2.3用反比例函数解决问题同步练 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“用反比例函数解决问题”，通过“基础提质-能力提升-素养提优”三层设计，实现从单一知识点应用到跨学科综合探究的进阶，强化模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|反比例函数基本应用|以物理（电流电阻）、生活（充电时间）情境设题，巩固函数关系直接应用| |能力提升|综合情境问题解决|结合跨学科（交通流量、电功率）与实际问题（新能源汽车耗电），培养推理与运算能力| |素养提优|项目式探究与建模|通过杆秤制作、冰箱耗电量等任务，发展抽象能力与创新意识，深化数学语言表达|

2.3用反比例函数解决问题 第1课时 反比例函数在跨学科中的应用 基础提质 知识点用反比例函数解决问题 1.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9Ω时，电流I可能是 ( ) A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A 2.根据欧姆定律 可知，若一个灯泡的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流I(A)越大，则灯泡就越亮.当电阻R=30Ω时，可测得某灯泡的电流I=0.4A.若电压保持不变，电阻R 减小为15 Ω，则该灯泡亮度的变化情况为 ( ) A.不变 B.变亮 C.变暗 D.不确定 3.密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm³)的函数,其函数关系的部分对应值如下表(ρ>0)： 密度 1 2 3 4 ... 高度h/ cm 18 9 6 4.5 .. 当液体密度ρ=12g/cm³时，浸在液体中的高度h= cm. 能力提升 4.在特定温度下，某容器充满一定量的气体，容器内气体的压强p(kPa)是气体体积V(mL)的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.当V越来越大时，p也越来越大 B. p与V的函数表达式为p=6000V C.若压强不超过 3 00 kPa,则体积 V 最多为20 mL D.若压强由 600 kPa减至 150 kPa,则体积增加30 mL 5.图1是某电路图，滑动变阻器的阻值为 R，电源电压为 U，电功率为 P关于 R 的函数图象如图2 所示.嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时,电功率 P 减少了20 W,则当R=16Ω时，电功率P为 W. 6.人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为60 km/h时，视野为80度，如果视野f(单位：度)是车速v(单位：km/h)的反比例函数. (1)✔f与v之间的函数关系式. (2)计算当车速为120 km/h时视野的度数. (3)若在某山区弯道行车时，考虑交通安全，综合环境的影响，视野的度数要求至少是160度,求车速最多是多少 km/h. 7.“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事.小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛.已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s(单位：百千米)与平均耗电量x(单位：kW·h/百千米)成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s(单位：百千米)与平均耗电量x(单位：kW·h/百千米)的关系如图所示. (1)求s与x的函数关系式. (2)若小明家到比赛场馆的距离是200千米，小明以百千米平均耗电量16kW·h的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百千米平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家?如果不能，至少需要充多少电? 素养提优 8. 【操作实验】 小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y(A)的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为2Ω(不计温度对灯泡电阻影响)，滑动变阻器的电阻为xΩ(0≤x≤6)(串联电路中总电阻=灯泡电阻+滑动变阻器的电阻)，通过多次实验，得到以下数据(电流=电压÷电阻)： 电阻x/Ω a 2 3 4 6 电流y/A ... 4 3 2.4 2 b (1)根据实验结果,填空:a= ,b= ,根据实验数据直接写出y 与x的函数关系式: (0≤x≤6). (2)【初步探究】请在图2平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质. (3)【深入探究】已知一次函数 0,y≥0),在图2中作出其图象,结合(2)中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围： . 第2课时 反比例函数在现实生活中的应用 基础提质 知识点反比例函数解决现实问题 1.在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源汽车充满电所需时间t(单位：h)是充电功率P(单位：kW)的反比例函数，其图象如图所示.若该新能源汽车每次充满电需要2~3h,则充电时的充电功率范围是( ) A.20 kW 以内 B.20~30kW C.30~60 kW D.60 kW 以上 2.验光师检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例关系，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了( ) A.150度 B.200度 C.250度 D.300度 3.政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为72 000 m³，某运输公司承担了运送土石方的任务. (1)求运输公司平均运送速度v(单位：m³/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式. (2)若这个运输公司每天可运送土石方8000 m³，则公司完成全部运输任务需要多长时间? 能力提升 4.2025年某市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时，假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/时)与车辆的平均速度 v(单位：千米/时)之间的关系可以用反比例函数来描述.已知当车辆的平均速度为40千米/时时，交通流量Q 为1 200辆/时，如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000 辆/时以内，那么车辆的平均速度应至少达到 千米/时. 5.某校举行青少年国防素养知识竞赛.如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班竞赛成绩的优秀率(该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值)y与该班参加竞赛人数x的情况，其中，描述乙、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上. (1)根据图中信息，求丁班的优秀率. (2)学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果. 6.【项目主题】探索某款节能冰箱的日耗电量. 【项目背景】节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用.节能冰箱的耗电量与许多因素有关，包括类型、功率、使用频率和使用环境等. 【项目素材】 素材1 某款冰箱耗电功率为 0.16 千瓦.当温度下降到-20℃时，停止运行，温度上升到-5℃时，冰箱再次运行，如此循环反复.冰箱停止运行时，不耗电 素材 2 冰箱内部温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示： 当0≤x≤15时,y是x的一次函数; 当 15≤x≤t时,y是x的反比例函数 素材 3 冰箱每天耗电量(度)=耗电功率(千瓦)×每天运行时间(小时) 【项目任务】 (1)当15≤x≤t时，求y关于x的函数解析式及t的值. (2)该冰箱的广告中声称：每天(24h)的耗电量不超过1度电.忽略特殊情况的耗电量，请问该冰箱的广告是否符合实际? 素养提优 7.杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征.某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘(质量50g)、一个秤砣(质量200 g)、一些细绳等(秤杆和细绳质量忽略不计). 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理(动力×动力臂=阻力×阻力臂).如图，设所称物体质量为 xg，则秤盘及物体的总质量为(x+50)g，秤盘到提纽的水平距离AB=acm，秤砣到提纽的距离BC=y cm.当秤杆平衡时,得(x+50)·a=200y. (1)若取AB=10cm,为了得到零刻度点 O 的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点 C 的位置即为点 O.请计算此时BO的长. 【数学建模】 (2)在(1)的条件下，为了得到其他刻度线的制作规律，请先分析y 与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是不是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同. 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度AD=100cm，为了保证杆秤的最大刻度不小于 2kg，请计算说明a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 2.3用反比例函数解决问题 第1课时 反比例函数在跨学科中的应用 基础提质 1. A 根据图象,当R>9时,I<4.故选 A. 2. B R=30Ω时,I=0.4 A,∴U=IR=12(V). 当R=15 Ω时 ∵0.8>0.4, ∴该灯泡的亮度变化情况为变亮.故选 B. 3.答案 1.5 解析 由表格可知，ph=18，∴ h与ρ的函数关系式为 当ρ=12时, 能力提升 4. D∵容器内气体的压强p(kPa)是气体体积V(mL)的反比例函数， ∴设反比例函数的表达式为 将(30,200)代入 解得k=6000, ∴p与V的函数表达式为p=故B 错误； ∵k=6000>0,V>0, ∴ 当V越来越大时，p越来越小，故A 错误；由图象可得当压强不超过300 kPa时，体积V至少为20 mL,故 C 错误; 当p=600时, ∴ V=10, 当p=150时, ∴V=40, 若压强由600 kPa减至 150 kPa,则体积增加40-10=30 mL,故D 正确.故选 D. 5.答案 25 解析 ∵电源电压 U 一定，∴U² 的值一定，∵ ∴ P 与 R 成反比例函数关系，设U²=k(k为常数,且k≠0),则根据题意，得 解得 解得 k=400，∴P 与 R 之间的函数关系式为 当 R=16 Ω时, 6.解析 (1)设f与v之间的函数关系式为 (k为常数,且k≠0),将v=60,f=80代入 解得 k=4800，∴f与v之间的函数关系式为f=4800v. (2)当v=120时,,f==40,∴当车速为120 km/h时视野为40度. (3)根据题意，得 解得v≤30,∴ 车速最多是30 km/h. 7.解析 (1)设s与x的函数关系式为 将点P(12，5)代入函数关系式，得12=,∴k=60,∴s与x的函数关系式为 (2)∵去场馆时的耗电量为16×2=32kW·h,汽车总电量为60kW·h，∴到达场馆，汽车剩余电量为60-32=28kW·h，∵返程时百千米平均耗电量是原来的1.25倍,∴ 返程时百千米平均耗电量为 16×1.25=20kW·h,返程所需电量为20×2=40 kW·h,∵28<40,∴不充电不能回家,至少需要充电40-28=12 kW·h. 素养提优 8.解析 (1)1; 详解：∵电流=电压÷电阻，串联电路中总电阻=灯泡电阻+滑动变阻器的电阻，. 当y=4时, 解得x=1,即a=1;当x=6时, 即 (2)函数y的图象如图所示.由函数图象可知，当0≤x≤6时，y随x的增大而减小.(答案不唯一) (3)图象如图所示.0≤x≤2. 第2课时 反比例函数在现实生活中的应用 基础提质 1. B设该新能源汽车充满电所需时间t(单位：h)与充电功率P(单位：kW)的函数关系式为 把(60,1)代入，得k=60, :该新能源电动车每次充满电需要2~3h,当t=2时,P=30,当t=3时,P=20,∴充电时的充电功率范围是20~30kW.故选 B. 2. B 设 将(0.2,500)代入,得k=500×0.2=100,. 当x=0.25时, 当x=0.5时, ∴度数减少了400-200=200度.故选 B. 3.解析 (1)由题意得 vt=72000, ∴t与v之间的函数关系式为 (2)在t=⁷2000t中,当v=8000时,,t==9. 答：公司完成全部运输任务需要9天. 能力提升 4.答案 48 解析 设Q=(k≠0),由题意知，Q>0,v>0,当v=40时,Q=1200,∴k=40×1 200=48 000, ∵k>0,∴当Q≤1 000时,v≥48 000÷1 000=48,∴ 如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000 辆/时以内，那么车辆的平均速度应至少达到48千米/时. 5.解析 (1)设该反比例函数解析式为y= kx(k≠0),>将(20,60%)代入,得 解得k=12,. 由图象可知，丁班参加竞赛的人数为30，∴丁班的优秀率为 (2)结合题意得，优秀率对应点的纵坐标，根据图象可知，甲班级的优秀率最高，∴给甲班级颁发“卓越先锋奖”.结合题意得，班级优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，则班级优秀人数即为y与x的反比例函数关系的比例系数，由图象可知，描述丙班情况的点位于描述乙、丁班情况的点所在函数图象上方，描述甲班情况的点位于描述乙、丁班情况的点所在函数图象下方，∴丙班的优秀人数最多，∴给丙班颁发“群星闪耀奖”.综上，给甲班颁发“卓越先锋奖”；给丙班颁发“群星闪耀奖”. 6.解析 (1)设当15≤x≤t时, 将(15,-20)代入,得k=-300,∴当15≤x≤t时,y关于x的函数表达式为 当y=-5时,x=60,即t=60. (2)由题意得在每60 min(即1h)内,冰箱有15 min耗电制冷，电功率为0.16千瓦，∴每天(24h)的耗电量为 (度),∵0.96<1,∴该冰箱的广告符合实际. 素养提优 7.解析 (1)令x=0,得50a=200y, 将a=10代入,解得y=2.5,即BO=2.5cm. (2)(x+50)·a=200y,化简得 xa+50a=200y, 设秤盘中重物增加 tg(t为常数)， 则增加后重物的质量为(x+t)g， 此时令 ∵a=10,t为常数， 是常数， ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同. (3)(x+50)a=200(100-a), 整理得 ∵a>0,∴x随着a的增大而减小, 当最大刻度是2kg时， 令x=2000,得a=,∴0<a≤ 解析 建立模型：由题意设y与x之间的函数关系式为 将.x=6,y=1代入,得k=6, ∴y与x之间的函数关系式为 实验验证：将y=1.2代入 得x=5,∴静止后浸入液体的深度大约稳定在5厘米时可说明此自制吸管密度计较准确. 问题反思：当x=10时， 当x=3时 ∴这个吸管密度计能够测量的液体密度. 的取值范围是0.6≤y≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $