式·与三角形综合 18–19 题型二　综合·阅读创新 20 基础练习 题型一　根的判别式·判别根的情况 1．【A】【来源：2026•郑州校级模拟】关于x的一元二次方程+kx﹣2＝0的根的情况是（ ___ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．【A】【来源：2026•枣庄二模】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___． 3．【A】【来源：2026•东莞市校级三模】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为___． 题型二　确定参数·求字母系数的值 4．【A】【来源：2026•双柏县二模】若关于x的一元二次方程+2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ___ ） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 5．【A】【来源：2026•东营区校级三模】若关于x的一元二次方程（a﹣1）+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 ___ ． 题型三　确定参数·代入求值 6．【A】【来源：2025•东台市期末】已知关于x的一元二次方程+bx﹣2＝0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求代数式8+4b的值． 题型四　公式法·解方程 7．【A】【来源：2026•依安县校级三模】用公式法解方程：． 8．【A】【来源：2026•海珠区校级二模】解方程：﹣5x+2＝0． 9．【A】【来源：2025•迁安市期末】已知：关于x的一元二次方程+3x﹣2k＝0．（1）直接写出当方程有两个相等的实数根时k的值；（2）若k＝2，请解方程． 提升练习 题型一　确定参数·求字母系数的取值范围 10．【B】【来源：2026•墨竹工卡县校级三模】若关于x的一元二次方程（m﹣1）+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ___ ） A．m＜ B．m＜且m≠1 C．m≤ D．m≤且m≠1 11．【B】【来源：2026•海淀区校级模拟】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C．且k≠0 D．k≥3 12．【B】【来源：2026•广州模拟】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k＝___． 题型二　公式法·解方程 13．【B】【来源：2026•合肥期中】用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4+3＝5x，下列叙述正确的是（ ___ ） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 14．【B】【来源：2025•辛集市期末】解一元二次方程﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．甲同学的解法 ___ ，乙同学的解法 ___ ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x﹣2）＝1． 题型三　判别式·与三角形综合 15．【B】【来源：2025•永顺县期末】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 16．【B】【来源：2025•辉县市期末】已知一元二次方程x2+bx+9＝0．+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 17．【B】【来源：2024•临漳县校级期末】已知关于x的方程﹣（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 拓展练习 题型一　判别式·与三角形综合 18．【C】【来源：2025•青岛模拟】已知，是关于x的一元二次方程（m+2）+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若，恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 19．【C】【来源：2025•清水县校级期末】已知关于x的一元二次方程（a+c）﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型二　综合·阅读创新 20．【C】若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4+4（++）x+3（++）＝0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 1.2.3 公式法　同步作业 九年级上 1.2.3 公式法　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　根的判别式·判别根的情况 1–3 题型二　确定参数·求字母系数的值 4–5 题型三　确定参数·代入求值 6 题型四　公式法·解方程 7–9 提升练习 · 分层题型目录 题型一　确定参数·求字母系数的取值范围 10–12 题型二　公式法·解方程 13–14 题型三　判别式·与三角形综合 15–17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　判别式·与三角形综合 18–19 题型二　综合·阅读创新 20 基础练习 题型一　根的判别式·判别根的情况 1．【A】【来源：2026•郑州校级模拟】关于x的一元二次方程+kx﹣2＝0的根的情况是（ ___ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．【A】【来源：2026•枣庄二模】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___． 3．【A】【来源：2026•东莞市校级三模】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为___． 题型二　确定参数·求字母系数的值 4．【A】【来源：2026•双柏县二模】若关于x的一元二次方程+2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ___ ） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 5．【A】【来源：2026•东营区校级三模】若关于x的一元二次方程（a﹣1）+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 ___ ． 题型三　确定参数·代入求值 6．【A】【来源：2025•东台市期末】已知关于x的一元二次方程+bx﹣2＝0（a≠0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求代数式8+4b的值． 题型四　公式法·解方程 7．【A】【来源：2026•依安县校级三模】用公式法解方程：． 8．【A】【来源：2026•海珠区校级二模】解方程：+3x−1=0． 9．【A】【来源：2025•迁安市期末】已知：关于x的一元二次方程+3x﹣2k＝0．（1）直接写出当方程有两个相等的实数根时k的值；（2）若k＝2，请解方程． 提升练习 题型一　确定参数·求字母系数的取值范围 10．【B】【来源：2026•墨竹工卡县校级三模】若关于x的一元二次方程（m﹣1）+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ___ ） A．m＜ B．m＜且m≠1 C．m≤ D．m≤且m≠1 11．【B】【来源：2026•海淀区校级模拟】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C．且k≠0 D．k≥3 12．【B】【来源：2026•广州模拟】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k＝___． 题型二　公式法·解方程 13．【B】【来源：2026•合肥期中】用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4+3＝5x，下列叙述正确的是（ ___ ） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 14．【B】【来源：2025•辛集市期末】解方程：3x(x−1)=2 题型三　判别式·与三角形综合 15．【B】【来源：2025•永顺县期末】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 16．【B】【来源：2025•辉县市期末】已知一元二次方程x2+bx+9＝0．+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 17．【B】【来源：2024•临漳县校级期末】已知关于x的方程﹣（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 拓展练习 题型一　判别式·与三角形综合 18．【C】【来源：2025•青岛模拟】已知，是关于x的一元二次方程（m+2）+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若，恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 19． 【C】【来源：2025•清水县校级期末】已知关于x的一元二次方程（a+c）﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型二　综合·阅读创新 20．【C】若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4+4（++）x+3（++）＝0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 1.2.3 公式法　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 8 题、第 14 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．A．有两个不相等的实数根 2．k≤1且k≠0 3．1 4．B．1 5．a≤2且a≠1 6．（1）证明：△＝+＞0，　方程总有两个不相等的实数根；　 （2）解：+4b　＝4（+b）　＝4×1　＝4． 7．﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 【异】8． 【甲】 (5±√17)/(2)， 【乙】 这里 a=1，b=3，c=−1． Δ=−4ac=−4×1×(−1)=9+4=13． ∵ Δ>0， ∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(−3±√13)/2． 即 =(−3+√13)/2，=(−3−√13)/2． 9．（1）∵Δ＝﹣4×1×（﹣2k）＝0，　即9+8k＝0，　解得k＝-(9)/(8)；　 （2）当k＝2时，原方程为+3x﹣4＝0，　解得＝﹣4，＝1． 10．D．m≤(5)/(4)且m≠1 11．A．k≤(1)/(3) 12．1 13．B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 【异】14． 【甲】 （1）甲同学的解法不正确，　理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为﹣2x﹣3＝0），直接拆分导致错误；　乙同学的解法不正确，　理由是未将方程化为一般式，错误确定c的值（实际c＝﹣3而非3），使判别式计算错误．　（2）2x（x﹣2）＝1，　﹣4x﹣1＝0，　此方程中，a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，　计算判别式Δ＝﹣4ac＝﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24．　∵Δ＝24＞0，方程有两个不相等的实数根，　∴x＝(4±√24)/(2×2)＝(2±√6)/(2)＝1±(√6)/(2)．　∴方程的解为＝1+(√6)/(2)，＝1-(√6)/(2)． 【乙】 整理，得 −3x−2=0． 这里 a=3，b=−3，c=−2． Δ=−4ac=−4×3×(−2)=9+24=33． ∵ Δ>0， ∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(3±√33)/6． 即 =(3+√33)/6，=(3−√33)/6． 15．（1）证明：Δ＝﹣12（m﹣2）＝﹣10m+25　＝≥0，　∴无论m为何值，方程总有两个实数根．　 （2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5，　∴﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0．　 ∴m＝7．　周长为：5+5+3＝13；　 ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根，　∴Δ＝＝0．　∴m＝5．　周长为：5+3+3＝11． 　综上：周长为11或13． 16．证明：（1）Δ＝﹣4×1×9＝﹣36，　当b＞6时，＞36，则﹣36＞0，即Δ＞0，　 ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数；　 （2）b＝±6，　b＜0，b＝﹣6，等腰三角形腰长为3，底边长为2，周长为3+3+2＝8． 17．（1）证明：Δ＝﹣4×4（k-(1)/(2)）　＝+4k+1﹣16k+8，　＝≥0　 　（2）解：△ABC的周长＝4+4+2＝10． 18．（1）m≤﹣1且m≠﹣2；　 （2）△ABC的周长为：3+3+4＝10；　 （3）S_△BIC=． 19．（1）△ABC为等腰三角形 （2）△ABC为直角三角形 20．△ABC是等边三角形． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层　【来源：2026•郑州校级模拟】 【解答】 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 　　∵+kx﹣2＝0， 　　∴Δ＝﹣4ac＝﹣4×1×（﹣2）＝+8＞0， 　　所以原方程有两个不相等的实数根， 　　答：A．有两个不相等的实数根 第 2 题　基础层　【来源：2026•枣庄二模】 【解答】 　　∵关于x的一元二次方程﹣6x+9＝0有实数根， 　　∴Δ＝﹣4k•9＝36﹣36k≥0， 　　解得k≤1， 　　又∵﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程， 　　∴k≠0， 　　∴k≤1且k≠0， 第 3 题　基础层　【来源：2026•东莞市校级三模】 【解答】 　　∵关于x的一元二次方程+2x+1＝0有两个相等的实数根， 　　∴Δ＝﹣4×a×1＝0， 　　解得：a＝1， 　　∴实数a的值为1． 第 4 题　基础层　【来源：2026•双柏县二模】 【解答】 A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 　　∵关于x的一元二次方程+2x+a＝0有两个相等的实数根， 　　∴Δ＝﹣4ac＝﹣4×1×a＝0， 　　即4﹣4a＝0， 　　解得：a＝1， 　　答：B．1 第 5 题　基础层　【来源：2026•东营区校级三模】 【解答】 　　由条件可知a﹣1≠0，解得a≠1； 　　∵方程有实数根， 　　∴Δ＝﹣4×（a﹣1）×1≥0， 　　化简得8﹣4a≥0； 　　解得a≤2； 　　综上，实数a的取值范围为a≤2且a≠1． 第 6 题　基础层　【来源：2025•东台市期末】 【解答】 　　（1）证明：关于x的一元二次方程为+bx﹣2＝0（a≠0） 　　则Δ＝﹣×（﹣2）＝+， 　　∴△＝+＞0， 　　∴方程总有两个不相等的实数根； 　　（2）解：由条件可知+2b﹣2＝0， 　　即+b＝1， 　　∴+4b 　　＝4（+b） 　　＝4×1 　　＝4． 第 7 题　基础层　【来源：2026•依安县校级三模】 【解答】 　　∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， 　　∴Δ＝﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 　　则x＝(4±6)/(10)， 　　即＝1，＝-(1)/(5)． 第 8 题　基础层　【来源：2026•海珠区校级二模】 【解答】 【甲卷】 题干：解方程：﹣5x+2＝0． 这里a＝1，b＝﹣5，c＝2， ∵Δ＝25﹣8＝17＞0， ∴x＝(5±√17)/(2)， 则＝(5+√17)/(2)，＝(5-√17)/(2)． 【乙卷】 题干：解方程：+3x−1=0． 这里 a=1，b=3，c=−1． Δ=−4ac=−4×1×(−1)=9+4=13． ∵ Δ>0，∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(−3±√13)/2． 即 =(−3+√13)/2，=(−3−√13)/2． 答：这里 a=1，b=3，c=−1． Δ=−4ac=−4×1×(−1)=9+4=13． ∵ Δ>0， ∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(−3±√13)/2． 即 =(−3+√13)/2，=(−3−√13)/2． 第 9 题　基础层　【来源：2025•迁安市期末】 【解答】 　　（1）∵方程有两个相等的实数根， 　　∴Δ＝﹣4×1×（﹣2k）＝0， 　　即9+8k＝0， 　　解得k＝-(9)/(8)； 　　（2）当k＝2时，原方程为+3x﹣4＝0， 　　因式分解得（x+4）（x﹣1）＝0， 　　则x+4＝0或x﹣1＝0， 　　解得＝﹣4，＝1． 第 10 题　提升层　【来源：2026•墨竹工卡县校级三模】 【解答】 A．m＜ B．m＜且m≠1 C．m≤ D．m≤且m≠1 　　因为关于x的一元二次方程（m﹣1）+x+1＝0有实数根， 　　所以（m-1≠0；Δ＝-4(m-1)≥0）， 　　解得m≤(5)/(4)且m≠1． 　　答：D．m≤(5)/(4)且m≠1 第 11 题　提升层　【来源：2026•海淀区校级模拟】 【解答】 A． B． C．且k≠0 D．k≥3 　　当k＝0时，原方程为：﹣2x+3＝0， 　　解得x＝(3)/(2)，满足题意； 　　当k≠0时， 　　∵关于x的方程﹣2x+3＝0有实数根， 　　∴Δ＝﹣4k×3 　　＝4﹣12k≥0， 　　解得：k≤(1)/(3)且k≠0， 　　综上，k的取值范围：k≤(1)/(3)， 　　答：A．k≤(1)/(3) 第 12 题　提升层　【来源：2026•广州模拟】 【解答】 　　∵关于x的一元二次方程+2x+1＝0有两个相等的实数根， 　　∴Δ＝﹣4ac＝﹣4k＝0且k≠0， 　　解得：k＝1， 　　∴k的值为1． 第 13 题　提升层　【来源：2026•合肥期中】 【解答】 A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 　　∵﹣+3＝5x 　　∴﹣﹣5x+3＝0，或+5x﹣3＝0 　　∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3． 　　答：B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 第 14 题　提升层　【来源：2025•辛集市期末】 【解答】 【甲卷】 题干：解一元二次方程﹣2x＝3时，两位同学的解法如下：（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．甲同学的解法 ___ ，乙同学的解法 ___ ．（填“正确”或者“不正确”）（2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x﹣2）＝1． （1）甲同学的解法不正确， 理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为﹣2x﹣3＝0），直接拆分导致错误； 乙同学的解法不正确， 理由是未将方程化为一般式，错误确定c的值（实际c＝﹣3而非3），使判别式计算错误． （2）2x（x﹣2）＝1， ﹣4x﹣1＝0， 此方程中，a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， 计算判别式Δ＝﹣4ac＝﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24． ∵Δ＝24＞0，方程有两个不相等的实数根， ∴x＝(4±√24)/(2×2)＝(2±√6)/(2)＝1±(√6)/(2)． ∴方程的解为＝1+(√6)/(2)，＝1-(√6)/(2)． 答：不正确，不正确； 【乙卷】 题干：解方程：3x(x−1)=2 整理，得 −3x−2=0． 这里 a=3，b=−3，c=−2． Δ=−4ac=9+24=33． ∵ Δ>0，∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(3±√33)/6． 即 =(3+√33)/6，=(3−√33)/6． 答：整理，得 −3x−2=0． 这里 a=3，b=−3，c=−2． Δ=−4ac=−4×3×(−2)=9+24=33． ∵ Δ>0， ∴ x=(−b±√Δ)/(2a)=(3±√33)/6． 即 =(3+√33)/6，=(3−√33)/6． 第 15 题　提升层　【来源：2025•永顺县期末】 【解答】 　　（1）证明：由题意，∵Δ＝﹣12（m﹣2）＝+2m+1﹣12m+24 　　＝﹣10m+25 　　＝≥0， 　　∴无论m为何值，方程总有两个实数根． 　　（2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5， 　　∴﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0． 　　∴m＝7． 　　∴方程为：﹣8x+15＝0． 　　∴x＝3或x＝5． 　　∴等腰三角形的三边为：5，5，3． 　　∴周长为：5+5+3＝13； 　　②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， 　　∴Δ＝＝0． 　　∴m＝5． 　　∴方程为：﹣6x+9＝0，解得：＝＝3． 　　∴等腰三角形的周长为：5+3+3＝11． 　　综上：周长为11或13． 第 16 题　提升层　【来源：2025•辉县市期末】 【解答】 　　证明：（1）对于一元二次方程+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝﹣4ac， 　　∵在方程+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， 　　∴Δ＝﹣4×1×9＝﹣36， 　　当b＞6时，＞36，则﹣36＞0，即Δ＞0， 　　∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； 　　（2）∵等腰三角形的两条腰长是方程+bx+9＝0的两个根， 　　∴方程有两个相等的实数根，即Δ＝﹣36＝0， 　　解得b＝±6， 　　∵方程的根是三角形的边长， 　　∴根的和﹣b＞0， 　　∴b＜0，b＝﹣6， 　　将b＝﹣6代入方程，得﹣6x+9﹣0， 　　∴因式分解为＝0，解得＝＝3， 　　∴等腰三角形的腰长为3，底边长为2，根据三角形周长公式，周长为3+3+2＝8． 第 17 题　提升层　【来源：2024•临漳县校级期末】 【解答】 　　（1）证明：Δ＝﹣4×4（k-(1)/(2)） 　　＝+4k+1﹣16k+8， 　　＝﹣12k+9 　　＝， 　　∵≥0，即△≥0， 　　∴无论k取何值，这个方程总有实数根； 　　（2）解：当b＝c时，Δ＝＝0，解得k＝(3)/(2)，方程化为﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去； 　　当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k-(1)/(2)）＝0，解得k＝(5)/(2)，方程化为﹣6x+8＝0，解得＝4，＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2， 　　所以△ABC的周长＝4+4+2＝10． 第 18 题　拓展层　【来源：2025•青岛模拟】 【解答】 　　（1）由题意得：Δ＝﹣4ac＝﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 　　化简得：64m≤﹣64， 　　解得：m≤﹣1且m≠﹣2； 　　（2）由题意知：，恰好是等腰△ABC的腰长， 　　∴＝， 　　∵，是关于x的一元二次方程（m+2）+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， 　　∴Δ＝﹣4ac＝﹣4（m+2）（m+10）＝0， 　　解得m＝﹣1， 　　∴﹣6x+9＝0， 　　解得＝＝3， 　　∵BC＝4， 　　∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； 　　（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， 　　∴p＝(3+3+4)/(2)＝5， 　　∴S_△ABC)＝2√5， 　　过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， 　　∵I是△ABC角平分线的交点， 　　∴IF＝ID＝IE， 　　∴S_△ABC)＝2√5， 　　解得ID＝， 　　∴S_△BIC)＝． 第 19 题　拓展层　【来源：2025•清水县校级期末】 【解答】 　　（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 　　把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； 　　（2）△ABC为直角三角形，理由如下： 　　根据题意得Δ＝﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即+＝，所以△ABC为直角三角形； 　　（3）∵△ABC为等边三角形， 　　∴a＝b＝c， 　　∴方程化为﹣x＝0，解得＝0，＝1． 第 20 题　拓展层　 【解答】 　　证明：由题得，Δ＝16﹣4×4×3（++）＝0， 　　所以有，++﹣﹣﹣＝0，2（++﹣﹣﹣）＝0， 　　得到++＝0， 　　所以﹣＝0且﹣＝0且﹣＝0，即有a＝b＝c． 　　所以△ABC是等边三角形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $